Soluzioni per gli esercizi di Teoria dei grafi.

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1 M. Barlotti Soluzioni per gli Esercizi di Teoria dei grafi v.!.3 Pag. 1 Soluzioni per gli esercizi di Teoria dei grafi. Esercizio 1 Un grafo connesso Z è disegnato nel piano senza sovrapposizione di lati e le sue facce hanno il bordo formato da $ o "# lati; precisamente, ci sono "# facce col bordo formato da $ lati e una faccia col bordo formato da "# lati. Inoltre, sei vertici di Z hanno grado # e tutti gli altri, tranne uno che indicheremo hanno grado &. Nessun vertice ha grado ". Si dica: quanti lati ha Z ; quanti vertici ha Z ; qual è il grado ; se Z è euleriano. Soluzione Il numero totale dei lati che compaiono nei bordi delle facce è %); poiché ogni lato viene contato nel bordo di due facce, ci sono in tutto #% lati (poiché nessun vertice ha grado ", ogni lato appartiene al bordo di esattamente due facce). Per la formula di Euler, se il grafo connesso Z ha #% lati, 8 vertici e "$ facce deve essere 8 #% "$ œ # e quindi Z ha "$ vertici (dei quali sei hanno grado # e sei hanno grado &). Poiché la somma dei gradi di tutti i vertici è uguale al doppio del numero dei lati, detto 1 il grado deve essere da cui 1! œ '. ' # ' & 1 œ%)! Infine, Z non è euleriano perché ha vertici di grado dispari.!! Esercizio 2 Sia Z il grafo disegnato qui di seguito, che ha * vertici e "& lati. Si dica: se Z può essere disegnato nel piano senza sovrapposizione di lati; se Z è euleriano; se Z è hamiltoniano.

2 M. Barlotti Soluzioni per gli Esercizi di Teoria dei grafi v.!.3 Pag. 2 Soluzione Il grafo Z non può essere disegnato nel piano senza sovrapposizione di lati perché il sottografo indotto dai vertici "#%(),,,, e * è una suddivisione di ^& (si sopprima il vertice * e si consideri un unico lato di estremi il vertice # e il vertice )). Da un disegno di Z nel piano senza sovrapposizione di lati si ricaverebbe un disegno di ^& nel piano senza sovrapposizione di lati. Il grafo Z è euleriano perché è connesso e ogni vertice ha grado pari. Infine, Z non è hamiltoniano perché non è # connesso (sopprimendo il vertice % e tutti i lati ad esso incidenti, il grafo risultante non è più connesso). Esercizio 3 Sia Z il multigrafo (con & vertici e ( lati) disegnato qui sotto nel piano senza sovrapposizione di lati. Si dica: ( 3) se Z è euleriano; ( 33) se Z ha cammini euleriani, e in caso affermativo se ne descriva uno; ( 333) se Z è hamiltoniano. Soluzione Poiché Z è connesso e ha esattamente due vertici di grado dispari, Z non è euleriano ma ha almeno un cammino euleriano (che ha per estremi i due vertici di grado dispari). Ad esempio c è quello che parte arriva per uno dei due lati che hanno per estremi questi due vertici, torna " per l altro lato ancora disponibile, poi tocca nell $, $ e finisce Z non è hamiltoniano perché non è connesso (sopprimendo il vertice e tutti i lati $ ad esso incidenti si ottiene un grafo con due componenti connesse).

