Logica, discorso e conoscenza. Logica e verità (matematica) ovvero Logica, deduzione, verità Lezioni 4, 5 e 6

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1 Logica, discorso e conoscenza Primo modulo: Logica e verità (matematica) ovvero Logica, deduzione, verità Lezioni 4, 5 e 6 Simone Martini Dipartimento di Scienze dell Informazione Alma mater studiorum Università di Bologna martini@cs.unibo.it Collegio Superiore Ottobre novembre, / 92

2 Outline 1 Quarta lezione: dimostrazioni Sistemi formali per la derivabilità 2 Quinta lezione: l aritmetica di Peano Un sistema di assiomi; proprietà 3 Sesta lezione: i teoremi limitativi I teoremi di Gödel e Church 4 Temi d esame 2 / 92

3 Dimostrazioni come oggetti formali Un linguaggio L Un insieme di formule su L, gli assiomi Un insieme di regole di inferenza Un insieme di (meta-)regole (sintattiche, combinatorie, effettive) che spiegano come le regole di inferenza permettono di dedurre nuove formule a partire da formula già dedotte Un teorema è una formula dedotta dagli assiomi con una serie (finita) di applicazioni delle regole di inferenza Nessun riferimento ad una specifica semantica o modello inteso 3 / 92

4 Pluralità di tipi di sistemi formali: Sistemi formali alla Hilbert (assiomi e regole) il più antico; comodo per parlare dei modelli di una teoria deduzione naturale (Gentzen, 1934) studio delle dimostrazioni come oggetti formali sequenti (Gentzen, 1934) studio delle dimostrazioni, dimostrazioni di consistenza tableaux (Beth, 1955) ricerca di dimostrazioni risoluzione (Robinson, 1963) ricerca di dimostrazioni reti di dimostrazione (Girard, 1987) dimostrazioni in logica lineare ecc. 4 / 92

5 Esempio: logica positiva dell implicazione alla Hilbert (Schemi di) assioma 1 A (B A) assioma K 2 (A (B C)) ((A B) (A C)) assioma S Regola di inferenza P Q Q P modus ponens Meta-regole 1 Ogni istanza di un assioma è un assioma 2 Una derivazione è una sequenza di formule P 0, P 1,..., P n dove ogni P i è: un assioma, oppure è ottenuta mediante modus ponens da P j e P k, con j, k < i 5 / 92

6 Una derivazione Vogliamo dimostrare A A (1) (A ((A A) A)) ((A (A A)) (A A)) assioma S (2) A ((A A) A) assioma K (3) (A (A A)) (A A) MP, da (1) e (2) (4) A (A A) assioma K (5) A A MP, da (3) e (4) 6 / 92

7 Logica classica proposizionale, alla Hilbert 1 A (B A) 2 (A (B C)) ((A B) (A C)) 3 B C B 4 B C C 5 B (C B C) 6 B B C 7 C B C 8 (B D) ((C D) (B C D)) 9 (B C) ((B C) B) 10 B (B C) 11 A A 12 Regola: modus ponens 7 / 92

8 Logica classica dei predicati, alla Hilbert 1 Gli assiomi proposizionali 2 (8xP(x)) P(t) 3 P(t) 9xP(x) 4 8x(Q P(x)) (Q 8xP(x)) 5 8x(P(x) Q) (9xP(x) Q) 6 Regole di inferenza modus ponens P(x) 8xP(x) generalizzazione Condizione aggiuntiva: In 4 e 5, Q non deve contenere x (libera) 8 / 92

9 Altri sistemi logici Diverso ruolo reciproco di assiomi e regole Diversa nozione di dimostrazione (e.g., no successione di formule, ma oggetto grafico bidimensionale) Un certo sistema formale S dà luogo ad una propria nozione di derivazione `S Equivalenza Tutti i sistemi formali per la logica del prim ordine sono equivalenti rispetto ai teoremi cioè, dati due sistemi formali S e S 0, si ha Γ `S A sse Γ 0 `S A 9 / 92

10 La deduzione naturale: calcolo minimale per e Assiomi: nessuno Regole: A B A B I A B A E 1 A B B E 2 [A]. B A B I A B A B E 10 / 92

