Soluzioni ottava gara Suole di Gauss

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1 Soluzioni ottava gara Suole di Gauss 25 Marzo Risposta: 6435 Per la soluzione di questo problema possiamo considerare le cifre da 1 a 9 come bambini a cui devono essere distribuite in totale 7 caramelle. Infatti il numero di caramelle rappresenta quante volte la cifra compare nella combinazione della cassaforte (ad esempio, 4 caramelle al bambino 1, 2 caramelle al bambino 5 e una caramella al bambino 8 equivale al codice ). In questo metodo di soluzione è inoltre intrinseco l ordine crescente delle cifre, infatti esse non vengono permutate, e ogni assegnazione di caramelle rappresenta univocamente un codice. 7 caramelle a 9 bambini si possono dare in ( 15 8 ) = 6435 modi. 2. Risposta: 0373 Ogni fattore è del tipo x = x Secondo l identità di Sophie Germain a 4 + 4b 4 = (a 2 + 2b 2 2ab)(a 2 + 2b 2 + 2ab). Possiamo usare questa scompisizione per ogni fattore e vedere che si semplifica la frazione: il primo fattore del numeratore della nuova frazione si semplifica con il secondo del denominatore, il secondo col terzo, e così via. Rimangono dunque l ultimo del numeratore e il primo del denominatore, ovvero: ( 2) + 18 = = Risposta: Tratto dalle Gare di febbraio 2001 Cinque numeri consecutivi possono essere scritti nella forma x 2, x 1, x, x + 1, x + 2 e la loro somma è 5x. D altra parte, se n = 5x, allora n è la somma dei cinque numeri consecutivi x 2, x 1, x, x + 1, x + 2. Analogamente, n è somma di 7 numeri consecutivi se e solo se n è della forma 7y (i 7 numeri consecutivi essendo y 3, y 2, y 1, y, y + 1, y + 2, y + 3). Infine, 6 numeri consecutivi possono essere scritti nella forma z 2, z 1, z, z + 1, z + 2, z + 3, e la loro somma fa 6z + 3. Dunque n è somma di 6 numeri consecutivi se e solo se è della forma n = 6z + 3, cioè se e solo se n è divisibile per 3 ma non per 6. I numeri divisibili contemporaneamente per 5, per 7 e per 3 sono i multipli 1

2 di = 105, e cioè 105, 210, 315, 420,... Tra essi, quelli non divisibili per 6 sono esattamente quelli dispari, e cioè 105, 315,... Il numero cercato è quindi Risposta: 0004 Tratto dalle Gare di febbraio 2000 Moltiplicando l equazione data per 10mn (ricordiamo che m e n sono diversi da zero). Si ottiene: ossia 4mn 10m 10n + 10 = 0 (2m 5)(2n 5) = 15 : Supponiamo dapprima che m n. Le uniche coppie di numeri interi che danno per prodotto 15, con il primo termine minore o uguale al secondo, sono (3; 5), (1; 15), ( 5; 3), ( 15; 1). Ponendo 2m 5 = 3; 2n 5 = 5, si ottiene (m; n) = (4; 5). Ponendo 2m 5 = 1; 2n 5 = 15, si ottiene (m; n) = (3; 10). Ponendo 2m 5 = 5; 2n 5 = 3, si ottiene m = 0, che non è accettabile. Ponendo 2m 5 = 15; 2n 5 = 1, si ottiene (m; n) = ( 5; 2), che non è accettabile in quanto m è negativo. Considerando poi le coppie (m; n) con n < m, si ottiene che le soluzioni sono: {(3; 10); (4; 5); (10; 3); (5; 4)} 5. Risposta: 0000 Studiando l equazione è facile accorgersi che f(x) = x è una soluzione. Continuando lo studio ci possiamo accorgere che f(x) = x/2 + a, per ogni a R, è una soluzione dell equazione. Allora la somma di tutte le f(1) è maggiore uguale a 0 1/2 + a =, da cui la soluzione. 6. Risposta: 0113 Tratto dal Giornalino Gruppo Tutor. Sia AB la Via delle Guardie, sia C il suo punto di tangenza con la cerchia delle mura interne e sia O il centro comune delle delle due cerchie di mura. Chiamiamo R ed r i raggi delle due cerchie (con r < R). Noi vogliamo calcolare S = π ( R 2 r 2) ; osserviamo che OA = OB = R e che OC AB in quanto AB è tangente. Da ciò deduciamo che OC è altezza e mediana di AOB e dunque AC = CB. Applicando il teorema di Pitagora ricaviamo la relazione OA 2 OC 2 = R 2 r 2 = CA 2 ; dai dati sappiamo che CA = AB/2 = 6 miglia. Quindi, mettendo tutto insieme S = π ( R 2 r 2) = CA 2 π = 36π miglia 2. 2