3 M. Barlotti Soluzioni per gli Esercizi di Teoria dei grafi v.!.3 Pag. 3 Esercizio 4 Sia Z il grafo disegnato qui sotto, che ha "! vertici e "& lati. Si dica se Z è un grafo piano. Soluzione Il grafo dato ha calibro &. Se fosse piano, sarebbe (indicando con - il numero dei lati, con 8 il numero dei vertici e con - il calibro) ossia - - Ÿ - # ( 8 # ) "& Ÿ & %! $ ) œ $ Poiché tale disuguaglianza è falsa, il grafo non è piano. Esercizio 5 Sia Z il grafo disegnato qui sotto, che ha #" vertici e $& lati. Si dica se Z è euleriano e/o hamiltoniano. Soluzione Poiché Z è connesso, e ogni suo vertice ha grado pari, Z è euleriano. Per verificare se Z è hamiltoniano, possiamo ragionare sul sostegno di Z, che è un grafo disegnato nel piano senza sovrapposizione di lati con "! & facce (cioè "! facce il cui bordo è un ciclo di lunghezza &) e una sola "! faccia (cioè una sola faccia il cui bordo è un ciclo di lunghezza "!). Supponiamo che in Z esista un ciclo hamiltoniano; detta B la differenza fra il numero delle & facce interne al ciclo e il numero delle & facce esterne al ciclo, per il teorema di Grinberg dovrebbe essere $B œ ). Ma questo è assurdo, perché ) non è multiplo di $. Dunque Z non è hamiltoniano.

4 M. Barlotti Soluzioni per gli Esercizi di Teoria dei grafi v.!.3 Pag. 4 Esercizio 6 Sia Z il grafo disegnato qui sotto, che ha ## vertici (numerati da " a ##) e $" lati. Z è euleriano? Z è hamiltoniano? Questo disegno può essere tracciato (partendo da un vertice di Z) senza mai ripassare sullo stesso tratto? Se la risposta è affermativa, si può partire da qualsiasi vertice di Z? Da quale/i? Soluzione Da un controllo diretto risulta che tutti i vertici di Z hanno grado pari, tranne quelli contrassegnati dai numeri ( e ) che hanno grado dispari. Dunque Z non è euleriano, ma (essendo connesso) ha (almeno) un cammino euleriano, e ogni cammino euleriano di Z parte dal vertice numero ( e termina nel vertice numero ) o viceversa: questo significa che il disegno proposto può essere tracciato senza mai ripassare sullo stesso tratto, ma si deve necessariamente partire dal vertice ( (e arrivare nel vertice )) oppure partire dal vertice ) (e arrivare nel vertice (). Resta da stabilire se Z sia hamiltoniano; poiché Z è disegnato nel piano senza sovrapposizione di lati ed ha esattamente "" facce ("! col bordo di & lati e una col bordo di "# lati), possiamo applicare il teorema di Grinberg. Supponiamo che in Z esista un ciclo hamiltoniano V, e sia B la differenza fra il numero /& delle facce col bordo di & lati esterne a V e il numero 3 delle facce col bordo di & lati interne a V; per il teorema di Grinberg deve essere & $B œ "! ma questo è assurdo perché il primo membro è multiplo di $ ma il secondo non lo è: dunque in Z non può esistere un ciclo hamiltoniano, cioè Z non è hamiltoniano.

5 M. Barlotti Soluzioni per gli Esercizi di Teoria dei grafi v.!.3 Pag. 5 Esercizio 7 Sia Z il grafo senza orientamento disegnato qui sotto, che ha diciannove vertici (numerati da " a "*) e trenta lati. Si dica se Z ha un circuito euleriano; un cammino euleriano; un ciclo hamiltoniano. Soluzione Da un controllo diretto risulta che soltanto i vertici contrassegnati dai numeri %, ), *, "! e "* hanno grado pari, mentre gli altri quattordici vertici hanno grado dispari. Dunque Z non è euleriano, né possiede un cammino euleriano. Resta da stabilire se Z sia hamiltoniano; poiché Z è disegnato nel piano senza sovrapposizione di lati ed ha esattamente "$ facce (% col bordo di ' lati e * col bordo di % lati), possiamo applicare il teorema di Grinberg. Supponiamo che in Z esista un ciclo hamiltoniano V; sia B la differenza fra il numero /' delle facce col bordo di ' lati esterne a V e il numero 3' delle facce col bordo di ' lati interne a V, e sia C la differenza fra il numero /% delle facce col bordo di % lati esterne a V e il numero 3 % delle facce col bordo di % lati interne a V; per il teorema di Grinberg deve essere %B œ #C. Si osservi ora che, poiché le facce col bordo di % lati sono in tutto *, C deve essere un numero dispari (basta fare tutti i casi possibili, ma la cosa si può anche vedere in modo elegantemente compatto). Dunque il secondo membro dell uguaglianza ottenuta non è divisibile per %, mentre il primo lo è: si è raggiunto un assurdo, il quale prova che Z non può avere un circuito hamiltoniano.