11 Deduzione naturale: un esempio di dimostrazione ` A B B A [A B] [A B] A B A B B A 11 / 92

12 Dimostrazioni `S A la formula A è un teorema all interno del sistema formale S Possiamo usare anche assiomi propri Sia Γ un insieme di formule (assiomi propri) Una dimostrazione da Γ (o in Γ ) è una dimostrazione in cui possono comparire (oltre ad assiomi o a formule precedentemente derivate) anche (istanze del-) le formule di Γ Γ `S A la formula A è un teorema all interno del sistema formale S, con assiomi propri Γ 12 / 92

13 Teoremi in specifiche teorie I sistemi formali con assiomi propri permettono di indagare classi di strutture matematiche (di modelli) Grp ` P Ord ` P PA ` P 13 / 92

14 Consistenza Un certo sistema logico S è consistente se 6`S A A In virtù dell equivalenza dei sistemi logici rispetto ai teoremi, possiamo considerare la consistenza come una proprietà delle formule (e non dei sistemi formali) Un insieme di formule Γ è consistente sse Γ 6` A A Se Γ inconsistente, Γ dimostra qualsiasi cosa: per ogni B si ha Γ ` B 14 / 92

15 Consistenza, 2 Nozione sintattica molto importante Sistemi formali quali il calcolo dei sequenti sono stati introdotti per dare dimostrazioni di consistenza I sistemi formali che abbiamo visto sono tutti, per se, consistenti Importante: Consistenza di assiomi propri, quali Ord, Grp, PA? 15 / 92

16 Sintassi e semantica: correttezza Teorema di correttezza (o validità, soundness): Γ ` A = Γ = A In particolare, se ` A, allora A è una legge logica 16 / 92

17 Consistenza, 3 L esistenza di un modello per Γ implica, per correttezza, la consistenza di Γ (la semantica è platonicamente consistente) Ma la costruzione di un modello coinvolge strumenti semanticamente complessi (p.e., infinito) Come dare dimostrazioni di consistenza sintattiche e semplici? Questo problema per l aritmetica PA (quale fondamento dell intera matematica) è il cuore del progetto hilbertiano In effetti, Gentzen con i sequenti dimostra la consistenza di PA, ma in modo non soddisfacente secondo Hilbert (è necessariamente così, d après Gödel) 17 / 92

18 La nozione di dimostrazione è decidibile Nella definizione di sistema formale dicemmo È presente un insieme di (meta-)regole (sintattiche, combinatorie, effettive) che spiegano come le regole di inferenza permettono di dedurre nuove formule a partire da formula già dedotte Deve essere sempre possibile, ispezionando una sequenza di formule, decidere se si tratta di una dimostrazione nel senso tecnico di questa parola Cioè, la nozione di essere una dimostrazione nel sistema S è decidibile Proprietà intrinseca di un sistema formale: se non vale, non abbiamo un sistema formale 18 / 92

19 La nozione di teorema è decidibile? Una formula A è un teorema sse esiste una dimostrazione per A A differenza della nozione di dimostrazione, nella definizione di sistema formale nulla impone che i teoremi siano decidibili La nozione di sistema formale ci dice però che, se gli assiomi sono enumerabili, allora anche i teoremi sono enumerabili meccanicamente: parti dagli assiomi ed applica le regole in tutti i modi possibili È semidecidibile se una formula è un teorema di una teoria con assiomi enumerabili Lo Entscheidungsproblem alla radice della logica (e dell informatica) moderna 19 / 92

20 Sintassi e semantica: completezza Teorema di completezza: Γ = A = Γ ` A In particolare, se A è una legge logica, allora ` A. 20 / 92

21 Lo Entscheidungsproblem proposizionale è decidibile Esiste un mezzo automatico per decidere se una formula proposizionale è una legge logica (tautologia): le tabelle di verità In virtù del teorema di completezza, questo è un procedimento di decisione anche per la nozione di teorema proposizionale Nel caso predicativo (puro) tale metodo non si può applicare 21 / 92

22 Intermezzo: Una questione di cardinalità Sia L Σ un linguaggio del prim ordine e A un interpretazione per L Σ, con dominio D Una formula P(x) su L Σ con una sola variabile libera x viene interpretata come [P(x)] A ρ 2 {V, F } Ovvero (solo x è libera): [P(x)] A : D {V, F } Quante sono le possibili funzioni D {V, F }? E quante sono le possibili formule P(x) su L Σ? 22 / 92

