OLIMATO. OliMaTo1. Soluzioni

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1 OliMaTo1 Soluzioni ESERCIZIO 1: I punti N ed M si trovano rispettivamente su I lati CD e BC di un quadrato ABCD. Il perimetro del triangolo MCN è uguale al doppio della lunghezza del lato del quadrato stesso. Trova l angolo. SOLUZIONE ESERCIZIO 1: Si tracci la circonferenza di centro A e raggio AB. Sull arco BD si prenda un punto a scelta X. Si tracci la tangente alla circonferenza passante per il punto X. Chiamiamo rispettivamente M e N i punti di intersezione della tangente con i lati BC e CD. Dimostriamo che il triangolo NCM soddisfa le condizioni del problema. DN = NX e XM = MB perché anche DC e BC sono tangenti alla circonferenza. E quindi il perimetro del triangolo è uguale a NC + CM + MX + XN = NC + CM + MB + ND, cioè, due volte il lato del quadrato. Con le considerazioni sopra fatte, qualunque triangolo costruito in questo modo, scegliendo un punto qualunque X sull arco BD va bene. Dimostriamo anche che questi triangoli sono gli unici. Supponiamo l esistenza di un triangolo che non è fra quelli costruibili con il metodo sopracitato. Chiamiamo questo triangolo M CN. Dal punto M tracciamo la tangente alla circonferenza che interseca il lato DC in Y. Allora Y è diverso da N. Dunque, il triangolo M CN ha perimetro maggiore o minore di quello di M CY che abbiamo dimostrato sopra avere lunghezza il doppio del lato del quadrato. Torniamo al triangolo MCN. Abbiamo la seguente congruenza degli angoli: XAM = MAB e XAN = NAD, allora l angolo MAN ha ampiezza metà dell angolo DAB che è retto. Si nota che l ampiezza dell angolo MAN è indipendente dalla scelta del punto X. ESERCIZIO 2: Determina tutti i numeri naturali n > 1 tali che (n -1)! è divisibile per n. SOLUZIONE ESERCIZIO 2: forum.

2 Se N è un numero primo allora non soddisfa la richiesta del problema perché N sarà scomponibile come il prodotto di 1 per se stesso, ma fra i numeri minori di N non c è N stesso. Se N è un numero composto, allora sarà scrivibile come il prodotto di due numeri più piccoli. Il problema è quindi vedere se questi due numeri più piccoli compaiono nella scomposizione di (N-1)!. Se N non è quadrato di primi allora è sicuramente scrivibile come prodotto di due numeri A e B diversi ed entrambi presenti nella scomposizione di (N-1)!. Se N è il quadrato di n primo, N = P * P allora basta che nella scomposizione di (N-1)! compaia P e 2P, e ciò non succede solo quando N = 4. ESERCIZIO 3: Sia P(k) il prodotto di tutte le cifre diverse da zero del numero k. Ad esempio P(8)=8, P(10)=1, P(2013)=6. Trova il valore di P(1) + P(2) P(2012) + P(2013). SOLUZIONE ESERCIZIO 3: Consideriamo i primi dieci valori di P(k), includendo per comodità P(0), pari a 1 in quanto è il prodotto vuoto (quindi uguale all elemento neutro della moltiplicazione), che verrà poi sottratto alla fine. La somma di questi valori è semplicemente la somma delle cifre, che vale 45, aumentata di uno, dunque 46. Raggruppando i successivi valori di P(k) a gruppi di dieci ci accorgiamo che la somma degli elementi del singolo gruppo equivale a 45 moltiplicato per la cifra delle decine caratterizzante quel gruppo. P(0) + P (1) + + P (9) = 46 P (10) + P (11) + + P (19) = 1*46 P (20) + P (21) + + P (29) = 2*46 P (90) + P (91) + + P (99) = 9*46 Quindi P (0) + P (1) + + P (99) = 46*( ) = 46*46 Ragionando analogamente sulle centinaia otteniamo P (100) + P (101) + + P (199) = 1*46*46 P (200) + P (201) + + P (299) = 2*46*46 P (900) + P (901) + + P (999) = 9*46*46 Quindi forum.

