Esercizi. y = x 2 1 (t x). Essa interseca la parabola quando y = t 2 cioé. 1, t = x. (t + x) = 1. x 2 1 2x (t x) = t2, (t x)(t + x) = 1.

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1 Esercizi Esercizio. Consideriamo nel piano xy la parabola y = x. Discutere il problema di trovare, tra tutte le corde che congiungono due punti sulla parabola tali che in una delle due estremità la corda sia perpendicolare alla parabola, quelle di lunghezza minima. Sol. Per simmetria consideriamo corde AB il cui punto A stia nel ramo della parabola contenuto nel primo quadrante tali che la corda sia perpendicolare alla parabola in A. Abbiamo A = x, x ). Il coefficiente angolare della tangente è m = x quindi il coefficiente della perpendicolare è m =. La perpendicolare alla parabola passante per A ha dunque equazione x Essa interseca la parabola quando y = t cioé Si ottiene il punto Allora y = x t x). x x x t x) = t, t x)t + x) = t x t x) x AB = B = x x, x ) ) x x x )) + x x ) ) x x = 4x + ) + + ) 4x 4x = 4x + ) 3 =: fx). 4x t + x) =, t = x x x. Siccome minimizzare AB o AB è la stessa cosa, minimizziamo quest ultima cioé f per x ]0, + [. Evidentemente f0+), f+ ) = +. La derivata di f è f x) = 8x + ) 3 + 4x 3 + ) ) = + ) 4x + ) 3 ) 4x 4x x 3 4x 4x x = 4 + ) x ) 4x x Ora: f 0 sse essendo x > 0) x x 0, cioé sempre essendo x > 0) x 0 ovvero x. Si deduce che il minimo si ottiene per x = e quindi ) min AB = f = 7 4.

2 Esercizio. È dato un numero primo p,, 5 e si considerano le sue potenze p, p,..., p 999. Mostrare che, necessariamente, almeno una delle potenze di p, scritta in notazione decimale, deve terminare con le cifre 00. Sol. Consideriamo le potenze p, p,..., p 999. Si noti che sono esattamente 999 numeri distinti. Ad ognuna di esse è associata una scrittura decimale. Supponiamo per assurdo che nessuna di queste termini per 00: ci sono allora due potenze distinte che devono terminare con le stesse tre cifre, cioè esistono un n < m 999 tali che p m p n termina per c000, ovvero è divisibile per 0 3, cioè Ma essendo p m p n = k0 3 = k p m p n = p n p m n ) = k Siccome p, 5 necessariamente divide p m n, cioè p m n = k 000 ovvero p m n termina per 00.

3 3 Esercizio 3. In un gioco tradizionale armeno si lanciano due dadi e si sommano tra di loro i risultati che appaiono sulle facce superiori. Il giocatore vince al primo lancio se la somma così ottenuta vale 7 o e perde se invece la somma vale, 3 o. Nel caso in cui al primo lancio si ottenga un risultato n diverso da, 3, 7,,, si lanciano ancora i dadi ripetutamente finché la somma delle facce superiori non sia n, nel cui caso il giocatore vince, o 7, nel cui caso il giocatore perde. Qual è la probabilità che il giocatore ha di vincere? Conviene fare questo gioco? Sol. Ci sono 36 risultati egualmente probabili. Componendo una tabella cartesiana con questi risultati si ottiene la seguente distribuzione di probabilità: P ) = P ) = 36, P 3) = P ) = 36, P 4) = P 0) = 3 36, P 5) = P 9) = 4 36, P 6) = P 8) = 5 36, P 7) = La probabilità di vincere lanciando una sola volta è la probabilità diperdere al primo lancio è P 7) + P ) = = 8 36 = 9, P ) + P 3) + P ) = = 4 36 = 9. Supponiamo ora che al primo lancio si sia ottenuto 4. Per vincere dovremo ottenere 4 e per perdere 7, ogni altro risultato è ininfluente e possiamo dimenticarcene. Le configurazioni significative sono per vincere e, 3),, ), 3, ),, 6),, 5), 3, 4), 4, 3), 5, ), 6, ), per perdere. Allora la probabilità di riottenere 4 in un lancio successivo è = 3. Se al primo lancio abbiamo ottenuto 0, poiché le configurazioni corrispondenti a 0 sono ancora 3, 4, 6), 5, 5), 6, 4), la probabilità di riottenere 0 rimane 3. Analogamente la probabilità di riottenere 5 e 9 in un lancio successivo è La probabilità di riottenere 6 e 8 in un lancio successivo è = = 5. Nel calcolo della probabilità di vincere se al primo lancio non si è ottenuto, 3, 7,,, ognuna delle probabilità calcolate va pesata con la probabilità di ottenere al primo lancio il risultato corrispondente, quindi ) 5 = ). La probabilità di vincere allora è ) <.

4 4 Esercizio 4. Sia E un sottoinsieme finito di Z 3 e siano E, E, E 3 rispettivamente le proiezioni di E sui piani cartesiani ortogonali alle direzioni dei vettori e =, 0, 0), e = 0,, 0) e e 3 = 0, 0, ). Denotato con X il numero di elementi di un insieme X, si dimostri che E E E E3. Sol. Denotiamo con l, m, n) le coordinate cartesiane ortogonali di un generico punto di Z 3. Definiamo { se 0, i, j) E = 0 se 0, i, j) / E, b ij = c ij = { se i, 0, j) E 0 se i, 0, j) / E, { se i, j, 0) E 3 0 se i, j, 0) / E 3. Osserviamo che se i, j, k) E, allora b kj c ki =, quindi E aijb kj c ki. i,j,k Z Applicando ripetutamente la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz otteniamo E aijb kj c ki i,j,k Z = cki i,k Z aijb kj cki i,k Z = k Z b j,k i Z b kj cki ) c ki b kj k Z i Z i, = b kj i, k Z i Z i, j,k Z = E E E3. b kj i,k Z c ki ) c ki

5 5 Esercizio 5. Si consideri un triangolo con vertici A, B, C e siano D ed E due suoi punti interni tali che valgano le seguenti congruenze fra angoli: EAB = DAC EBA = DBC ECA = DCB Dimostrare che le proiezioni E, E, E 3 di E appartengono ad una circonferenza il cui centro è Q, il punto medio del segmento DE. A E3 D Q E E B E C Sol. Traccia risoluzione: chiamiamo E, E, E 3 i punti ottenuti riflettendo E rispetto alle rette che contengono i lati vedi Figura 5). Per costruzione vale CE = CE = CE. Dimostriamo che i triangoli DCE e DCE sono congruenti. Possiamo A E'3 E3 D Q E E E' B E C E' scrivere la seguente relazione di congruenza fra angoli: Figure : DCE = DCB + BCE = ACE + BCE = ACB Analogamente si ricava DCE = ACB. La congruenza fra i triangoli DCE e DCE è dunque dimostrata. In particolare segue che DE = DE.

6 Lo stesso ragionamento ci permette di dimostrare DE = DE 3, mostrando che D è il centro della circonferenza che passa per E, E, E 3. Se facciamo ora una omotetia di centro E e ragione, l immagine della circonferenza che passa per E, E, E 3 è la circonferenza che passa per E, E, E 3 e il suo centro è il punto medio Q del segmento DE. 6