Soluzioni ottava gara Suole di Gauss

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1 Soluzioni ottava gara Suole di Gauss 5 Marzo 09. Risposta: 000 Semplicemente un quadrato può essere scritto come somma di due triangolari consecutivi. Diamone una breve dimostrazione: n(n ) + (n + )n n(n + + n ) n. Risposta: 000 Basta ricordarsi che se n è triangolare, allora 8n+ è un quadrato. Quindi al massimo bisogna aggiungere un vaso. Dimostriamo anche che senza aggiungerne non è possibile formare un quadrato, ovvero che non esiste q tale che 8n q con n triangolare. n(n + ) 8 4n(n + ) q n(n + ) k Dove abbiamo posto k q. A questo punto è evidente che non esista un n che renda vera l equazione e che bisogna per forza aggiungere almeno un vaso. 3. Risposta: 0066 Possiamo rappresentare una colorazione dei vertici dell n-agono regolare come una successione di n lettere B, R, V in modo che lettere consecutive siano diverse, così come anche la prima e l ultima lettera. Da ogni colorazione dell (n )-agono regolare si ottiene una colorazione dell nagono regolare aggiungendo un ultima lettera che sia diversa dalla prima e dall (n )-esima. Da ogni colorazione dell (n )-agono regolare si ottiene una colorazione dell n-agono regolare aggiungendo due lettere: l (n )- esima uguale alla prima, e l n-esima, invece, tra le due lettere diverse a disposizione. In questa maniera otteniamo tutte le colorazioni dell nagono regolare, senza ripetizioni. Se indichiamo con C n il numero delle colorazioni dell n-agono regolare che soddisfino le condizioni poste, abbiamo mostrato che C n C n + C n. Sappiamo che C 3 6, e si vede senza grosse difficoltà che C 4 8. Si ottiene allora C 5 30, C 6 66.

2 4. Risposta: 03 Semifinale Giochi matematici Bocconi 09 Per trovare la soluzione a questo quesito bisogna trovare l ultimo numero di tre cifre senza riporti nella cui moltiplicazione per sé stesso non ci siano riporti: In questa moltiplicazione come si può notare non vi è nessun riporto tra unità, decine, centinaia, migliaia e decine di migliaia. Proprio per questo motivo che è l inverso di Risposta: 4087 Semifinale Giochi matematici Bocconi 09 Si può andare a sostituire direttamente alla lettera N il numero in quanto un numero di due cifre moltiplicato per 9 darà sempre come risultato un numero minore di 000. In seguito in quanto viene sommato un numero di 3 cifre ad un numero di 4 possiamo dedurre che la lettera U sarà 7 oppure 8 in quanto non possono essere utilizzati i numeri 6 e 9. A questo punto restano pochissime combinazioni e si può facilmente arrivare alla conclusione e per questo DEUX Risposta: 000 6n + 07 (3n + 4) Quindi 3n + 4 divide 6n + 07 se e solo se 3n + 4 è un divisore di 09. La scomposizione in primi di 09 è Ciò implica che i divisori (sia positivi che negativi) di 09 sono, 3, 673, 09 (e i loro opposti). Ognuno di questi può essere pari a 3n + 4 se e solo se, nella divisione per 3, dà resto. Di questi, solo e 673 soddisfano questa condizione. 7. Risposta: 000 L unica coppia (p, q) che soddisfa l equazione è (3, ). Infatti, dall equazione risulta facilmente che p deve essere dispari, cioè p 4k + oppure p 4k + 3. Se p 4k + si ha p 6k + 8k + Se p 4k + 3 abbiamo p 6k + 4k + 9 6k + 4k In entrambi i casi il risultato dà resto nella divisione per 4. Se anche q fosse dispari, per lo stesso ragionamento p q darebbe resto 3 nella divisione per 4, contro il fatto che p q. Da ciò segue che q è pari, cioè q e quindi l unica possibilità è p Risposta: 007 Tratto da Art of Problem Solving

3 Tramite la disuguaglianza tra media aritmetica e media quadratica si ha: E 6( + b + a c ) ( + a) ( + b) a + b + c 6 + ( + 3c) 9 dove l uguaglianza è raggiunta se e solo se + a +b a 9 36, b 4 9, c Risposta: 00 Inventato Tramite le formule di Viéte si ottiene: αβ γ + βγ α + γα β α β + β γ + γ α αβγ (αβ + βγ + γα) αβγ(α + β + γ) αβγ 6 3 ( 5) c 9, cioè 0. Risposta: 0043 Sia n il grado del polinomio f(x). Perchè valga l uguaglianza i due membri a destra e a sinistra dell uguale devono avere lo stesso grado. È facile osservare che il grado del membro di destra è n +, mentre il membro di sinistra ha grado (se n 0 o n ) o grado n (altrimenti). Dunque deve essere che n e f(x) ax + b per a,b reali e, sostituendo: f(f(x)) x xf(x) a(ax + b) + b x x(ax + b) x + a x + ab + b ax + bx Da cui a, b e f(x) x +. Infine f( 4) 43. Risposta: 00 Tratto da Fall 04 USA OMO. Per la risposta al quesito n possono accadere 4 casi:. Pippo e Pluto hanno entrambi dato la risposta corretta. In tal caso il punteggio totale per la domanda n è 04n e la probabilità che ciò accada è n n+.. Pippo ha ragione e Pluto ha sbagliato. Il punteggio totale è n e la probablità è n n n+. 3. Pippo ha sbagliato e Pluto ha ragione. Il punteggio totale è n e la 3