6 M. Barlotti Soluzioni per gli Esercizi di Teoria dei grafi v.!.3 Pag. 6 Esercizio 8 Sia Z il grafo senza orientamento disegnato qui sotto, che ha "# vertici (numerati da " a "#) e ") lati. Si dica se Z ha un circuito euleriano; un cammino euleriano (e in tal caso quali sono i possibili estremi); un ciclo hamiltoniano. Soluzione Da un controllo diretto risulta che i vertici contrassegnati dai numeri $ e ) hanno grado dispari, mentre gli altri dieci vertici hanno grado pari. Dunque Z non ha un ciruito euleriano (cfr. teorema 5.2.1), ma possiede un cammino euleriano i cui estremi sono i vertici contrassegnati dai numeri $ e )(cfr. corollario 5.2.2). Sopprimendo il vertice contrassegnato dal numero % (oppure quello contrassegnato dal numero *, oppure quello contrassegnato dal numero "!) si ottiene un grafo non connesso; dunque Z non è # connesso, e pertanto (cfr. il teorema 6.3.1) non può essere hamiltoniano. Esercizio 9 Sia Z il grafo senza orientamento disegnato qui sotto, che ha come vertici i punti +,,, -,., /, 0, 1, 2. Si dica: ( 3) se Z è euleriano; ( 33) se Z ha un cammino euleriano (specificando nel caso che la risposta sia affermativa il vertice inziale e il vertice finale del cammino euleriano). ( 333) se Z è un grafo piano; ( 3@ ) se Z è hamiltoniano.

7 M. Barlotti Soluzioni per gli Esercizi di Teoria dei grafi v.!.3 Pag. 7 Soluzione Da un controllo diretto risulta che i vertici -,., /, 0, 1 e 2 hanno grado pari, mentre i vertici + e, hanno grado dispari. Dunque Z non è euleriano, ma possiede un cammino euleriano che necessariamente inizia in + e finisce in, o viceversa. Poiché Z ha calibro $ (si veda ad esempio il ciclo ), ) vertici e "* lati, se esistesse un disegno nel piano di Z senza sovrapposizione di lati varrebbe la disuguaglianza "*Ÿ$ () #) œ") e dunque si può concludere che Z non è un grafo piano. Resta da stabilire se Z sia hamiltoniano; una verifica diretta mostra che + 2,. 0 - / 1 + è un ciclo hamiltoniano di Z, dunque Z è hamiltoniano. Esercizio 10 Sia Z il grafo senza orientamento disegnato qui sotto, che ha %' vertici e '* lati. Si dica se Z ha un circuito euleriano; un cammino euleriano (e in tal caso quali sono i possibili estremi); un ciclo hamiltoniano. Soluzione Poiché ogni vertice di Z ha grado $, Z non è euleriano né ammette un cammino euleriano. Per valutare se Z è hamiltoniano, poiché Z è disegnato sul piano senza sovrapposizione di lati possiamo cercare di applicare il teorema di Grinberg.

8 M. Barlotti Soluzioni per gli Esercizi di Teoria dei grafi v.!.3 Pag. 8 Segniamo in ogni faccia il numero dei lati che ne formano il bordo: Supponiamo che in Z esista un ciclo hamiltoniano V; sia B la differenza fra il numero /& delle facce col bordo di & lati esterne a V e il numero 3 & delle facce col bordo di & lati interne a V; sia C la differenza fra il numero / ) delle facce col bordo di 8 lati esterne a V e il numero 3 ) delle facce col bordo di ) lati interne a V; osserviamo infine che esiste una sola faccia col bordo di * lati, necessariamente esterna a V. Per il teorema di Grinberg deve essere $B 'C ( œ! ossia (œ $B 'C ma questo è assurdo perché il primo membro non è multiplo di $ mentre il secondo lo è: dunque in Z non può esistere un ciclo hamiltoniano, cioè Z non è hamiltoniano. Esercizio 11 Sia Z il grafo disegnato qui sotto, che ha "' vertici e #" lati. Si dica se Z è euleriano e/o hamiltoniano. Soluzione Poiché i vertici contrassegnati dalle lettere,, /, 3, 4, 8 e 9 hanno tutti grado dispari, Z non è euleriano.

