Introduzione ad alcuni sistemi di logica modale

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1 Introduzione ad alcuni sistemi di logica modale Laura Porro 16 maggio Il calcolo proposizionale Prendiamo come primitivi i simboli del Calcolo Proposizionale (PC) tradizionale a due valori 1 : un insieme illimitato di lettere p, q, r,...; i seguenti simboli,, (, ). Ogni simbolo contenuto in questo elenco o ogni sequenza di essi è chiamato espressione. Un espressione può essere o una formula (in particolare una formula ben formata wff ) o no, ma noi ci occuperemo solo delle wff. Le seguenti sono le regole di fomazione di wff per PC: 1. una lettera da sola è una wff ; 2. se α è una wff, allora lo è anche α. Le lettere vengono interpretate come variabili i cui valori sono proposizioni, e sono chiamate variabili proposizionali. È possibile formare proposizioni più 1 Seguo l impostazione del testo [HC96]. 1

2 complesse a partire da quelle più semplici a ttraverso operatori che formano proposizioni (come,,...); ogni operatore ha una arietà, a seonda di quanti argomenti gli possano venire assegnati. Se è possibile dedurre il valore di verità di una prposizione complessa, partendo dal valore di verità dei singoli argomenti, si dice che l operatore è vero-funzionale. Sulla base di questa proprietà si possono costruire tavole di verità per ogni operatore, ad esempio Altri operatori vero-funzionali possono essere definiti sulla base di e e sono,,. Una wff diventa una proposizione qaundo tutte le sue variabili p, q, r,... sono sostituite con proposizioni. Una wff è detta valida se il risultato di ogni sostituzione è una proposizione vera: le wff valide secondo questa definizione sono dette tautologie. Un esempio di tautologia sono le leggi di De Morgan (p q) ( p q) (1) (p q) ( p q). (2) Tramite il metodo delle tavole di verità è possibile verificare che qualunque siano i valori assegnati a p e q il valore dell operatore è sempre 1. 2 Nozioni modali di base Una logica modale si definisce in questo modo: si aggiungono al linguaggio di PC due operatori modali monadici,, che si leggono rispettivamente è necessario α e è possibile α.. Si aggiunge anche la regola di formazione per la quale se α è una wff allora lo è anche α e se α è una wff allora lo è anche α. L operatore non deve necessariamente essere definito come primitivo, ma può essere definito a partire da in questo modo: α def = α. (3) Il linguaggio della logica modale proposizionale si compone di simboli primitivi: 2

3 variabili proposizionali p, q, r,...; operatori monadici, ; operatori diadici ; parentesi (, ); e regole di formazione: una variabile proposizionale è una wff ; se α è una wff, allora lo sono anche α e α; se α e β sono wff, allora lo è anche (α β); si definiscono a partire dagli operatori sopra come in PC anche,, e α. Gli operatori modali non sono vero-funzionali, perché il valore di verità di p non è sufficiente a stabilire la verità di p o di p, quindi stabilire la validità di una formula in questo sistema base di logica modale non è meccanico come in PC. 3 Sistemi di logica modale È possibile espandere queste nozioni modali di base dando origine a diversi sistemi di logica modale attraverso il metodo assiomatico. La ragione per cui si usa questo metodo è che esso permette di presentare un sistema modale, indipendentemente dalla capacità di determinarne la validità, e di stilare un elenco di wff senza fare riferimento al loro significato. Una base assiomatica per un sistema modale consiste di: 1. una descrizione del linguaggio, che consiste di simboli primitivi, definizioni, regole di formazione per le wff ; 2. assiomi, ovvero una lista di wff ; 3. regole di trasformazione che preservino la validità e che consentano operazioni sugli assiomi. Le wff ottenute dagli assiomi tramite le regole di trasformazioni sono dette teoremi. 3