4 probabilità è n n+. 4. Pippo e Pluto hanno sbagliato entrambi. Il punteggio totale è 0. Dunque il valore atteso per la somma dei punteggi per la n-esima domanda è n 04n n (n + ) + n n (n + ) + n(n ) n (n + ) 04 + n + n n(n + ) n + n + 03 n(n + ) + 03 Sommando tutti i valori per n,,..., 30: 30 n Å n n + Å + 03 n ã Å ã n + 3. Risposta: 000 Tratto dalle Olimpiadi 998 Se n 0, M a 0 ha una sola cifra e dunque appartiene a X. Se n si ha M 0a +a 0, f(m) a +a 0 e affinchè risulti f(m) M occorre che sia 9a a 0 da cui a, a 0 9. Pertanto anche il numero 9 appartiene a X, mentre gli altri numeri di due cifre non appartengono a X. Si noti che la differenza M f(m) 9a a 0 è sempre maggiore o uguale a zero (ed è uguale a 0 solo per 9), per cui per tutti i numeri di due cifre diversi da 9 è f(m) < M. Se n > allora f(m) a n + a n n a n 9 9( n+ ) < 8 n < 0 n M. Possiamo concludere che nessun numero con più di due cifre appartiene a X e che X ; ; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 9. La risposta è dunque Risposta: 0008 Tratto dalle Olimpiadi del 998 Poniamo f(x) x + x e g(x) x 7x +. Osserviamo che f(x)g(x) è primo se e solo se f(x) g(x) è primo, o viceversa. Si ha f(x) per x, f(x) per x, 0 e i valori g( ) 9, g( ) 9; g(0) ; g() 5 sono tutti primi. Inoltre g(x) per x, 5 g(x) per x 3, 4 e i valori f() 5; f(3) ; f(4) 9; f(5) 9 sono tutti primi. La risposta è dunque 8. ã. 4

5 4. Risposta: 6666 Qualificazioni femminili 07 Ma f(00) + f( 00 ) 00 f( ) + f(00) Risolvendo il sistema si ottiene f(00) , da cui 00 f(00) 6666, 3. La risposta è Risposta: 3775 Qualificazioni femminile 07 Chiaramente se un abitante dell isola n è di una certa indole anche gli altri n lo sono perché pronunciano tutti la stessa strofa. Consideriamo l isola 97. Essendo un numero primo essa è collegata solo all isola. Ora, sia che l abitante sull isola abbia indole O o C, i 97 abitanti dell isola 97 dicono il vero e sono di indole C. Ne segue che l abitante dell isola mente ed è quindi O. Lo stesso argomento si applica per ogni isola numero primo maggiore di 50. Dimostriamo ora che, per n compreso tra e 50 tale che, per ogni m < n, tutti gli m abitanti dell isola m sono O, gli n abitanti dell isola n sono O. Supponiamo per assurdo che siano C. Ne segue che tutte le isole multiple di n sono composte da O; in particolare l isola n. Quindi nelle isole linkate all isola n (quelle contrassegnate da un multiplo o da un divisore di n, diverso da n) vi sono più di n con indole C. Ma se m è multiplo di n lo è anche di n, quindi l isola m è composta solo da abitanti O come già notato. Del resto i divisori di n (diversi da n) sono n e numeri minori di n che, per ipotesi, sono isole composte da abitanti O. Quindi le isole linkate all isola n hanno solo n abitanti C quelli dell isola n, che è assurdo perché n < n. Poiché l isola è composta da abitanti O, per induzione, le isole da a 50 sono composte da abitanti O. Sia ora n compreso tra 5 e 00. Poiché 50 n, tutti i divisori di n diversi da n sono compresi tra e 50. Siccome non esistono multipli di n diversi da n e minori di 00, gli abitanti delle isole linkate all isola n sono tutti O e quindi gli abitanti dell isola n tutti C. Riassumendo, le isole da a 50 sono composte da abitanti O mentre quelle da 5 a 00 da abitanti C. La risposta è quindi 00 i5 50 i i i La risposta è Risposta: 77 Abbiamo un modo per scegliere quali numeri prendere e 5! permutazioni 5

6 dei 5 numeri. I casi possibili invece sono in tutto , dunque la probabilità richiesta è p Quindi la risposta è 77. (5! )