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1 M Barlotti Soluzioni per gli Esercizi di Algebra v " Capitolo 2 Pag 1 2 Soluzione degli esercizi su: dimostrazioni per induzione Esercizio 21 Si dimostri che per ogni numero naturale si ha " 3 3 Soluzione Procediamo per induzione su Se ³, l uguaglianza da dimostrare diventa " " ossia "" quindi è vera Supponiamo allora che ipotesi di induzione) l uguaglianza sia vera per, e dimostriamola per Vogliamo quindi provare che Si ha in effetti " " " applicando l ipotesi di induzione) 3 3 come si voleva Esercizio 22 Si dimostri che per ogni numero naturale "$ "') " è divisibile per ) Soluzione Procediamo per induzione su Se ³, "$ "') " " " è certamente divisibile per ) Supposto allora che "$ "') " sia divisibile per ), dimostriamo che anche ) "$ "') ") " lo è ) "$ "') ") " "$ "') "') " "$ "$ "') "') " "$ "'* "'* "') "') "') "'* "'* a"$ "') " b "') e questo numero è divisibile per ) "') ) tenendo conto dell ipotesi di induzione

2 M Barlotti Soluzioni per gli Esercizi di Algebra v " Capitolo 2 Pag 2 Esercizio 23 Sia X ³ { B / B '} Si dimostri che $ x per ogni X Soluzione Procediamo per induzione su applicando il teorema 231 con ³ Verifichiamo in primo luogo che $ ") x $ x Adesso supponiamo l'asserto vero per e dimostriamolo per Dobbiamo cioè provare che $ a bx supponendo che sia $ x e ' Si ha $ $ $ $ axb moltiplicando per $ ambo i membri dell'ipotesi di induzione come è lecito fare, perché $ ) D'altro lato, moltiplicando per x ambo i membri della disuguaglianza $ come è lecito fare, perché x ) si trova che $ axb a b axb a bx e dunque come si voleva $ a bx Esercizio 24 Si dimostri che per ogni \{, "} si ha " " Œ Soluzione Procediamo per induzione su Per ³ si ha " " " " " " "" " $ $x $ Œ Œ Œ x "x " " " $ $ Supponiamo adesso ipotesi di induzione) che sia Œ " " a b" " " Œ e proviamo che

3 M Barlotti Soluzioni per gli Esercizi di Algebra v " Capitolo 2 Pag 3 Si ha " " " " a b" " a b" Œ Œ Œ " " " Œ Œ " ) ) ) ) ) ) ) ) e l asserto è completamente provato Esercizio 2 Sia, un numero naturale,, " Si dimostri che, per ogni numero naturale +,, +, +," a" b a" b + Soluzione Procediamo per induzione su + Per + ³, è,,," a" b a" b "a" b Supposto ora l asserto vero per +, dimostriamolo per +" L ipotesi di induzione è dunque Si ha +, +," +" + a" b a" b +,, +", a" b a" b a" b +" +," +", a" b + a" b +" Conviene distinguere il caso in cui + è pari da quello in cui + è dispari Se + è pari, + +" a" b " e a" b ", cosicché l ultima espressione vale,",,"),,") +" ),,") +," ) + +" +,+") +" ),+") +" ),+") +" ),+"),"),+"),") +" +" ),+") +" ),+) a" b," +"

4 M Barlotti Soluzioni per gli Esercizi di Algebra v " Capitolo 2 Pag 4 + +" Se invece + è pari, a" b " e a" b ", cosicché l ultima espressione vale,,",,"),,") +" ) +" + +" ),+") +,+") +" ),+"),"),+"),") +" ),+") +" ),+) " +" a b," +" Esercizio 26 Si dimostri che per ogni numero naturale si ha Œ $ $ " 3 3 Soluzione Procediamo per induzione su Se ³, l uguaglianza da dimostrare " diventa $ $ " ossia $" quindi è vera Supponiamo allora che ipotesi di induzione) l uguaglianza sia vera per, e dimostriamola per Vogliamo quindi provare che Si ha in effetti come si voleva Œ $ $ " 3 3 Œ 3 $ Œ 3 $ $ applicando l ipotesi di induzione) 3 3 $ " $ $ $ "$ " Esercizio 27 Si dimostri che per ogni numero naturale "" " " è divisibile per " Soluzione Procediamo per induzione su Se ³, "" " " " " è certamente divisibile per " Supposto allora che "" " " sia divisibile per ", dimostriamo che anche ) "" " ") " lo è ) "" " ") " "" " " " "" "" " " " "" "" "" " " " "" "" a"" " " b " e questo numero è divisibile per " " ) tenendo conto dell ipotesi di induzione

5 M Barlotti Soluzioni per gli Esercizi di Algebra v " Capitolo 2 Pag Esercizio 2 Si dimostri che per ogni \{ } si ha " " Ÿ Soluzione Procediamo per induzione su Per " si deve verificare che " " " Ÿ " cioè " Ÿ" e ciò è immediato Supponiamo allora che l asserto sia vero per e proviamolo per L ipotesi di induzione è " " Ÿ e dobbiamo provare che " " Ÿ Ricordando l ipotesi di induzione possiamo scrivere che " " " " " ) ) Ÿ Per provare l asserto basterà allora mostrare che Ÿ ossia che " " " ) " " " " ) Ÿ a b ma quest ultima disuguaglianza è ovvia perché a b a b per ogni Esercizio 29 " ) Per ogni numero naturale, sia + ³ Si dica, motivando la risposta, se è vero che per ogni si ha + ) ) ' Soluzione L uguaglianza proposta si dimostra facilmente per induzione su 0 " ) " )) ' È vera per ³, perché + +