23 Quante sono le formule? L alfabeto di L Σ è numerabile (cioè della cardinalità di N) Le formule sono certo non di più di tutte le stringhe su tale alfabeto... Le formule sono al più di cardinalità numerabile anch esse 23 / 92

24 Quante sono le funzioni? L argomento diagonale di Cantor Un ragionamento per assurdo mostra che le funzioni D {V, F } non possono essere numerabili Essendo certo di cardinalità infinita, esse sono di cardinalità strettamente maggiore di N Ci sono (molte) più funzioni che formule! Ci sono (molte) più proprietà semantiche di quelle descrivibili dal nostro linguaggio! 24 / 92

25 L argomento diagonale di Cantor Supponiamo D numerabile e anzi che D = N Supponiamo che le funzioni N {V, F } siano numerabili: {f i } i2n Ogni funzione è una sequenza infinita (dove f i (n) 2 {V, F }) f i : f i (0), f i (1), f i (2), f i (3),, f i (n), Disponiamo i loro valori in una tabella infinita f 0 f 0 (0) f 0 (1) f 0 (2)... f 0 (i)... f 1 f 1 (0) f 1 (1) f 1 (2)... f 1 (i)... f 2 f 2 (0) f 2 (1) f 2 (2)... f 2 (i).... f i f i (0) f i (1) f i (2)... f i (i) / 92

26 L argomento diagonale di Cantor, 2 Disponiamo i loro valori in una tabella infinita f 0 f 0 (0) f 0 (1) f 0 (2)... f 0 (i)... f 1 f 1 (0) f 1 (1) f 1 (2)... f 1 (i)... f 2 f 2 (0) f 2 (1) f 2 (2)... f 2 (i).... f i f i (0) f i (1) f i (2)... f i (i).... Definiamo la funzione g(n) = f n (n) Può la funzione g n : N {V, F } comparire tra le {f i } i2n? No! Differisce da ciascuna di essa sulla diagonale 26 / 92

27 Questioni di cardinalità There are more things in heaven and earth, Horatio, Than are dreamt of in your philosophy. [W. Shakespeare, Hamlet, Act 1, Scene 5] Ci son dunque (molte) più proprietà vere su N di quante la nostra logica potrà mai nominare Restringiamo la nostra attenzione alle proprietà che possiamo descrivere col linguaggio (le sole alla nostra portata) Siamo in grado di dimostrare tutte le formule vere in N? Occorre in primo luogo un assiomatizzazione (delle proprietà salienti) di N 27 / 92

28 Il teorema di Löwenheim-Skolem Sia L Σ un linguaggio del prim ordine Sia Γ un insieme di formule su L Σ Se Γ ha un modello di cardinalità infinita, Γ ha un modello di ogni cardinalità infinita. Corollario: Ogni teoria con modelli infiniti ha un modello numerabile Esempio: La teoria formale dei numeri reali 28 / 92

29 Aritmetica formale Una teoria che formalizzi e descriva le proprietà vere in N In un certo senso, che caratterizzi N. Che vuol dire? Che ha N come unico modello? Che prova tutte e sole le proprietà vere in N? Che sia in grado di distinguere N da altri eventuali modelli? Hermann Grassmann, Lehrbuch der Arithmetik Richard Dedekind, Was sind und was sollen die Zahlen? Giuseppe Peano, Arithmetices principia, nova methodo exposita 29 / 92

30 Gli assiomi di Peano Da Arithmetices principia, con piccole modifiche notazionali. In rosso le modifiche all assiomatica 1 2 N a 2 N succ(a) 2 N a, b 2 N [a = b succ(a) = succ(b)] a 2 N succ(a) 6= 1 a, b 2 N a + succ(b) = succ(a + b) a 2 N a + 1 = succ(a) a, b 2 N a succ(b) = a b + a a 2 N a 1 = a se k è una classe [1 2 k (x 2 k succ(x) 2 k)] N k 30 / 92

31 se k è una classe [1 2 k (x 2 k succ(x) 2 k)] N k Il ruolo dell induzione L assioma di induzione è la vera potenza dell aritmetica Senza di esso si potrebbero dimostrare solo enunciati puntuali, come (3 + 5) + 1 = 3 + (5 + 1) senza poter dimostrare il caso generale (certo vero in N): 8a8b8c [(a + b) + c = a + (b + c)] È una proprietà di chiusura: Dice che (l interpretazione di) N è il più piccolo insieme che contiene 1 ed è chiuso rispetto al successore succ 31 / 92