9 M. Barlotti Soluzioni per gli Esercizi di Teoria dei grafi v.!.3 Pag. 9 Osserviamo adesso che Z è un grafo piano; per disegnarlo nel piano senza sovrapposizione di lati basta disegnare il lato di estremi, e 1 in modo che non attraversi quello di estremi - e 0: Supponiamo che in Z esista un ciclo hamiltoniano V: sia B la differenza fra il numero /& delle facce col bordo di & lati esterne a V e il numero 3 & delle facce col bordo di & lati interne a V ; osserviamo poi che esiste una sola faccia col bordo di ' lati, e che esiste infine una sola faccia col bordo di "" lati, necessariamente esterna a V. Per il teorema di Grinberg deve essere $B % *œ! ossia %œ (* $B) ma questo è assurdo perché il primo membro non è multiplo di $ mentre il secondo lo è: dunque in Z non può esistere un ciclo hamiltoniano, cioè Z non è hamiltoniano. Esercizio 12 Sia Z il grafo disegnato qui di seguito, che ha "' vertici e ## lati. Si dica ( 3) se Z è un grafo piano; ( 33) se Z è un grafo euleriano; se Z possiede un circuito euleriano à se Z possiede un cammino euleriano; ( 333) se Z è un grafo hamiltoniano.

10 M. Barlotti Soluzioni per gli Esercizi di Teoria dei grafi v.!.3 Pag. 10 Soluzione Poiché Z può essere disegnato nel piano senza sovrapposizione di lati (basta disegnare in modo diverso il lato di ), è un grafo piano. # ( Z Poiché Z ha esattamente due vertici di grado dispari (@"& Z non è euleriano (cioè non possiede un circuito euleriano), ma Z possiede un cammino euleriano i cui estremi sono "& "' Infine, poiché Z non è # connesso (basta sopprimere il & per ottenere un grafo non connesso) Z non è hamiltoniano. Esercizio 13 Sia Z il (multi)grafo senza orientamento qui disegnato, che ha "$ vertici e "* lati: Si stabilisca se Z è un (multi)grafo euleriano e/o possiede un cammino euleriano, precisando in quest ultimo caso quali vertici possono essere gli estremi di tale cammino. Si stabilisca inoltre se Z è hamiltoniano. Soluzione Poiché non tutti i vertici di Z hanno grado pari, Z non è euleriano; poiché Z è connesso e soltanto due vertici di Z (@ $ hanno grado dispari, Z ha un cammino euleriano che ha per estremi $ poiché Z non è # connesso (infatti basta sopprimere il # perché il grafo risultante non sia connesso), Z non è hamiltoniano.

11 M. Barlotti Soluzioni per gli Esercizi di Teoria dei grafi v.!.3 Pag. 11 Esercizio 14 Sia Z il grafo disegnato qui sotto, che ha ( vertici e "! lati, e sia Z la chiusura di Z. Si dica: ( 3) se Z è euleriano; ( 33) se Z ha un cammino euleriano (e quali sono i possibili estremi di tale cammino); ( 333) se Z è hamiltoniano; ( 3@ ) se Z è un grafo piano; Soluzione Costruiamo la chiusura di Z:

12 M. Barlotti Soluzioni per gli Esercizi di Teoria dei grafi v.!.3 Pag. 12 Dunque la chiusura Z di Z è isomorfa al grafo completo K ( su ( vertici. Poiché ogni vertice di Z ha grado pari (precisamente, ha grado '), Z è un grafo euleriano (quindi ha un circuito euleriano, che è anche un cammino euleriano); poiché Z è evidentemente hamiltoniano, anche Z lo è (e comunque è ben noto che ogni grafo completo K 8 è hamiltoniano). Infine, Z non è piano perché sappiamo che il grafo completo K 8 è piano se e soltanto se 8Ÿ%. Esercizio 15 Sia Z il grafo disegnato qui sotto, che ha "! vertici e "& lati. Si dica se Z è un grafo piano.