3 P (0) + P (1) + P (2) + + P (999) = 46*46*( )= 46*46*46 Analogamente sulle migliaia P (1000) + P (1001) + + P (1999) = 46*46*46 Quindi P(0) + P (1) + P (2) + + P (1999) = 46*4+*46*(1+1) = 2*46*46*46 Per i valori da P (2000) a P (2009) possiamo rifarci al primo gruppo di 10. La somma di questi valori varrà quindi 2*46 P (2010) = 2 P (2011) = 2 P (2012) = 4 P (2013) = 6 Finalmente possiamo scrivere P(0) + P (1) + P (2) + P (2013) = 2*46*(46*46+1) = 2*46* = da cui, sottraendo P(0)=1, = ESERCIZIO 4: Definisco una sequenza come segue:, se il numero di divisori positivi di è dispari, se il numero di divisori positivi di è pari (Tra I divisor positive di sono inclusi e.) Sia nell ennesima posizione con l irrazionalità di x. SOLUZIONE ESERCIZIO 4: il numero reale la cui espansione decimale contiene. Dimostrare la razionalità o Osservazione 1: se n è un quadrato allora ha un numero dispari di divisori, se non è invece un quadrato allora ha un numero pari di divisori (queste due affermazioni seguono dalla formula di conteggio dei divisori di un numero, gli studenti ricchi di spirito possono provare per esercizio questo fatto noto). forum.

4 Osservazione 2: un numero razionale ha lo sviluppo decimale periodico o finito, e quindi un numero che ha lo sviluppo decimale infinito e non periodico non è razionale. La sequenza dei quadrati non è periodica, e quindi la sequenza degli zeri in x non è periodica e quindi x non è razionale. ESERCIZIO 5: Sia ABC un triangolo. Siano A_1 e A_2 due punti su AB e AC rispettivamente tali che il segmento A_1A_2 sia parallelo a BC. Supponiamo che la circonferenza circoscritta al triangolo AA_1A_2 sia tangente a BC, e chiamiamo A_3 il punto di tangenza. Definiamo ora i punti B_3 e C_3 in modo analogo. Dimostrare che le rette AA_3, BB_3 e CC_3 concorrono. SOLUZIONE ESERCIZIO 5: La dimostrazione segue dalle seguenti catene di uguaglianze fra angoli vere per teoremi vari sulle circonferenze e triangoli. CA 3 A = AA 1 A 3 = B + A 2 A 1 A 3 = B + CAA 3 CA 3 A = A 3 AB + ABA 3 = B + BAA 3 Adesso posiamo affermare che CAA 3 = BAA 3. Faccio lo stesso ragionamento sugli altri due angoli e quindi ho tre bisettrici, che si incontrano. ESERCIZIO 6: Trovare tutti gli interi positivi n tali che 4^n+6^n+9^n sia un quadrato perfetto. SOLUZIONE ESERCIZIO 6: Vediamo l equazione modulo 5. Allora n deve essere dispari. Ora, ma e applicando il piccolo teorema di Fermat. forum.

5 Per concludere, notiamo che i residui quadratici modulo sono. SCALETTE ATTRIBUZIONE PUNTEGGI ESERCIZIO 1 - Si assegnino 3 punti a chi dimostra l implicazione evidenziata nella soluzione solo in un senso - Si assegnino 2 punti a chi trova il valore dell angolo in un caso limite ESERCIZIO 2 - Si assegnino 5 punti a chi non esclude il caso N = 4 - Si assegnino 3 punti a chi dimostra che i primi non vanno bene oppure per chi dimostra che tutti i composti tranne il 4 vanno bene - Si assegnino 2 punti a chi dice che tutti i composti vanno bene senza dire che il 4 non va bene ESERCIZIO 3 - Si assegnino 5 punti a chi dimentica di togliere P (0) alla fine - Si assegnino 3 punti a chi elabora un procedimento corretto ma sbaglia i conti ESERCIZIO 4 - Si assegnino 3 punti a chi nota che gli 1 stanno nelle posizioni che non sono un quadrato perfetto - Si assegnino ulteriori 3 punti a chi osserva l equivalenza tra irrazionalità e non periodicità forum.

6 ESERCIZI 5 e 6 - Si tolgano 1 o 2 punti anche per piccole imprecisioni, essendo questi due problemi quelli probabilmente decisivi per la definizione della classifica finale - Si assegnino 2 o 3 punti se ci si accorge che l idea fornita nella soluzione potrebbe essere risolutiva per il problema, ma il problema non viene concluso. - Si assegnino 0 punti per considerazioni non utili alla risoluzione dell esercizio forum.