32 Gli assiomi al prim ordine: PA L PA : costanti: 0 L PA : funzioni: succ 1 8a8b [succ(a) = succ(b) a = b] 8a [succ(a) 6= 0] 8a8b [a + succ(b) = succ(a + b)] 8a [a + 0 = a] 8a8b [a succ(b) = a b + a] 8a [a 0 = 0] Sia P una formula con la sola x libera P(0) 8x [P(x) P(succ(x))] 8x P(x) 32 / 92

33 Commenti Gli assiomi 8a [succ(a) 6= 0] 8a8b [succ(a) = succ(b) a = b] assicurano che il dominio (di ogni modello) è infinito La definizione ricorsiva di somma e prodotto non dà problemi Lo schema di induzione P(0) 8x [P(x) P(succ(x))] 8x P(x) sostituisce alla quantificazione sulle classi se k è una classe [1 2 k (x 2 k succ(x) 2 k)] N k (cioè sulla semantica dei predicati) la variabilità sulle formule Differenza di cardinalità sostanziale! 33 / 92

34 Modelli di PA Non è difficile vedere che N = PA Ma: la costruzione di N è più complessa della teoria PA Invero: N = PA implica la consistenza di PA Per Löwenheim-Skolem esistono modelli in tutte le cardinalità infinite Dunque PA è ben lungi dal caratterizzare (almeno in termini di modelli) N 34 / 92

35 Il teorema di compattezza Modelli numerabili diversi da N? Si ottengono da un importante teorema della logica del primo ordine Teorema di compattezza Se tutti i sottoinsiemi finiti di un insieme di formule hanno un modello, allora anche l intero insieme ha un modello 35 / 92

36 Modelli non standard Se tutti i sottoinsiemi finiti di un insieme di formule hanno un modello, allora anche l intero insieme ha un modello Aggiungiamo a L PA una nuova costante c, ottenendo L PA. Su questo linguaggio, consideriamo le (infinite) formule P n c 6= n PA = PA [ {P n } n0 Ogni sottoinsieme finito di PA ha un ovvio modello (Esercizio: quale?) Dunque PA ha un modello; e un modello numerabile per LS Chiamiamo modello non standard di PA ogni modello numerabile di PA 36 / 92

37 Conseguenze del teorema di correttezza Correttezza: PA ` Q = PA = Q Dunque, tutti i teoremi di PA son veri anche nei modelli non standard Il che impone una struttura complessa in tali modelli 37 / 92

38 Qualche cenno alla struttura di un modello non standard 0 1 n d 1 d d + 1 2d 1 2d 2d / 92

39 Livelli di descrizione Fissiamo un linguaggio, un sistema formale e un modello. Esempi canonici: L PA, PA, N oppure N non standard. Sia P(n) una proprietà sul modello (P : N {V, F }). P è definibile, se esiste una formula Π P (n) tale che P(n) vero sse Π P (n) vero P è rappresentabile (in modo forte), se esiste una formula Π P (n) tale che per ogni n, se P(n) è vero, allora PA ` Π P (n) per ogni n, se P(n) è falso, allora PA ` ΠP (n) Per cardinalità, esistono infinite proprietà non rappresentabili. Non ci preoccuperanno molto (ma vedremo esempi per N e N). 39 / 92

40 Overspill Se una proprietà vale per infiniti standard, allora vale anche per qualche non standard Corollario Per un qualsiasi N, non esiste alcuna formula S(x) (nel linguaggio L PA ) tale che S(n) vera sse n è standard Non possiamo definire (separare) la parte standard di un modello per mezzo del linguaggio L PA 40 / 92

41 Alcuni personaggi in commedia Le formule (esprimibili in L PA ) vere in N costituiscono la teoria di N: Th(N) Le formule (esprimibili in L PA ) vere in tutti i modelli {P PA = P} Le formule (esprimibili in L PA ) dimostrabili nella teoria formale {P PA ` P} (al prim ordine) {P PA ` P} = {P PA = P} Th(N) 41 / 92

42 L aritmetica del second ordine La teoria formale del secondo ordine PA 2 sostituisce lo schema d induzione P(0) 8x [P(x) P(succ(x))] 8x P(x) con l assioma di induzione 8P [P(0) 8x [P(x) P(succ(x))] 8x P(x)] 42 / 92

