Corso di Laurea in Matematica per l Informatica e la Comunicazione Scientifica

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1 Corso di Laurea in Matematica per l Informatica e la Comunicazione Scientifica Esame di Matematica discreta 1 del 13 febbraio Si considerino i seguenti quattro grafi G i = (V i, S i ), i = 1,..., 4, dove: (a) V 1 è l insieme delle parole di lunghezza 3 nell alfabeto {0, 1}; S 1 = è costituito da quelle coppie di elementi di V 1 che differiscono precisamente in una posizione; (b) V 2 = X Y con X = {x 1,..., x 4 } e Y = {y 1,..., y 4 }; S 2 = {{x i, y j } : i, j = 1,..., 4, i j}; (c) V 3 ha elementi v 1,..., v 8 ; S 3 = {{v i, v j } : i j è invertibile in ZZ 8 }; (d) G 4 è un grafo connesso bipartito con 8 vertici ciascuno dei quali ha grado 3. Segnare quale dei suddetti grafi non è isomorfo al cubo con 8 vertici. Soluzione: Poiché gli elementi invertibili in ZZ 8 sono 4 (precisamente gli interi dispari 1, 3, 5, 7), in G 3 ogni vertice ha grado 4 e ciò lo esclude dall essere isomorfo al cubo che ha tutti i vertici di grado 3. Per completezza mostriamo che i rimanenti tre grafi sono tutti isomorfi al cubo. Anzitutto mostriamo che, a meno di isomorfismi, vi è un solo grafo con le proprietà di G 4 (che sono anche proprietà che caratterizzano il cubo). Indichiamo con 0 ed 1 i due colori con cui è possibile colorare i vertici di G 4. Poi denotiamo con X l insieme dei vertici di colore 0 e con Y l insieme di quelli di colore 1. Poiché ogni vertice di X ha grado 3, Y deve contenere almeno 3 vertici. Se Y avesse solo 3 vertici, X dovrebbe averne 5 e tutti (essendo di grado 3) dovrebbero essere adiacenti ai 3 vertici di Y. Ne seguirebbe che ogni vertice di Y ha grado 5. Dunque l unica possibilità è che X = Y = 4. Si denotino con x 1,..., x 4 i quattro vertici contenuti in X. A ciascun x i (che ha grado 3) corrisponde una terna di elementi di Y e vi è una corrispondenza biunivoca tra gli elementi di X e le terne (non ordinate) di elementi (distinti) di Y (vi sono infatti ( ) 4 3 = 4 di queste terne). Per ciascuno dei quattro vertici x i si denoti con y i l unico vertice di Y non adiacente ad x i. A questo punto è evidente che il simbolismo adottato per descrivere un qualunque grafo con le proprietà di G 4 in realtà descrive il grafo G 2. A questo punto per completare la verifica occorre solo esibire un isomorfismo tra G 1 e G 2. Diamo colore 0 ai vertici di G 1 con un numero pari di 1, cioè ai vertici dell insieme X = {x 1 = 000, x 2 = 110, x 3 = 101, x 4 = 011}, e colore 1 ai vertici di G 1 con un numero dispari di 1, cioè ai vertici dell insieme Y = {y 1 = 111, y 2 = 001, y 3 = 010, y 4 = 100}. Con questo simbolismo gli spigoli di G 1 si identificano con le coppie {x i, y j } con i j, cioè otteniamo G Quanti sono gli interi x multipli di 3 tali che 3 16 x 3 17? (a) ; (b) ; (c) 3 15 ; (d) un numero diverso dai precedenti.

