1 I numeri naturali. 1.1 Gli assiomi di Peano

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1 1 I numeri naturali I numeri naturali sono il punto di partenza per la costruzione degli altri insiemi numerici: numeri interi, razionali, reali e quindi complessi, interi modulo n. Il concetto di numero è ritenuto naturale: quasi tutti sanno contare e fare qualche facile operazione; eppure pochi sanno rispondere (e probabilmente non hanno alcun interesse a chiederselo) a domande come: cosa sono i numeri naturali? Cosa sono e come si costruiscono i numeri interi o i razionali? Un punto di partenza per studiare i numeri naturali è l assiomatizzazione di Peano Gli assiomi di Peano Sia N un insieme non vuoto e si fissi in N un elemento detto zero che indichiamo con 0; viene inoltre fissata una funzione + da N in N. Indicata con a + l immagine di a tramite + al variare di a N, a + si dice elemento successivo di a. Si assume che nell insieme N valgano i seguenti Assiomi, detti appunto Assiomi di Peano: i) 0 a + a N; ii) la funzione + è iniettiva; iii) se S è un sottoinsieme di N che contiene lo 0 e tale che per ogni s S, s + S, allora S = N. L insieme N è per definizione l insieme dei numeri naturali. In questo contesto è sufficiente ammettere l esistenza di un siffatto insieme N. Una costruzione di un insieme che soddisfi i tre assiomi può essere ottenuta in base alla Teoria degli insiemi. In quel contesto si dimostra anche che un tale insieme è unico. Il terzo assioma è alla base del principio di induzione, nonché delle definizioni per ricorrenza. Spesso in modo inconscio usiamo sia le dimostrazioni per induzione, sia le definizioni per ricorrenza. Il concetto di definizione per ricorrenza rende precisa l idea di costruire un oggetto passo per passo. Il modo rigoroso di introdurre le definizioni per ricorrenza si basa sul seguente teorema. 1 Giuseppe Peano Cuneo Torino

2 Teorema 1 (Teorema di ricorrenza) Dati un insieme S, un elemento a di S e una funzione ϕ da S in se stesso, esiste una e una sola funzione f : N S, tale che f(0) = a, f(n + ) = ϕ(f(n)). Dimostrazione: Posto X = N S, si consideri l insieme Γ P(X) costituito dai sottoinsiemi U che godono delle seguenti due proprietà: i) (0, a) U; ii) se (n, b) U allora anche (n +, ϕ(b)) U. Γ poiché X gode di i) e ii). La funzione f viene definita come l intersezione di siffatti insiemi U (in questo caso, quindi, si usa la definizione di funzione come sottoinsieme del prodotto cartesiano). Per il terzo assioma, per ogni n N, esiste b S : (n, b) f. Proviamo ora, sempre utilizzando il terzo assioma di Peano, che se (n, b) e (n, b ) f, allora b = b, ossia che f è una funzione. Sia T il sottoinsieme di N T = {n N : (n, b) e(n, b ) f b = b )}. Proviamo che 0 T : se per assurdo 0 / T, esisterebbero a, a con a a e (0, a), (0, a ) f. Sia allora f = f \ {(0, a )}. Evidentemente, f soddisfa le condizioni i) e ii) e quindi dovrebbe contenere f, mentre per definizione f è contenuto propriamente in f. Si supponga ora che esista r T tale che r + / T e sia (r, b) f, cosicché, per come è definito f, (r +, ϕ(b)) f. Poiché r + / T, esiste c ϕ(b) tale che (r +, c) f. Sia allora f = f \ {(r +, c)}. (0, a) f, dal momento che (0, a) f e r+ 0. Vogliamo provare che f Γ, in quanto ciò porterebbe di nuovo alla contraddizione f f, mentre f è per costruzione propriamente contenuto in f. Infatti, sia n N e n r; si supponga (n, d) f ; per come sono stati costruiti f e f, anche (n +, ϕ(d)) f e se (r, b ) f, allora b = b, e (r +, ϕ(b)) f, poiché c ϕ(b). Questo dimostra che f f. Per il terzo Assioma di Peano si è dunque provato T = N e quindi f è una funzione. Resta da provare l unicità di f: sia allora g una funzione che soddisfa le due condizioni i) e ii); g Γ e quindi f g. Per definizione di funzione si conclude f = g. Il Teorema 1 permette di definire sull insieme N le operazioni di somma e prodotto per ricorrenza. 2

3 1. Somma del numero naturale m con il numero naturale n. Con riferimento al Teorema 1, si pone: (a) S = N, a = m; (b) si prende come funzione ϕ la funzione +; (c) la funzione f del teorema è l usuale somma di m e n; risulta infatti: 0 + m = m, n + + m = (n + m) Prodotto del numero naturale m per il numero naturale n. Si pone: (a) a = 0; (b) ϕ(n) = n + m; (c) si ottiene: 0m = 0, n + m = nm + m. Esempio: Proprietà associativa della somma: La somma è un operazione associativa: (a + b) + c = a + (b + c) a, b, c N Dimostrazione. Per induzione su a (quindi b e c sono fissati). La base dell induzione è chiara: in effetti (0+b)+c = b+c = 0+(b+c). Anche la dimostrazione del passo induttivo è semplice: supponendo di sapere: (a + b) + c = a + (b + c), dobbiamo dimostrare (a + + b) + c = a + + (b + c). Infatti (a + + b) + c = (a + b) + + c = ((a + b) + c) + d altra parte: a + + (b + c) = (a + (b + c)) + ; ma: (a + b) + c = a + (b + c) per ipotesi induttiva, e quindi (a + + b) + c = (a + b) + + c) = (a + (b + c) + = s(a) + (b + c). Un altro modo di introdurre i numeri naturali si basa sul concetto di insiemi equipotenti. In tal caso le proprietà delle operazioni si dimostrano con la teoria degli insiemi. 3