43 PA 2 è categorica PA 2 ha un solo modello (che è ovviamente N) Sia M = PA 2 È facile vedere che M deve contenere una copia di N. Sia essa St M Definiamo su M la proprietà P(n) = V sse n 2 St Certo 0 2 St, dunque vale P(0) Supposto n 2 St, sia ha anche n St, ovvero 8n[P(n) P(succ(n))] Ma allora, per l induzione al secondo ordine, per ogni n 2 M, vale P(n), cioè n 2 St Dunque M = St 43 / 92

44 Esercizio Perché lo stesso ragionamento non si può condurre per l aritmetica del prim ordine PA? Suggerimento: su quale proprietà deve essere applicata l induzione? E qual è la differenza sostanziale tra l induzione in PA e quella in PA 2? 44 / 92

45 Al second ordine dunque... Primo ordine: {P PA ` P} = {P PA = P} Th(N) Secondo ordine: {P PA 2 ` P} {P PA 2 = P} = Th 2 (N) Gödel: entrambe le inclusioni sono proprie. 45 / 92

46 Incompletezza Una teoria T è incompleta se esiste una formula G tale che né T ` G, né T ` G Se T è incompleta è consistente Dunque ha modelli Fissato uno di tali modelli, la formula indipendente G è vera o falsa, in quel modello Per completezza, vi saranno modelli in cui G è vera ed altri in cui G è falsa 46 / 92

47 Vari risultati di incompletezza Sia T una teoria con assiomi decidibili, che includa abbastanza aritmetica. Se T è vera (cioè N è un modello), è incompleta Se T è consistente, è incompleta È possibile costruire una formula G nel linguaggio L PA, tale che, se T è vera, G testimonia l incompletezza di T. È possibile costruire una formula G nel linguaggio L PA, tale che, se T è (ω-)consistente, G testimonia l incompletezza di T. L ultimo enunciato è propriamente il primo teorema di Gödel 47 / 92

48 Una prima idea (molto rozza) Sostituire il paradosso del mentitore Questa frase è falsa (che non è un paradosso in PA, perché non formalizzabile) con una formula della forma Questa formula non è dimostrabile Se la formula fosse dimostrabile, PA non sarebbe corretta Se non è dimostrabile non c è paradosso, ma... Se è vera in N, è una formula vera e non dimostrabile 48 / 92

49 Aritmetizzazione, 1 Aritemetizzazione = far corrispondere numeri e relazioni aritmetiche ai concetti sintattici (linguaggio e derivazioni di PA). Per il momento: tali relazioni sono semantiche (in N). Esempi: Ad ogni termine t un numero t Ad ogni formula A un numero A Ad ogni successione di formule A 1,..., A n un numero A 1,..., A n Informalmente: : Sintassi N 49 / 92

50 Funzioni effettive I dettagli di non sono rilevanti Importante: p q deve essere davvero calcolabile in termini di + e Scopo: trasformare la p q semantica in termini e formule di LPA. Col senno di poi: p q è una funzione effettiva Ovvero: (primitiva) ricorsiva, calcolabile secondo Turing, calcolabile da un programma di calcolatore ecc. Gödel non aveva tale concetto e lo introduce! 50 / 92

51 Aritmetizzazione, 2 Un predicato effettivo Term(n) con valore 1 (vero) sse n è la codifica di un termine Term(psucc(0)q) = 1 Term(p0 = 0q) = 0 Un predicato effettivo Fbf (n) con valore 1 (vero) sse n è la codifica di una formula Fbf (psucc(0)q) = 0 Fbf (p0 = 0q) = 1 Un predicato effettivo Dimo(n) con valore 1 (vero) sse n è la codifica di una successione di formule Un predicato effettivo Dim(n, m) sse n codifica una dimostrazione della formula (il cui codice è) m 51 / 92

52 Predicati decidibili Tutti i predicati visti sin ora ammettono un procedimento (semantico) di decisione Cioè un programma che in tempo finito risponde SI o NO 52 / 92

53 Mappa del teorema, 1 Codificare le operazioni sintattiche come relazioni (semantiche) aritmetiche Riflettere tali operazioni semantiche nella sintassi / 92

