ELEMENTI DI LOGICA. Siano p e q le due proposizioni: p: 3 è un numero primo q: 20 è divisibile per 5 Enunciare le proposizioni p q, p q.

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1 ELEMENTI DI LOGICA Proposizioni e operazioni Stabilire quali di queste frasi sono proposizioni logiche e stabilirne il valore di verità: a) 5 è un numero dispari b) Napoli è il capoluogo della Campania c) 3 è multiplo di 3 d) Roberto ha fiducia in me e) Il rettangolo è un quadrilatero f ) Il trapezio ha due lati paralleli Scrivere la negazione delle seguenti proposizioni: a) Ieri c era la nebbia b) Tutti i numeri sono pari c) Tutti i ragazzi studiano d) Tutti i pedoni attraversano sulle strisce e) Qualche triangolo è isoscele f ) Nessun parallelogramma è rettangolo g) Nessuno è immortale h) Ogni quadrilatero è un poligono p: 3 è un numero primo q: 20 è divisibile per 5 Enunciare le proposizioni p q, p q. Date le due proposizioni: p: 7 è un numero dispari q: 24 è divisibile per 4 stabilire il valore di verità delle proposizioni p, q, p q, p q, p q Completare 5 Completare la seguente tabella come nell esempio sviluppato nella prima riga. p q p q p q 4 è un numero pari 5 è un numero pari 4 e 5 sono numeri pari 4 o 5 sono numeri pari F F Goldoni scrisse molte commedie Goldoni visse a enezia Archimede fu un grande scienziato Archimede inventò il telefono = 6 6 è dispari 200 RCS Libri S.p.A., ETAS - L. Lamberti, L. Mereu, A. Nanni - Corso di Matematica - Edizione mista

2 6 7 8 p: Platone è un filosofo q: Ieri c era il sole Enunciare le proposizioni (p q ), p q. p: Luca studia q: Giovanni lavora Enunciare le proposizioni p, q, p p, p q, p q. p: Oggi piove q: Domani è Natale Enunciare le proposizioni p, q, p q, p q, p q. 9 0 Stabilire se nelle frasi seguenti il connettivo o è usato come OR o come XOR: a) Un numero o è intero o è decimale b) Per uscire prendo la macchina oppure vado a piedi c) Giuseppe è bruno o con la barba d) Al concorso possono partecipare quelli che sono in possesso del diploma di scuola media o quelli che hanno compiuto 25 anni e) Oggi vado al museo o resto a casa f ) Milano si trova in Lombardia o ha più di un milione di abitanti g) Fa talmente freddo che oggi mi viene il mal di gola o il raffreddore Nelle seguenti proposizioni composte individuare le proposizioni semplici e i connettivi logici: a) Rido e mi diverto b) ado al cinema o in discoteca c) Un numero intero o è pari o è dispari d) Leggo il libro e ripeto la lezione e) Non faccio il tramviere e vivo a Roma f ) Lavora o in banca o in una azienda Date le proposizioni supposte vere: p: Roberto studia q: Franco dorme costruire le proposizioni p q e p q e verificare che hanno lo stesso valore di verità. Completare 2 p p p p F La proposizione p p che, qualunque sia il valore di verità di p, risulta sempre vera, viene detta tautologia. 3 Date le proposizioni: p: Il M.C.D. tra 2 e 5 è 3 q: 7 è un numero primo costruire le proposizioni p q e p q e verificare che hanno lo stesso valore di verità RCS Libri S.p.A., ETAS - L. Lamberti, L. Mereu, A. Nanni - Corso di Matematica - Edizione mista

3 Costruire la tabella di verità delle seguenti proposizioni. o risolto (p q) (p q) erificare inoltre che la proposizione data è equivalente alla disgiunzione esclusiva p q. La tavola di verità è la seguente: p q p q p q p q (p q) (p q) F F F F F F F F F F F F F F F F Basta ora confrontare con la tavola di verità della disgiunzione esclusiva p q (vedi par. 3), per dedurre che le due proposizioni (p q) (p q)e p q sono equivalenti. p q p q F F F F F F 4 (p q) p 9 (p q) q 5 (p q) q 20 (p p) q 6 p q 2 p (p q) 7 8 p q (p q) p p (q p ) p (q p) Implicazioni Date le proposizioni: p: Il doppio di 4 è uguale a 8 q: 3 è un numero primo costruire le proposizioni p q e p q e stabilirne il valore di verità. Date le proposizioni: p: La Loira è un fiume che scorre in Italia q: Ulisse era il re di Itaca costruire le proposizioni p q e p q e stabilirne il valore di verità RCS Libri S.p.A., ETAS - L. Lamberti, L. Mereu, A. Nanni - Corso di Matematica - Edizione mista