4 Quando una formula è teorema di un sistema S si dice che appartiene ad S. Se due sistemi S e S contengono gli stessi teoremi, indipendentemente da come siano essi definiti, si dice che siano deduttivamente equivalenti. Se S contiene tutti i teoremi di S si dice che S contiene S o che è più forte o che ne è una estensione propria. Il motivo per cui esistono diversi sistemi di logica modale è che esistono diversi modi di interpretare il concetto di modalità; dire di una cosa che è necessaria può significare che deve essere così come è, oppure che deve essere così da un punto di vista etico, o che è dimostrabile, è noto, che sarà sempre così. Ad esempio se si considera l operatore come è moralmente doveroso, allora p p è falso, perché le persone spesso non fanno ciò che sarebbe moralmente doveroso fare. Di ogni sistema bisogna provare due cose: che ogni teorema è valido per definizione (validità), e che ogni wff valida per definizione è un teorema (completezza). Per dare queste dimostrazioni si imposta un frame di mondi possibili W, R, dove W è un insieme non vuoto di mondi possibili e R una relazione binaria di accessibilità fra i mondi possibili. Un modello è una tripla W, R, V, dove W, R è un frame e V è una valutazione che soddisfi le seguenti condizioni: 1. p, w W o V (p, w) = 1 o V (p, w) = 0 2. wff α, w W V ( α, w) = 1 if V (α, w) = 0 3. wff α, β, w W, V (α β, w) = 1 se o V (α, w) = 1 o V (β, w) = 1 4. wff α, w W, V ( α, w) = 1 se w W tale che wrw, V (α, w ) = 1 Una wff α è valida su un frame sse per ogni modello basato su quel frame e w W V (α, w) = 1. Le successioni di operatori modali, del tipo p sono dette modalità iterate e se ne parlerà nei paragrafi riguardanti i sistemi S4, S5 e B. Un teorema che permetta di sostituire una successione di operatori modali con una più breve è detta regola di riduzione. Qui sotto elenco le regole di riduzione più importanti: R1: p p R2: p p 4

5 R3: p p R4: p p Non tutti i sistemi contengono tutte le regole di riduzione, ad esempio T non contiene nessuna regola di riduzione, quindi contiene un numero infinito di modalità distinte. 3.1 Il sistema K Gli assiomi del sistema K sono tutte le wff di PC, unite alla wff modale Le regole di trasformazione sono le seguenti: (p q) ( p q). (4) US (Uniforme Sostituzione): α [β 1 p 1,...,β n p n ]; MP (Modus Ponens): α (α β) β; N (Necessitazione): α α Regole derivate: DR1: α β α β DR2: α β α β DR3: α β α β Teoremi: K1: (p q) ( p q) K2: ( p q) (p q) K3: (p q) ( p q) (legge distributiva di ) K4: ( p q) (p q) K5: p p K6: ( p q) (p q) (legge distributiva di ) 5

6 K7: (p q) ( p q) K8: ( p q) (p q) K9: (p q) ( p q) Una wff è K-valida sse è valida su ogni frame. 3.2 Il sistema T Se si aggiunge a K la wff chiamata T non K-valida p p (assioma di necessità), si ottiene un sistema più forte di K che lo estende propriamente, e cioè T. Questo assioma significa che ciò che è necessariamente in un certo modo è così. I teoremi di T sono: T1: p p T2: (p p) T è valido su ogni frame riflessivo (cioè in cui w W, wrw). 3.3 Il sistema D Se si dà un interpretazione deontica a, considerandolo quindi come l operatore indicante necessità morale, l assioma di necessità T non è più valido; aggiungendo a K il teorema D p q si ottiene però il sistema D. Teoremi: D1: (p q) Il sistema D è intermedio fra K e T, perché il teorema D non è teorema di K, mentre tutti i teoremi di K sono teoremi di D, e D è teorema di T. D è valido nei frame seriali, cioè quelli in cui ogni mondo è in relazione con almeno un altro mondo, i.e. w W w W t.c. wrw. 3.4 Il sistema S4 S4 è K più gli assiomi T, p p e le regole di riduzione R3 e R4, quindi tutte le modalità iterate con più di quattro operatori non possono essere ridotte. Teoremi: 6

7 S4(1) : p p S4(2) : p p S4(3) : p p S4(4) : p p S4(5) : p p S4(6) : p p S4(7) : p p S4 è valido sui frame riflessivi e transitivi (cioè nei quali accade che se wrw e w Rw, allora wrw ) 3.5 Il sistema S5 S5 è T più l assioma p p e tutte e quattro le regole di riduzione menzionate sopra. I teoremi di questo sistema sono: S5(1) : p p S5(2) : p p S5(3) : p p S5(4) : (p q) ( p q) S5(5) : (p q) ( p q) S5(6) : (p q) ( p q) S5(7) : (p q) ( p q) S5 è valido sui frame in cui R sia riflessiva, transitiva e simmetrica, cioè una relazione di equivalenza. 7

8 3.6 Il sistema B Il sistema brouweriano è S5 e consiste nell aggiungere a T i seguenti assiomi di S5: S5(8) : p p (assioma di Brouwer) S5(9) : p p B è valido su ogni frame in cui R sia simmetrica, cioè se wrw, allora anche w Rw. 8

9 Riferimenti bibliografici [HC96] G. E. Hughes and M. J. Cresswell. A new introduction to modal logic. Routledge,