54 Lemma di rappresentazione Se P(n, m) è un predicato decidibile, esiste una formula Π P (x, y) che rappresenta (in modo forte) P. Cioè: per ogni n e m, se P(n, m) è vero, allora PA ` Π P (n, m) per ogni n e m, se P(n, m) è falso, allora PA ` Π P (n, m) Espressione (semantica) vs rappresentazione (sintattica) 54 / 92

55 Sul lemma di rappresentazione Proprietà sintattiche corrispondono a dimostrabilità di opportune formule Il lemma vale per teorie molto più deboli di PA. P.e., Aritmetica di Robinson (Q): 8a8b [succ(a) = succ(b) a = b] 8a [succ(a) 6= 0] 8a8b [a + succ(b) = succ(a + b)] 8a [a + 0 = a] 8a8b [a succ(b) = a b + a] 8a [a 0 = 0] 8a[a 6= 0 9b(a = succ(b))] 55 / 92

56 Mappa del teorema, 2 Codificare le operazioni sintattiche come relazioni (semantiche) aritmetiche Riflettere (rappresentare) tali operazioni semantiche nella sintassi Autoriferimento / 92

57 Lemma di diagonalizzazione Sia Π(x) una formula con la sola x libera. Allora è possibile costruire una formula Ψ (senza variabili) tale che PA ` Ψ Π( Ψ ) Insomma: Ψ è (nel sistema formale) la stessa cosa della formula Π(x) applicata a (il numero di Gödel di) se stessa 57 / 92

58 Sul lemma di diagonalizzazione La dimostrazione usa prima le tecniche di aritmetizzazione, poi il lemma di rappresentazione Dunque la diagonalizzazione vale laddove vale la rappresentazione 58 / 92

59 Mappa del teorema, 3 Codificare le operazioni sintattiche come relazioni (semantiche) aritmetiche Riflettere (rappresentare) tali operazioni semantiche nella sintassi Autoriferimento La formula gödeliana / 92

60 Definiamo la formula Teor(x) 9y[Π Dim (y, x)] Per diagonalizzazione costruiamo G Teor( G ) 60 / 92

61 Primo teorema di Gödel versione semantica Se PA ha assiomi veri (ovvero: se N è un modello di PA), allora PA 6` G e anche PA 6` G. 61 / 92

62 G è vera Segue subito che: Se PA ha assiomi veri (ovvero: se N è un modello di PA), allora N = G. Teor(x) 9y[Π Dim (y, x)] G Teor( G ) Sappiamo che PA 6` G Dunque, per ogni n, Dim(n, G ) è falso Per il lemma di rappresentazione, PA ` Π Dim (n, G ) Per correttezza, N = Π Dim (n, G ), per ogni n Che è lo stesso che N = 9xΠ Dim (x, G ) Ovvero N = Teor( G ) 62 / 92

63 Sulla versione semantica Abbiamo una formula G Che è vera nel modello standard N Ma né PA ` G, né PA ` G Il teorema è sufficiente se siamo convinti della consistenza di PA Ma è inutile se vogliamo indagare la consistenza Osserva: il teorema vale anche per Q! 63 / 92

64 Incompletezza e Incompletabilità Sia PA = PA + G Ora PA ` G Ma l esistenza di G dipende dal solo lemma di rappresentazione Possiamo rifare tutto, in riferimento a PA Otterremo G indipendente in PA E così via... Incompletabilità di PA (a dire il vero: di Q) 64 / 92

65 Primo teorema di Gödel versione semantica Sia T un estensione di Q i cui assiomi siano decidibili e veri in N. È possibile costruire una formula G T (nel linguaggio L PA ) per cui T 6` G T e anche T 6` G T. 65 / 92

66 Incompletabilità Se vogliamo teorie con assiomi decidibili e corrette (cioè i cui assiomi sono veri in N) non possiamo avere teorie complete 66 / 92

67 Primo teorema di Gödel (-Rosser) versione sintattica Sia T un estensione consistente di Q con assiomi decidibili. È possibile costruire una formula G T (nel linguaggio L PA ) per cui T 6` G T e anche T 6` G T. 67 / 92

68 Anche PA 2... Teorema (Gödel-Rosser) Sia T un estensione consistente di Q con assiomi decidibili. È possibile costruire una formula G T (nel linguaggio L PA ) per cui T 6` G T e anche T 6` G T. PA 2 è un estensione di Q con assiomi decidibili. Se PA 2 è consistente, è incompleta (e incompletabile) Certo, PA 2 dimostra cose che PA non dimostra: PA 2 ` G PA PA 2 6` G PA2 68 / 92