3 7. Risposta: 8020 Tratto dal Giornalino Gruppo Tutor. Definiamo a n = pn q n, e riscriviamo la ricorrenza così: a n = pn q n = pn 1+nqn 1 np n 1+q n 1. Cioè p n = p n 1 +nq n 1, q n = np n 1 +q n 1. Sommando le due equazioni, si ottiene: p n +q n = (n+1) (p n 1 + q n 1 ) e p n q n = (n 1) (p n 1 q n 1 ). Sapendo che p 3 + q 3 = 12 = 4! 2 e p 3 q 3 = 2! sviluppiamo la ricorrenza e otteniamo: p n + q n = (n+1)! 2, e p n q n = ( 1) n (n 1)!. Da questo si deduce che a n = pn q n Quindi, in particolare, a 2004 = = (n+1)!+2( 1)n (n 1)! (n+1)!+2( 1) n (n 1)! = n(n+1)+2( 1)n n(n+1) 2( 1) n. 8. Risposta: 1006 Notiamo che se poniamo x = 0 otteniamo P ( 1 ) = 0, mentre se poniamo x = 1 otteniamo P (1) = 0. Adesso poniamo allora x = 2010 e otteniamo P ( 2010 ) = p(1) = 0. Proviamo inoltre a porre x = abbiamo P ( 2010 ) = p( ) = 0 il ragionamento può allora essere ripetuto per 1 tutti i k [ ] quindi P (k) = 0 e quindi il risultato è:, k=1 k = Risposta: 0009 Per trovare il numero di cifre di 2002!, uso la considerazione, per esempio, che n! < n n. Dunque 2002! < < = , cioè il numero ha sicuramente meno di 8008 cifre. Quindi 2002! < (8008 cifre). La somma delle cifre di 2002! è minore od uguale a = Ma la somma delle cifre di è minore della somma delle cifre di che è 45. A sua volta, la somma delle cifre di 45 e minore di quella di 99, 3

4 cioè minore di = 18. Dunque dopo 3 minuti il valore delle azioni è al massimo 18 euro. Denotata s(n) la somma delle cifre di n, poichè !, anche 9 s(2002!), e pure 9 s(s(2002!)), quindi anche 9 s(s(s(2002!))). Ma s(s(s(2002!))) 18, dunque i casi sono due s(s(s(2002!))) = 9,18. Comunque, s(s(s(s(2002!)))) = 9. Perciò, la somma delle cifre dopo quattro passaggi è sicuramente 9. Poichè s(9) = 9, il prezzo non cambia più fino alla chiusura. 10. Risposta: 4114 Il quadrato massimo deve avere i vertici sulle circonferenze. Si tracci il diametro che congiunge i due centri e si congiunga un vertice del quadrato con i due estremi del diametro. L altezza relativa all ipotenusa del triangolo rettangolo così ottenuto (iscritto in una semicirconferenza) è metà del lato del quadrato. Di conseguenza, per il secondo teorema di Euclide, l 2 = 5 l 2 (10 5 l 2 ) Prendendo la soluzione positiva l = 5 2 ( 7 1) e usando i valori approssimati, si trova che la risposta è Risposta: 0023 Chiaramente deve accadere che n 7 divida 252, quindi che n 7 sia uno dei divisori di 252. Allora scomponiamo 252 e vediamo a cosa si arriva: 252 = dunque 252 ha 18 divisori, vediamone alcuni per capire il ragionamento: n 7 = 1, n 7 = 2, n 7 = 2 2, n 7 = 2 3, n 7 = 2 3 2, n 7 = 2 7, ecc., da cui: n = 8, n = 9, n = 11, n = 13, n = 25, n = 21, ecc. Abbiamo così tutti i valori di n per cui n 7 è un divisore positivo di 252. In realtà questi non sono tutti i valori possibili, poiché 252 n 7 può risultare sia positiva che negativa, l importante è che n sia positivo. Vanno quindi considerati anche i divisori negativi: n 7 = 1, n 7 = 2, n 7 = 4, n 7 = 6, n 7 = 18, n 7 = 14, ecc. facendo i calcoli otteniamo: n = 6, n = 5, n = 3, n = 1, n = 11, n = 7, ecc. tra questi prendiamo solo i valori positivi di n, per un totale di 23 valori positivi di n. 12. Risposta: 0069 In effetti non si possono pagare 58 o 61 cent, mentre se ne possono pagare 87 = cdot5. D altra parte si possono pagare tutti i multipli di 8, tutti i numeri della forma 8k + 1 che siano maggiori o uguali a 33, tutti i numeri della forma 8k + 2 che siano maggiori o uguali a 66, tutti i numeri della forma 8k + 3 che siano maggiori o uguali a 11, tutti i numeri della forma 8k + 4 che siano maggiori o uguali a 44, tutti i numeri della forma 8k+5 che siano maggiori o uguali a 77, tutti i numeri della forma 8k+6 che siano maggiori o uguali a 22 e tutti i numeri della forma 8k + 7 che siano maggiori o uguali a 55. Quindi il massimo numero escluso è 69 = Risposta: 0000 Innanzitutto osserviamo che per le ipotesi del problema, il prodotto di 4