2 Soluzione: Poiché 3 è l unico divisore sia di 3 17 che di 3 16, gli interi 3 17 φ(3 17 ) e 3 16 φ(3 16 ) danno il numero degli interi positivi divisibili per 3 che sono 3 17 e 3 16, rispettivamente. Ne consegue che il numero cercato è (3 17 φ(3 17 )) (3 16 φ(3 16 )) = = = = Sia (V, B) un 2-disegno di parametri (m, 2, 1) con m 5 e si denotino con v 1,..., v m e b 1,..., b n i punti ed i blocchi di V (si pensino i blocchi come sottoinsiemi di V). Per ogni blocco b i si consideri la parola w i di lunghezza m sull alfabeto {0, 1} che abbia gli 1 posizionati nei posti indicati dai punti del blocco b i (per esempio il blocco b i = {v 3, v m } dà w i = ). Inoltre si denoti con w i la parola di lunghezza m 2 ottenuta da w i togliendo gli ultimi due bit e sia C il codice costituito da tutte le parole w i. Segnare l affermazione non corretta: (a) n = m(m 1) 2 e v i, v j V = {v i, v j } B; (b) C non è un codice lineare; (c) la distanza minima delle parole in C è 2; (d) C contiene la parola nulla. Soluzione: Poiché i parametri k ed r 2 del disegno sono rispettivamente 2 ed 1, B è in corrispondenza biunivoca con l insieme delle coppie (non ordinate) di elementi di V. Questo significa che il numero n dei blocchi è m(m 1) 2 e che v i, v j V {v i, v j } B. Ciascuna parola w i consiste dunque di due bit 1 e di m 2 bit 0. Togliendo gli ultimi due bit si ottiene o la parola nulla (se gli ultimi due bit erano 1), o parole con un solo bit 1 ed m 3 bit 0 (se negli gli ultimi due bit vi era uno 0 ed un 1), oppure parole con due bit 1 ed m 4 bit 0 (se gli ultimi due bit erano 0). Pertanto in C vi sono solo parole di peso 0, 1 o 2 e questo comporta che la distanza minima è 1. Infine C non può essere lineare perché vi sono in C parole di peso 1 e 2 che sommate danno una parola di peso 3 che non può essere contenuta in C (per esempio le parole e ). Ne consegue che la risposta da segnare è la (c). 4. Si considerino il grafo G 2 dell esercizio 1 e le seguenti applicazioni γ i : S 2 ZZ 4 : (a) γ 1 : {x i, y j } i; (b) γ 2 : {x i, y j } i j ; (c) γ 3 : {x i, y j } 3i + j (mod 4); (d) γ 4 : {x i, y j } 2i + j (mod 4). Indicare quale tra γ 1,..., γ 4 è una colorazione per gli spigoli di G 2. Soluzione: Certamente è da escludere che γ 1 sia una colorazione per gli spigoli di G 2 perché tutti gli spigoli che hanno un estremo in x i avrebbero lo stesso colore i. Anche γ 2 non può essere una colorazione perché, per esempio, gli spigoli {x i, y i+1 } e {x i, y i 1 }, confluenti sul vertice x i (i = 2, 3), avrebbero lo stesso colore 1. Infine

3 risulta γ 4 ({x 1, y j }) = 2 + j e γ 4 ({x 3, y j }) = 6 + j 2 + j (mod 4), cioè {x 1, y j } e {x 3, y j } avrebbero lo stesso colore nonostante confluiscono sullo stesso vertice y j. Per completezza proviamo che γ 3 è una colorazione per gli spigoli di G 2. Dobbiamo provare che due spigoli che confluiscono su uno stesso vertice, cioè due spigoli del tipo {x i, y j } e {x i, y j }, oppure del tipo {x i, y j } e {x i, y j }, non hanno lo stesso colore in γ 3, a meno che gli spigoli non sono uguali (cioè i = i, oppure j = j ). Se fosse γ 3 ({x i, y j }) = {x i, y j }, si avrebbe l identità 3i + j = 3i + j che, vista in ZZ 4, dà subito i = i perché 3 è invertibile in ZZ 4. Più semplice è verificare che non può essere γ 3 ({x i, y j }) = {x i, y j } se j j. 5. Segnare la congruenza sbagliata: (a) 125 i=0 3 10i 73 i=0 5 10i (mod 9); (b) 124 i=0 3 10i 74 i=0 5 10i (mod 9); (c) 125 i=0 3 10i 73 i=0 5 10i (mod 11); (d) 125 i=0 3 10i 75 i=0 5 10i (mod 11). Soluzione: Dalla teoria segue che ogni intero positivo è congruo mod 9 alla somma delle sue cifre. La somma delle cifre di un intero del tipo n i= i è 3(n + 1), mentre per un intero del tipo n i= i è 5(n + 1). Ciò significa che la (a) è falsa (perché (mod 9), mentre (mod 9)), mentre la (b) è vera (perché (mod 9), e (mod 9)). La teoria ci dice anche che ogni intero positivo è congruo mod 11 alla differenza tra la somma delle sue cifre di posto pari e la somma delle sue cifre di posto dispari. Tale differenza per un intero del tipo n i= i è 3 se n è pari, 0 se n è dispari; mentre per un intero del tipo n i= i è 5 se n è pari, 0 se n è dispari. È subito visto allora che le congruenze (c) e (d) sono ambedue corrette. 