69 PA 2 non gode del thm di completezza PA 2 6` G PA2 PA 2 = G PA2 per gli stessi motivi per cui N = G PA Dunque: PA 2 = P 6= PA 2 ` P Al prim ordine: {P PA ` P} = {P PA = P} Th(N) Al second ordine: {P PA 2 ` P} {P PA 2 = P} = Th(N) 69 / 92

70 Verso gli altri teoremi limitativi Gli ingredienti fondamentali del teorema di Gödel: Lemma di rappresentazione Tutte le funzioni effettivamente calcolabili sono rappresentabili in modo forte in Q Lemma di diagonalizzazione Segue da rappresentazione, se la sintassi è effettivamente calcolabile permettono di stabilire anche: 1 Teorema di Church 2 Teorema di Tarski 70 / 92

71 Il teorema di Church Sia T un estensione consistente di Q con assiomi decidibili. La nozione di essere un teorema di T non è decidibile. Il teorema segue da questo lemma Sia T un estensione consistente di Q con assiomi decidibili. La nozione di essere un teorema di T (cioè il predicato Teor(n)) non è rappresentabile in modo forte in T. che mostra le relazioni con le altre nozioni viste sino a qui. 71 / 92

72 Conseguenze per il calcolo puro La nozione di essere un teorema del calcolo dei predicati puro (cioè senza assiomi) non è decidibile. Dim.: Il teorema di Church si applica all aritmetica di Robinson Q. Q ha un numero finito di assiomi (a differenza di PA). Allora Q ` P sse ` Q P. 72 / 92

73 Che fine ha fatto il mentitore? Gödel riposa sulla riflessione del metalinguaggio nel linguaggio Allora forse questa frase è falsa è una proposizione Certo il lemma di diagonalizzazione permette di dire questa frase... È possibile riflettere in L PA la metateoria semantica (cioè la nozione di vero/falso)? 73 / 92

74 Un predicato di verità Definiamo il predicato True(n) vero sse n è il numero di Gödel di una formula (in L PA ) vera in N Esiste una formula T (x) (in L PA ) che definisca True? Cioè per la quale valga: True(n) vero in N sse T (n) vera in N 74 / 92

75 Il teorema di Tarski Non esiste nel linguaggio L PA alcuna formula che definisca True. 75 / 92

76 Livelli di descrizione Sia P(n) una qualche proprietà su N. P è definibile, se esiste una formula Π P (n) tale che P(n) vero sse Π P (n) vero P è rappresentabile, se esiste una formula Π P (n) tale che per ogni n, se P(n) è vero, allora PA ` ΠP (n) per ogni n, se P(n) è falso, allora PA ` ΠP (n) 76 / 92

77 Livelli di descrizione, 2 Esistono proprietà non definibili: True(n) Esistono proprietà definibili, ma non rappresentabili: Teor(n) Teor(n) 9xΠ Dim (x, y) Esistono proprietà rappresentabili: ogni proprietà decidibile 77 / 92

78 Livelli di descrizione, 3 Lemma (rappresentazione): Decidibile = Rappresentabile (in modo forte) 78 / 92

79 Verso il secondo teorema di Gödel (Mezzo) enunciato del primo teorema Se PA è consistente, allora PA 6` G Può essere espresso nel linguaggio di PA Sia Con Teor( A A ) E scriviamo Con Teor( G ) 79 / 92

80 Il secondo teorema di Gödel Non solo l enunciato del primo teorema è esprimibile. È addirittura dimostrabile all interno di PA: Teorema Ma allora: Teorema (II teorema di Gödel) PA ` Con Teor( G ) Se PA è consistente, allora PA 6` Con. perché altrimenti avremmo PA ` Teor( G ), ovvero (per costruzione di G), PA ` G, che contraddice il primo teorema. 80 / 92

81 Vale per teorie più semplici? Il secondo teorema non vale per Q Qualche forma di induzione è necessaria Occorre l assioma d induzione almeno per formule della forma 9xA, con A senza quantificatori. (Σ 1 -formule) 81 / 92