13 M. Barlotti Soluzioni per gli Esercizi di Teoria dei grafi v.!.3 Pag. 13 Soluzione Il grafo dato ha calibro &. Se fosse piano, sarebbe (indicando con - il numero dei lati, con 8 il numero dei vertici e con - il calibro) ossia - - Ÿ - # ( 8 # ) "& Ÿ & %! $ ) œ $ Poiché tale disuguaglianza è falsa, il grafo non è piano. Esercizio 16 Sia Z il grafo senza orientamento disegnato qui sotto, che ha come vertici i punti +,,, -,., /, 0, 1, 2. Si dica: ( 3) se Z è euleriano; ( 33) se Z ha un cammino euleriano (e quali sono i possibili estremi di tale cammino); ( 333) se Z è un grafo piano; ( 3@ ) se Z è hamiltoniano. Soluzione Da un controllo diretto risulta che i vertici,, -,., /, 0 e 1 hanno grado pari, mentre i vertici + e 2 hanno grado dispari. Dunque Z non è euleriano, ma possiede un cammino euleriano che necessariamente inizia in + e finisce in 2 o viceversa. Poiché Z ha calibro $ (si veda ad esempio il ciclo +,. ), ) vertici e "* lati, se, se esistesse un disegno nel piano di Z senza sovrapposizione di lati varrebbe la disuguaglianza "*Ÿ$ () #) œ") e dunque si può concludere che Z non è un grafo piano. Resta da stabilire se Z sia hamiltoniano; una verifica diretta mostra che + / 2 1 0, -. + è un ciclo hamiltoniano di Z, dunque Z è hamiltoniano.

14 M. Barlotti Soluzioni per gli Esercizi di Teoria dei grafi v.!.3 Pag. 14 Esercizio 17 Sia Z il grafo (con ) vertici e "% lati) disegnato qui sotto. Si dica: ( 3) se Z è un grafo piano; ( 33) se Z è un grafo euleriano; ( 333) se Z ha cammini euleriani, e in caso affermativo se ne descriva uno; ( 3@ ) se Z è un grafo hamiltoniano. Soluzione Disegnando il lato AD in modo che non incroci il lato BC e disegnando il lato A? in modo che non incroci il lato B> si ottiene un disegno di Z nel piano senza sovrapposizione di lati: Dunque Z è un grafo piano. Poiché i vertici >?C,, e Dhanno grado dispari ( œ$ ), Z non è un grafo euleriano e non ha alcun cammino euleriano. Proviamo infine che Z non è hamiltoniano applicando il teorema di Grinberg al disegno di Z nel piano senza sovrapposizione di lati che abbiamo ottenuto. Ci sono ' facce col bordo formato da $ lati e # facce col bordo formato da & lati, cioè (con l usuale notazione) / $ 3$ œ ' e /& 3& œ #. Una delle due facce col bordo formato da & lati è certamente esterna a un eventuale ciclo hamiltoniano; se lo fosse anche l altra, il ciclo dovrebbe passare (nell ordine) per i vertici A=>B,,, e?, e non potrebbe che proseguire e ritornare in B : assurdo. Dunque /& œ3& œ". Per il teorema di Grinberg, se esistesse un ciclo hamiltoniano in Z dovrebbe dunque essere a/ $ 3$ b $ a" " b œ! cioè / $ œ 3$. Ma il vertice B è comune a % facce col bordo formato da $ lati che dovrebbero essere tutte interne all eventuale ciclo hamiltoniano. Ciò è assurdo, dunque Z non è hamiltoniano.