4 1.2 L induzione L assioma di Peano iii) viene anche chiamato principio di induzione nella prima forma. Vediamo in pratica coma si usa. Supponi che, per ogni n N, E(n) sia una affermazione. Assumi inoltre che E(0) sia vera e che, per ogni n N, si possa dimostrare che se E(n) è vera allora E(n + ) è vera. Allora E(n) è vera per ogni n N. Per vedere questo applica l assioma di Peano iii) all insieme S := {n N E(n) è vera}. Esempio. (Disugualianza di Bernulli) Sia c 1 un numero reale. Allora (1 + c) n 1 + nc. (Qui assumiamo che 0 0 = 1.) Per n = 0 si ha (1 + c) 0 = 1 = c. Ora sia n N e supponi che (1 + c) n 1 + nc. Prendi n + = n + 1 e nota che (1 + c) n+1 = (1 + c) n (1 + c) (1 + nc)(1 + c) = 1 + nc + c + nc nc + c = 1 + (n + 1)c. (Per la prima disugualianza nota che 1 + c 0 e usa l ipotesi induttiva, per la seconda disugualianza nota che c 2 0.) L insieme dei numeri naturali gode della proprietà del buon ordinamento: Lemma 2 Ogni sottoinsieme S non vuoto dei numeri naturali contiene un minimo, ossia, un elemento l con l s, per ogni s S. Dimostrazione. Sia M l insieme dei numeri naturali m con m s, per ogni s S. Nota che M perchè 0 M, e che se s S allora s + / M. Quindi M N e quindi, per l assioma iii) di Peano, esiste un numero naturale l per cui l + / M. Verifichiamo che l è il numero cercato. Infatti, per definizione di M abbiamo l s, per ogni s S. Inoltre, l S perchè altrimenti avremo l < s, per ogni s S, e quindi l + s, per ogni s S. Questo contraddice l + / M. La proprietà del buon ordinamento ci permette di enunciare il principio di induzione nella seconda forma. Supponi che, per ogni n N, E(n) sia una affermazione. Assumi che si possa dimostrare che E(r) è vera per r N, se E(s) è vera per ogni s con s < r. Allora E(n) è vera per ogni n N. Per vedere questo applica la proprietà del buon ordinamento all insieme S := {n N E(n) non è vera}. Esempio. Un giorno un naufrago arriva su una isola abitata da una tribù di 100 persone. Gli abitanti di questa isola, oltre ad essere perfettamente razionali, hanno anche una ulteriore peculiarità. Non possono parlare 4

5 del colore dei loro occhi: infatti, per rito, una persona che viene a conoscere il colore dei propri occhi deve commettere suicidio il giorno dopo a mezzogiorno. Nell isola ci sono esattamente 20 persone con gli occhi azzurri, inoltre il nostro naufrago ha gli occhi azzurri. Dopo mesi di lavoro il naufrago riesce a costruirsi una zattera per tentare l avventura e la notte prima della partenza viene organizzata una grande festa in suo onore. In tale occasione il naufrago dice sono sorpreso di vedere a questa latitudine altre persone con gli occhi dello stesso colore mio! Come effetto di questa frase propongo due soluzioni: la prima errata, e la seconda giusta (da dimostrare con l induzione). Nella prima soluzione non succede nulla: anche prima dell affermazione del naufrago, gli abitanti dell isola (anche non sapendo il colore dei propri occhi) vedono che gli occhi del naufrago sono azzurri e vedono altri abitanti dell isola con occhi azzurri. Quindi la frase del naufrago non ha nessun impatto sulla conoscenza del colore dei propri occhi. Nella seconda soluzione i 20 abitanti con gli occhi azzurri commettono simultaneamente suicidio il 20esimo giorno successivo alla festa. Per vedere questo ragioniamo per induzione. Se nell isola ci fosse un solo abitante con gli occhi azzurri allora questo (vedendo che tutti gli altri abitanti hanno gli occhi non azzuri e vedendo che il naufrago ha gli occhi azzurri) capisce di avere gli occhi azzurri, e quindi commette suicidio il giorno dopo. Ora supponiamo che ci siano 2 abitanti con gli occhi azzurri: chiamiamoli Alice e Bob. (Il caso 20 segue facilmente per induzione.) Alice vede che il naugrafo ha gli occhi azzurri, che Bob ha gli occhi azzurri e che il resto degli abitanti ha gli occhi non azzurri. La stessa osservazione viene fatta da Bob. Quindi entrambi ancora non conoscono il colore dei propri occhi, e quindi il giorno seguente non commetto suicidio. Tuttavia, visto che al primo giorno nessuno commente suicidio, Alice capisce che Bob non è l unico ad avere gli occhi azzurri (altrimenti avrebbe commesso suicidio il primo giorno). Dunque Alice capisce di avere gli occhi azzurri. Lo stesso argomento vale per Bob. Quindi commettono entrambi suicidio il giorno dopo. Per un acconto significativamente più bello potete vedere il blog (e i vari link) del premio Fields Terry Tao: Per approfondire tali argomenti si può vedere ad esempio: nathan Jacobson, Basic algebra. I. Second edition. W. H. Freeman and Company, New York,