82 PA è incompleta solo in casi patologici? Le formule G e Con sono un caso patologico Forse PA decide tutti i casi di genuino interesse matematico No! una variante del teorema di Ramsey finito, Paris & Harrington, 1977 teorema di Goodstein Kirby & Paris, 1980 molti altri / 92

83 Verso il teorema di Goodstein, 1 1 Rappresentazione pura di n in base k Rappresenta n come somma di potenze di k Esempio: 266 = = Riscrivi gli esponenti di k come somma di potenze di k 266 = E così via ) 266 = 2 2( = / 92

84 Verso il teorema di Goodstein, 2 2 Bump: B k (n) Prendi la rappresentazione pura di n in base k e cambia k in k + 1; sottrai 1 B 2 (266) = 3 3( ) B 2 (19) = Sequenza di Goodstein: G(n) = n, B 2 (n), B 3 (B 2 (n)), B 4 (B 3 (B 2 (n))),... Esempi: G(3) = 3, 3, 3, 2, 1, 0 G(4) = 4, 26, 41, 60, 83, 109, 139, 173, 211, 253, 299, 348,... G(6) = 6, 29, 257, 3125, 46655, 98039, , / 92

85 Il teorema di Goodstein Teorema (Goodstein) Per ogni n, G(n) termina su zero. Teorema (Kirby & Paris, 1982) L enunciato del teorema di Goodstein è formalizzabile in PA, ma non è dimostrabile in PA. Siccome PA è corretta, neppure la negazione del teorema è dimostrabile in PA. 85 / 92

86 Vero e non dimostrabile La validità del teorema di Goodstein non è un atto di fede Abbiamo dimostrazioni perfette, ma... esse utilizzano strumenti/concetti non esprimibili in PA Thm di Goodstein: ordinali Variante del Thm di Ramsey finito: lemma di König 86 / 92

87 Lemma di König Un albero infinito che ad ogni nodo interno ha un numero finito di figli, ha un cammino infinito. Questo riferimento all infinito non può essere formalizzato in PA. 87 / 92

88 Principio di buon ordinamento Un insieme non vuoto di numeri naturali possiede un elemento più piccolo di tutti gli altri. Questo riferimento alla struttura ordinata ( geometrica ) non può essere formalizzato in PA. Invero: tale principio implica l induzione al secondo ordine. 88 / 92

89 Le dimostrazioni in PA sono aritmetiche? [Una formula è dimostrabile in PA se] its truth or falsity [is] perceived directly on the basis of [...] the fundamental nature and structure of the natural numbers. [D. Isaacson, Some consideration on arithmetical truth and the ω-rule] È una posizione difendibile/ragionevole? 89 / 92

90 Commenti Scarto tra principi di costruzione e principi di dimostrazione [Bailly&Longo] Principi di costruzione Intuizione spazio-temporale della successione naturale Principi di dimostrazione Induzione formale al I ordine Gli enunciati indipendenti (e.g., Goodman) usano proprietà (e.g., buon ordinamento) evidenti all intuizione spazio-temporale, ma non colti dall induzione. Il formalismo è una visione limitata dell accesso alla verità (aritmetica) 90 / 92

91 Commenti, 2 Il formalismo ha dato vita alla (e sopravvive nella) informatica Ma la bontà del prodotto (le macchine calcolatrici) non giustifica il formalismo come filosofia della matematica / 92

92 Temi d esame 1 Il paradosso del mentitore: soluzioni moderne (non semplice) (Etchemendy) 2 Il programma di Hilbert per la fondazione della matematica 3 I teoremi di completezza e compattezza per la logica dei predicati 4 Un sistema formale per la logica dei predicati: deduzione naturale 5 Un sistema formale per la logica dei predicati: calcolo dei sequenti 6 Un sistema formale per la logica dei predicati: risoluzione 7 Un sistema formale per la logica dei predicati: tableaux 8 La nozione di decidibilità (ovvero: rudimenti di calcolabilità) 9 Il teorema di Goodstein (richiede nozioni elementari di aritmetica ordinale) 10 Il lemma di diagonalizzazione (richiede rudimenti di calcolabilità) 11 Il lemma di rappresentazione (ovvero: aritmetizzazione della sintassi; per chi ama le codifiche combinatorie) 12 La discussione filosofica sul teorema di Gödel (p.e. Minds, machines and Gödel di Lukas ecc.) 13 Il teorema di Gödel nella versione originale (ω-completezza). 92 / 92