15 M. Barlotti Soluzioni per gli Esercizi di Teoria dei grafi v.!.3 Pag. 15 Esercizio 18 Sia Z il grafo (con ( vertici e "# lati) disegnato qui sotto. Si dica: ( 3) se Z è un grafo piano; ( 33) se Z è un grafo euleriano; ( 333) se Z ha cammini euleriani, e in caso affermativo se ne descriva uno; ( 3@ ) se Z è un grafo hamiltoniano. Soluzione Sia Z il sottografo che si ottiene da Z sopprimendo i e?a, e sia Z il grafo che si ottiene da Z sopprimendo il vertice C e sostituendo i due lati BC e CD con un unico lato BD : è immediato verificare che Z è isomorfo a K $$,. Dunque Z non è un grafo piano perché ha un sottografo ( Z ) isomorfo a una suddivisione di K $$,. Poiché Z è connesso ed ha esattamente due vertici di grado dispari, Z non è un grafo euleriano ma ha un cammino euleriano, ad esempio B, ( B@ (@>), >, ( >? ),?, (@A), A, ( A> ), >, ( >B), B, ( BC), C, ( CD), D, ( D? ),?, (?A), A, ( AD), D. Z è infine un grafo hamiltoniano perché il ciclo che tocca successivamente i vertici B, CDA?>,,,, per ritornare a Bè un ciclo hamiltoniano. Esercizio 19 Siano Z" e Z# i grafi disegnati qui di seguito: il primo ha ( vertici e "# lati, il secondo ha "% vertici e #" lati. Si dica per ciascuno di essi se è un grafo piano.

16 M. Barlotti Soluzioni per gli Esercizi di Teoria dei grafi v.!.3 Pag. 16 Soluzione Il grafo Z " è un grafo piano, perché si può disegnare nel piano senza sovrapposizione di lati, come si vede qui: Il grafo Z # invece non è piano. Osserviamo innanzitutto che il suo calibro è ' (per la simmetria del disegno basta considerare i cicli che passano per il vertice " e quelli che passano per il vertice (). Se Z# fosse un grafo piano, indicando con - il numero dei lati, con - il calibro e con 8 il numero dei vertici dovrebbe essere ossia - - Ÿ - # ( 8 # ) ' #" Ÿ % ( "% # ) œ "). Poiché invece #" "), possiamo concludere che Z # non è un grafo piano. Esercizio 20 Siano Z" e Z# i grafi disegnati qui di seguito. Per ciascuno di essi si dica se è euleriano e/o hamiltoniano.

17 M. Barlotti Soluzioni per gli Esercizi di Teoria dei grafi v.!.3 Pag. 17 Soluzione Nessuno dei due grafi è euleriano, perché entrambi presentano vertici di grado dispari. Il grafo Z " è hamiltoniano perché è isomorfo al grafo completo K %. Possiamo usare il teorema di Grinberg per dimostrare che invece il grafo Z # non è hamiltoniano. Esso infatti è disegnato nel piano senza sovrapposizione di lati, ed ha $ facce col bordo formato da ' lati, % facce col bordo formato da & lati e una faccia (quella esterna) col bordo formato da "% lati. Se esistesse un ciclo hamiltoniano, con le usuali notazioni dovrebbe essere $3 ( & / &) %3 ( ' / ') œ"#. In particolare, 3' / ' dovrebbe essere divisibile per $, quindi (ricordando che 3' / ' œ $ ) 3' œ $ e /' œ! (o viceversa). Nel caso 3 œ! e / œ $ si arriverebbe ad avere ' ' $3 ( & / &) œ#% cioè 3& / & œ ), impossibile perché 3& / & œ % (ricordiamo che gli 34 e gli / 4 sono tutti numeri interi non negativi). Resta la possibilità che sia 3 œ $ e / œ!, da cui $3 ( & / &) œ! ossia 3& œ/ & e quindi 3& œ/ & œ#. Due facce col bordo di & lati dovrebbero essere esterne al ciclo hamiltoniano, come la faccia che ha il bordo di "% lati; e questo non è possibile perché al ciclo hamiltoniano devono appartenere anche i vertici "#$")"*,,,, e #!. ' '