6. Quale dei seguenti polinomi di ZZ 3 [x] permette di costruire un campo d ordine 27? (a) x 3 x + 1; (b) x 2 x + 1; (c) x 3 + x 1; (d) x 3 x 2 x + 1. Soluzione: Per costruire un campo d ordine 27 = 3 3 occorre un polinomio di ZZ 3 [x] di grado 3 che sia irriducibile, ovvero che non abbia radici. Dunque il polinomio (b) che è di grado 2 è subito da escludere. Dei rimanenti tre polinomi, (c) e (d) hanno come radice 1, mentre si verifica a vista che né 0, né 1, nè 1, sono radici di (a). Ne consegue che la risposta da segnare è la (a) oggetti a 1,..., a 100 sono disposti, nell ordine indicato, su un nastro mobile su cui opera una macchina avente tre braccia prensili. La macchina è capace di permutare gli oggetti a 3 alla volta in maniera ciclica (per esempio dalla disposizione iniziale si può ottenere la disposizione a 1, a 5, a 3, a 4, a 99, a 6, a 7,..., a 97, a 98, a 2, a 100 permutando ciclicamente a 2, a 5 e a 99 ). Si supponga che dopo n di tali permutazioni cicliche la macchina riesca a scambiare di posto il primo e l ultimo oggetto, rimettendo gli altri nella loro collocazione iniziale, ovvero ottenga la disposizione a 100, a 2, a 3,..., a 98, a 99, a 1. Cosa si può dire di questo numero n?

4 (a) n deve essere pari; (c) n può essere sia pari che dispari; (b) n deve essere dispari; (d) un tale numero n non esiste. Soluzione: Le permutazioni cicliche di 3 oggetti sono permutazioni di segno pari, per cui la macchina può operare sugli oggetti solo permutazioni di segno pari. La disposizione finale indicata è una trasposizione e quindi ha segno dispari. Ne consegue che è impossibile che la macchina riesca ad ottenerla. 8. Delle seguenti quattro affermazioni riguardanti un campo finito IF q con q elementi, segnare quella sbagliata: (a) in IF è un quadrato; (b) in IF 243 ogni elemento si può scrivere come differenza di quadrati; (c) in IF è un quadrato; (d) in IF è un quadrato. Soluzione: La teoria ci dice che ogni elemento di un campo finito IF q si può scrivere come differenza di quadrati se l intero q è della forma 4n+3. Poiché 243 = la (b) è corretta. La teoria ci dice anche che 1 è un quadrato in IF q precisamente quando q 1 (mod 4). È questo il caso di 81, ma non di 243. Ne deduciamo che 80, che è congruo a 1 (mod 81), è un quadrato in IF 81, mentre 242, che è congruo a 1 (mod 243), non è un quadrato in IF 243. Infine l ultima affermazione (d) è vera perché 77 è congruo a 4 (mod 81) e 4 è un quadrato in quanto prodotto dei due quadrati 1 e Nell usuale estrazione del lotto quante sono le possibili cinquine che contengono l ambo 15-37? (a) un numero inferiore a centomila; (b) un numero compreso tra centomila e cinquecentomila; (c) un numero compreso tra cinquecentomila e un milione; (d) un numero superiore a un milione. Soluzione: Visto che già due numeri della cinquina sono assegnati, si tratta di calcolare il numero dei possibili terni che si possono ottenere con i rimanenti 88 numeri dei 90 con cui si gioca al lotto. Questo numero è dato dal coefficiente binomiale ( ) 88 3 = Ne consegue che la risposta da segnare è la (b). 10. Si considerino i seguenti sottoinsiemi di ZZ 12 : (a) K 1 = {1, 2, 3, 5}; (b) K 2 = {2, 5, 8, 11}; (c) K 3 = {1, 9, 10, 11}; (d) K 4 = {0, 8, 9, 10}. Segnare il sottoinsieme K i per cui B i = {x + K i : x ZZ 12 } non è l insieme dei blocchi di un disegno di parametri (12, 4, 4) (avente ZZ 12 come insieme dei punti).