6 M Barlotti Soluzioni per gli Esercizi di Algebra v " Capitolo 2 Pag 6 Supponiamo allora ipotesi di induzione) che sia dimostriamo che + ) ) $ ) ' + ) ) + ) ) ) ) ) ) $ ) ) + + come si voleva dimostrare ' ' ' ) ) $ ) ) ) ) $ ) ' ' ' e Esercizio 210 Si dimostri che per ogni numero naturale è Soluzione Indichiamo con P ) l uguaglianza proposta, che si deve dimostrare vera per ogni numero naturale Conviene procedere per induzione su Þ Per si deve verificare che ossia che " " " " " " Adesso supponiamo che P ) sia vera, e dimostriamo che è vera anche P ) Si ha ma per l ipotesi di induzione è dunque $ a b ossia la P ) come si doveva dimostrare

7 M Barlotti Soluzioni per gli Esercizi di Algebra v " Capitolo 2 Pag 7 Esercizio 211 Si dimostri che per ogni numero naturale si ha Œ " 3 3 Soluzione Procediamo per induzione su Se ³, l uguaglianza da dimostrare diventa " " ossia " quindi è vera Supponiamo allora che ipotesi di induzione) l uguaglianza sia vera per, e dimostriamola per Vogliamo quindi provare che Si ha in effetti come si voleva Œ " 3 3 Œ 3 Œ 3 applicando l ipotesi di induzione) 3 3 " " " Esercizio 212 Si dimostri che per ogni numero naturale " " è divisibile per Soluzione Procediamo per induzione su Se ³, " """ è certamente divisibile per Supposto allora che " " sia divisibile per, dimostriamo che anche lo è ) " ") " ) " ") " " " " " "' "' "' " " " "' "' a " " b " e questo numero è divisibile per " ) tenendo conto dell ipotesi di induzione

8 M Barlotti Soluzioni per gli Esercizi di Algebra v " Capitolo 2 Pag Esercizio 213 Sia X ³ { B / B )} Si dimostri che x per ogni X Soluzione Procediamo per induzione su applicando il teorema 231 con ³ * Verifichiamo in primo luogo che * ' " $' )) *x * *x Adesso supponiamo l'asserto vero per e dimostriamolo per Dobbiamo cioè provare che a bx supponendo che sia x e ) Si ha axb moltiplicando per ambo i membri dell'ipotesi di induzione come è lecito fare, perché ) D'altro lato, moltiplicando per x ambo i membri della disuguaglianza come è lecito fare, perché x ) si trova che axb a b axb a bx e dunque come si voleva a bx Esercizio 214 Si dimostri che per ogni numero naturale è Soluzione Indichiamo con P ) l uguaglianza proposta, che si deve dimostrare vera per ogni numero naturale Conviene procedere per induzione su Þ Per si deve verificare che ossia che " $ " " $ "

9 M Barlotti Soluzioni per gli Esercizi di Algebra v " Capitolo 2 Pag 9 che Adesso supponiamo che P ) sia vera, e dimostriamo che è vera anche P ), cioè Si ha ma per l ipotesi di induzione è dunque ossia la P ) come si doveva dimostrare Esercizio 21 Si dimostri che per ogni numero naturale si ha ' Œ " 3 3 Soluzione Procediamo per induzione su Se ³, l uguaglianza da dimostrare diventa " ' " ossia '" quindi è vera Supponiamo allora che ipotesi di induzione) l uguaglianza sia vera per, e dimostriamola per Vogliamo quindi provare che ' Œ " 3 3 Si ha in effetti ' Œ 3 ' Œ 3 ' applicando l ipotesi di induzione) come si voleva 3 3 "' " "

10 M Barlotti Soluzioni per gli Esercizi di Algebra v " Capitolo 2 Pag 10 Esercizio 216 Si dimostri che per ogni numero naturale $ ) " è divisibile per ' Soluzione Procediamo per induzione su Se ³, $ ) """ è certamente divisibile per ' Supposto allora che $ ) " sia divisibile per ', dimostriamo che anche lo è ) $ ) ) " ) $ ) ) "$ ))"$ $ ))" $ $ )))" a$ ) b$ )) a$ ) b) a$ " b L espresssione dentro la prima parentesi è divisibile per 6 in base all ipotesi di induzione; dobbiamo dunque dimostrare che ) a$ " b è anch esso divisibile per ', cioè che $ " è divisibile per ) Ma si ha $ " $ ) " ed è ben noto che questa espressione è divisibile per $ ", cioè per ) Esercizio 217 Si dimostri che per ogni numero naturale è ' ' ' Soluzione Indichiamo con P ) l uguaglianza proposta, che si deve dimostrare vera per ogni numero naturale Conviene procedere per induzione su Þ Per si deve verificare che ' " ' ' ossia che $ " '' ' ' " "'' ' ' '$' Adesso supponiamo che P ) sia vera, e dimostriamo che è vera anche P ), cioè che ' ' Si ha ' ' ' '

11 M Barlotti Soluzioni per gli Esercizi di Algebra v " Capitolo 2 Pag 11 ma per l ipotesi di induzione è dunque ' ' ' ' ' ' ' ossia la P ) come si doveva dimostrare ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' Esercizio 21 Si dimostri che per ogni numero naturale è ) ) ) Soluzione Indichiamo con P ) l uguaglianza proposta, che si deve dimostrare vera per ogni numero naturale Conviene procedere per induzione su Þ Per si deve verificare che ) " ) ) ossia che $ " )) ) ) " ") ) ) )' Adesso supponiamo che P ) sia vera, e dimostriamo che è vera anche P ), cioè che ) ) ) Si ha ma per l ipotesi di induzione è dunque ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ossia la P ) come si doveva dimostrare ) ) ) ) ) ) ) ) ) )