4 Completare Applicando le regole di implicazione completare i seguenti ragionamenti. 26 Premessa Se Roberto vede la televisione non studia Roberto vede la televisione 27 Premessa Se x è maggiore di 2 allora x è maggiore di 5 x non è maggiore di 5 28 Premessa Se il triangolo è equilatero le altezze sono uguali Le altezze non sono uguali 29 Premessa Se il triangolo ha due angoli uguali allora ha due lati uguali Il triangolo non ha due lati uguali 30 Premessa Se il triangolo è rettangolo vale il teorema di Pitagora Non vale il teorema di Pitagora 3 Premessa Se x è divisibile per 25 allora x è divisibile per 5 x non è divisibile per 5 Enunciati aperti Dato l enunciato aperto: p(x): x è un numero pari p(x), al variare di x, può assumere valore di vero o di falso. Attribuire a x tre valori per i quali p(x) è vera e tre valori per i quali p(x) è falsa. Dato l enunciato aperto: p(x): x è divisore di 24 determinare tutti i valori interi di x per i quali p(x) è vera. Dato l enunciato aperto nelle due variabili x e y: p(x; y): x e y sono due interi la cui somma è 4 determinare due coppie di valori per i quali p(x; y) è falsa RCS Libri S.p.A., ETAS - L. Lamberti, L. Mereu, A. Nanni - Corso di Matematica - Edizione mista

5 35 Dati i due enunciati aperti: p(x): x è multiplo di 5 q(x): x è divisibile per 3 stabilire il valore di verità delle seguenti proposizioni: a. p(0); q(9); p() q(8); p(20) q(2) b. p(5) q(7); p(4) q(3); p(0) q(27) 36 Dati i due enunciati aperti: p(x): x è un numero primo q(x; y): La somma di x con y è un numero pari stabilire il valore di verità delle seguenti proposizioni: a. p(3) q(3; 5); p(5) q(5; 7); p(6) q(6; 2) b. p() q(; ); p(7) q(7; 8) Sia x X e sia X l insieme dei numeri naturali minori di 9. Considerate le seguenti funzioni enunciative, dire per quali valori di x sono proposizioni vere o false p(x): x è pari p(x): x è divisibile per 3 ed è dispari 39 Sia x X, con X = {; 2; 3;...; 23; 24} e sia: p(x): x è divisibile per 2 q(x): x è divisibile per 4 Scrivere per quali valori di x la proposizione p(x) è vera e per quali valori è falsa; analogamente per q(x). Osservare che non accade mai che q(x) sia vera e p(x) sia falsa. Che cosa si deduce per la proposizione q(x) p(x)? I quantificatori Siano A l insieme dei parallelogrammi e P(x): x ha i lati opposti uguali. Tradurre in linguaggio simbolico la proposizione: Ogni parallelogramma ha i lati opposti uguali Siano A l insieme dei triangoli isosceli e P(x): x ha due altezze uguali. Tradurre in linguaggio simbolico la proposizione: Ogni triangolo isoscele ha due altezze uguali Siano A l insieme dei parallelogrammi e P(x): x ha le diagonali uguali. Tradurre in linguaggio simbolico la proposizione: Esiste almeno un parallelogramma che non ha le diagonali uguali Scrivere le seguenti proposizioni in forma equivalente usando il quantificatore esistenziale: a) Tutti i multipli di 9 sono divisibili per 3 b) Tutti i numeri primi maggiori di 2 sono dispari RCS Libri S.p.A., ETAS - L. Lamberti, L. Mereu, A. Nanni - Corso di Matematica - Edizione mista

6 44 45 Scrivere le seguenti proposizioni in forma equivalente usando il quantificatore universale: a. Esiste almeno un numero intero minore di 5 b. Esiste almeno un numero razionale che non sia intero c. Non esiste nessun numero intero che non sia razionale Scrivere in forma simbolica la seguente proposizione: Non tutte le mele sono dolci e dire a quale delle seguenti proposizioni è equivalente: a) Qualche mela è dolce c) Almeno una mela non è dolce b) Tutte le mele non sono dolci d) Qualsiasi mela è dolce Sapendo che x, con insieme dei numeri naturali, indicare quali delle seguenti proposizioni sono vere. 46 x x< x + 2 x x < x x x 2 0 x x x 3x < x + 4 x 3x < x x x x x x x 2 < 0 x x 2 < 0 5 x x > 0 x x > Sia x X, con X l insieme delle città europee che hanno più di un milione di abitanti, e sia: C(x): x è una capitale Dire quale delle seguenti proposizioni è vera: a) x C(x) b) x C(x) Siano: x A = {; 3; 5; 7}, y B = {2; 4; 6}, p(x; y): x è minore di y. Indicare l insieme delle coppie (x; y) che rendono vera la forma proposizionale. Siano: x A = {2; 3; 6; 9}, y B = {; 0; 30}, p(x; y): 3x y < 0 Indicare l insieme delle coppie (x; y) che rendono vera la forma proposizionale. Siano: x, y, p(x; y): y è il doppio di x. Indicare le coppie (x; y) per le quali p(x; y) è vera e per quali valori di x sono veri i seguenti enunciati: p(x; 7) p(x; 8) y p(x; y) y p(x; y) RCS Libri S.p.A., ETAS - L. Lamberti, L. Mereu, A. Nanni - Corso di Matematica - Edizione mista