5 tutti e 6 i numeri è un quadrato perfetto. Inoltre, nessuno di essi può essere multiplo di 7. Infatti se ve ne fosse uno tra di essi, allora necessariamente per le ipotesi del problema ce ne dovrebbe essere anche un secondo. Ma allora anche la loro differenza sarebbe multipla di 7. Ma si vede immediatamente che le possibili differenze tra i numeri a disposizione sono 1,2,3,4,5, quindi nessun multiplo di 7. Ora consideriamo la classe di congruenza di n modulo 7. Si può osservare che se n fosse congruo ad un qualsiasi numero diverso da 1 (mod 7), allora necessariamente almeno uno tra i numeri presenti sarebbe congruo a 0 modulo 7. Ma abbiamo escluso la presenza di multipli di 7, quindi n congruo 1 modulo 7. Ma allora n(n + 1)(n + 2)(n + 3)(n + 4)(n + 5) congruo -1 modulo 7. Dal momento che -1 non è un residuo quadratico modulo 7 si ha un assurdo, quindi non vi sono soluzioni. 14. Risposta: 0010 La risposta è 10. Indichiamo con x il piano cercato. Se Guido ha le due uova e ha a disposizione k tentativi, non può effettuare il primo lancio da un piano superiore al k-esimo. Infatti, se effettua il primo lancio dal piano m > k e l uovo si rompe, Guido saprebbe x compreso tra 1 e m 1. Poiché avrebbe a disposizione un solo uovo, non potrebbe lanciarlo da un piano n con n > 1: infatti, se prova e l uovo si rompe, non avendo più uova non sarebbe in grado di trovare x. Quindi sarebbe costretto a lanciare il secondo uovo dal primo piano. Se questo si rompe, allora x = 1; ma se l uovo non si rompe, dovrebbe tentare da un piano più alto. Per lo stesso motivo, l unica scelta possibile sarebbe lanciarlo dal secondo piano e così via. Ciò implica che, per essere certo di risolvere il problema, Guido dovrebbe controllare tutti i piani dal primo al m 1. Ma ha a disposizione solo k 1 (< m 1) lanci e quindi sarebbe in grado di individuare x se e solo se x < k. Quindi, se Guido vuole essere certo di trovare x, deve effettuare il primo lancio da un piano s k. Se l uovo si rompe, potrebbe partire dal primo piano e salire controllandoli tutti fino a che il secondo uovo si rompe, e allora avrebbe trovato x. Se invece il primo uovo non si rompe, avrebbe ancora due uova a disposizione e k 1 lanci. Per la spiegazione precendente, non potrebbe effettuare il secondo lancio da un piano più alto del s + k 1-esimo, e così via. Questo ragionamento prova che, ne il grattacielo ha n piani e Guido ha k lanci a disposizione, può essere certo di risolvere il gioco se e solo se n < 1 / 2(k2 + k) + 1 (il +1 è necessario in quanto Guido sa che x è compresa tra 1 e n e quindi se il grattacielo ha n piani, gli basta verificare solo se x < n poiché, in caso contrario, saprebbe automaticamente che x = n). Poiché nel nostro caso n = 50, il minimo numero di tentativi che Guido deve avere a disposizione è k = Risposta: 0341 Tratto da Art of problem solving Riscrivendo α 4 + β 4 in funzione di p e usando la disguaglianza AM-GM si 5

6 ha: α 4 + β 4 = (α 2 + β 2 ) 2 2(αβ) 2 = ((α + β) 2 2αβ) 2 2(αβ) 2 = (p p 2 )2 1 2p 4 = 2 + p p p4 2p 4 = Il valore cercato è allora 100(2 + 2) = 341,... e si ottiene per p = 8» Risposta: 8038 Tratto da Art of problem solving Se x < 0, allora x 0 e tutto il resto è non negativo, quindi la disuguaglianza è verificata. Nel caso in cui x 0, scriviamo x = x +{x} e notiamo che gli addendi sono non negativi. Allora, per la disuguaglianza AM-GM: ( ( 2010 x x 2010 = ( x + {x}) 2010 = )) {x} ( ( x ) ) {x} = x {x}. Visto che l uguaglianza viene raggiunta se x = 2010 x ), allora il massimo valore di λ è proprio = {x} (per esempio se 6