5 Soluzione: Dalla teoria segue (vedi Biggs pag. 150) che B i = {x + K i : x ZZ 12 } è l insieme dei blocchi di un disegno di parametri (12, 4, 4) se i sottoinsiemi x + K i sono tutti distinti. Si ha: 0 + K 1 = {1, 2, 3, 5}; 4 + K 1 = {5, 6, 7, 9}; 8 + K 1 = {9, 10, 11, 1}; 1 + K 1 = {2, 3, 4, 6}; 5 + K 1 = {6, 7, 8, 10}; 9 + K 1 = {10, 11, 0, 2}; 2 + K 1 = {3, 4, 5, 7}; 6 + K 1 = {7, 8, 9, 11}; 10 + K 1 = {11, 0, 1, 3}; 3 + K 1 = {4, 5, 6, 8}; 7 + K 1 = {8, 9, 10, 0}; 11 + K 1 = {0, 1, 2, 4}; 0 + K 2 = 3 + K 2 = 6 + K 2 = 9 + K 2 = {2, 5, 8, 11}; 1 + K 2 = 4 + K 2 = 7 + K 2 = 10 + K 2 = {3, 6, 9, 0}; 2 + K 2 = 5 + K 2 = 8 + K 2 = 11 + K 2 = {4, 7, 10, 1}; 0 + K 3 = {1, 9, 10, 11}; 4 + K 3 = {5, 1, 2, 3}; 8 + K 3 = {9, 5, 6, 7}; 1 + K 3 = {2, 10, 11, 0}; 5 + K 3 = {6, 2, 3, 4}; 9 + K 3 = {10, 6, 7, 8}; 2 + K 3 = {3, 11, 0, 1}; 6 + K 3 = {7, 3, 4, 5}; 10 + K 3 = {11, 7, 8, 9}; 3 + K 3 = {4, 0, 1, 2}; 7 + K 3 = {8, 4, 5, 6}; 11 + K 3 = {0, 8, 9, 10}; 0 + K 4 = {0, 8, 9, 10}; 4 + K 4 = {4, 0, 1, 2}; 8 + K 4 = {8, 4, 5, 6}; 1 + K 4 = {1, 9, 10, 11}; 5 + K 4 = {5, 1, 2, 3}; 9 + K 4 = {9, 5, 6, 7}; 2 + K 4 = {2, 10, 11, 0}; 6 + K 4 = {6, 2, 3, 4}; 10 + K 4 = {10, 6, 7, 8}; 3 + K 4 = {3, 11, 0, 1}; 7 + K 4 = {7, 3, 4, 5}; 11 + K 4 = {11, 7, 8, 9}. Si vede che in B 2 vi sono solo tre componenti distinti e quindi la risposta da segnare è la (b). 11. Siano C un codice lineare non banale di parametri (n, k, δ), cioè un codice di lunghezza n, dimensione k > 0 e minima distanza δ, ed r n un intero positivo. Si denotino con C r l insieme di parole di C aventi l r-mo bit nullo e con (n r, k r, δ r ) i corrispondenti parametri di C r. Supposto C ciclico, segnare l affermazione corretta: (a) C r è ancora un codice ciclico con n r = n 1, k r = k, δ r δ; (b) C r è un codice lineare non ciclico con n r = n 1, k r = k, δ r δ; (c) C r è un codice lineare non ciclico con n r = n, k r = k 1, δ r δ; (d) C r non è più un codice lineare. Soluzione: Anzitutto va chiarito che C r è ancora un codice lineare perché corrisponde, nello spazio vettoriale V n delle parole di lunghezza n sull alfabeto {0, 1}, all intersezione del sottospazio C con l iperpiano di equazione x r = 0. Poiché intersecando con un iperpiano la dimensione si abbassa di un unità, deduciamo che k r = k 1. Inoltre C r non può essere più ciclico perché la presenza obbligata di un bit 0 al posto r-mo in ogni parola di C r impedisce di traslare ciclicamente tutti i bit 1 nelle parole di C r come richiesto in un codice ciclico (k > 0 assicura che esiste in C almeno una parola non nulla). Infine, avendo meno parole di C, C r non può correggere un numero di errori superiore a quanto ne correggeva C. Pertanto la risposta da segnare è la (c).