Soluzioni settima gara Suole di Gauss

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1 Soluzioni settima gara Suole di Gauss Marzo 09. Risposta: 009 Osserviamo che i numeri di 3 cifre composti da, 6 e 7 sono 3! = 6. Adesso dobbiamo creare coppie di questi 6 numeri, tendendo di conto dell ordine e senza che vi siano ripetizioni: ogni numero può essere accoppiato dunque con gli altri = 30. Attenzione che il problema non chiede questo numero. Il problema dice che di questi 30 numeri uno è stato preso dal protagonista e chiede quanti numeri rimangono liberi per gli amici, dunque la risposta è 9.. Risposta: 0007 Detti P () la probabilità che esca testa volte, P ( ) la probabilità che esca testa almeno una volta e P ( ) la probabilità che esca testa volte, sapendo che è uscita almeno una volta, per la formula di Bayes otteniamo: P ( )P () P ( ) = P ( ) Queste 3 quantità sono tutte calcolabili immediamente: P () = ( ) ( ) ( ) = 3 8 P ( ) = P ( ) = P (< ) = P (0) = ( ) = 5 6 Adesso possiamo calcolare la risposta: P ( ) = = 5 3. Risposta: 95 Inventato Se, partendo da 5, scriviamo in successione i numeri che si ottengono applicando la funzione F otteniamo: Quindi l effetto di F sui numeri pari è quello di sottrarre 73. In conclusione, F (08) = = 95. Si osservi che l applicazione F ai numeri dispari aggiunge invece 75.. Risposta: 08 Gara a squadre Tor Vergata = e quindi i suoi divisori sono tutti nella forma x 5 y con x e

2 y compresi tra 0 e 6 per un totale di 9 divisori. Osserviamo che, se a è un divisore di , allora anche b = a lo è e si ha ovviamente ab = Per rendere più agevole la spiegazione conveniamo di chiamare complementari due divisori a e b di tali che ab = A questo punto, se si esclude 000, che è complementare di se stesso, tutti gli altri 8 divisori di possono essere organizzati in coppie ottenute accoppiando tra loro i divisori che sono complementari. Poichè il prodotto dei due divisori di ogni coppia è esattamente , il prodotto degli elementi di tutte le coppie è e quindi quello di tutti i 9 divisori è 000 (000000), cioè 0 3 (0 6 ), cioè 0 7, che è un numero di 8 cifre. 5. Risposta: 75 Sia x la cifra più a sinistra del numero e sia y il numero rimanente dopo l eliminazione di tale cifra. Allora 0 n x + y = 57y, ovvero 0 n x = 56y. Sul lato destro abbiamo un fattore 7. Visto che 0 n non è divisibile per 7 e x < 0, allora x = 7. Dunque 0 n = 8y, ovvero y = 0 n /8 = 5 0 n 3 con n =, 3,,... Quindi 0 n x + y = 7 0 n n 3 = 75 0 n 3. Il più piccolo numero si ottiene con n = 3 ed è quindi Risposta: 0007 Il problema è equivalente a cercare un numero naturale b > 6 tale che per qualche primo p e qualche k naturale si abbia + 5b + 6b + 5b 3 = p k. Osserviamo innanzitutto che la parte a sinistra dell uguaglianza è sempre pari, quindi il primo p in questione deve essere : + 5b + 6b + 5b 3 = k. Inoltre, la parte a sinistra si può scomporre: (b + )(5b + b + ) = k. Questo implica che entrambi i fattori devono essere delle potenze di, quindi in particolare esiste a > tale che b = a. Sostituendo questa espressione nel secondo fattore si trova 5b +b+ = 5( a ) +( a )+ = 5( a ) 9( a + ) + 8 = 8(5( a 3 ) 9( a ) +. Supponiamo che sia a > 3. Allora dall uguaglianza sopra si vede che in questo caso 5b + b + conterrebbe almeno un fattore dispari, quindi non sarebbe una potenza di due. Quindi a deve essere al massimo 3. Siccome sappiamo anche che a > (poiché b > 6 per ipotesi), l unica possibilità è che sia a = 3, quindi b = 7. Di fatti, si verifica che b = 7 è una soluzione del problema, ed è quindi anche la più grande possibile. 7. Risposta: 000 Osserviamo che per ogni n > si ha che (n ) < n + < (n + ). Quindi in tal caso n + non può essere un quadrato perfetto, essendo compreso tra due quadrati consecutivi. L unica possibilità è che sia n <. Si verifica che solo n = 0 soddisfa l equazione. 8. Risposta: 0000 x = y (y + ) x = y + y x 3 + = (y + ) x 3 =

3 (y + ) = (y ) (y + 3) Ma MCD(y + 3, y ) = MCD(y, ) =. Dunque y = u 3, y + 3 = v 3 e v 3 u 3 =. Siccome non esistono due cubi che differiscono per, non esistono soluzioni. 9. Risposta: 990 Abbiamo che = 00 (0 6 ) + 00 = 00 (0 6 + ) = 7 3 (0 6 +). Notiamo che x 6 + = (x ) 3 + = (x +)(x x +). Concludiamo che = 0 990, e così = Non è difficile verificare che nessuna combinazione di 7,, 3 e 0 possa generare un prodotto superiore a 990 ma inferiore a 0000, quindi la risposta è Risposta: 59 Assumiamo senza perdita di generalità che a + b = 800. (Chiaramente, entrambi a, b sono dispari). Allora c, a+b+c = 800+c, e a+b c = 800 c sono primi. Consideriamo, c, e 800 c modulo 3. Non è difficile vedere che esattamente uno di essi è congruente a 0 modulo 3, cioè uno di essi è uguale a 3( poiché l unico primo congruo a 0 modulo 3 è proprio 3). Di conseguenza, abbiamo che c = 3 oppure che 800 c = 3 (e c = 797). Se c = 3, d < a + b + c = 803. Se c = 797, allora d a + b + c 3 = 59. Possiamo finire come abbiamo fatto nella soluzione precedente.. Risposta: 03 Nessuna retta parallela al piano di equazione z = 0 può stare nell iperboloide, perché altrimeti sarebbe contenuta in un piano di equazione z = k (con k costante) e un tale piano interseca l iperboloide in una circonferenza. Allora una retta giacente sull iperboloide interseca sicuramente il piano di equazione z = 0, quindi in particolare interseca la circonferenza unitaria del piano xy (che ha equazione x +y = e z = 0). Quindi, per simmetria rotazionale attorno all asse z, posso cercare una retta della forma {(, 0, 0) + t(0, a, b) R 3 t R} = {(, ta, tb) R 3 t R} (che è parallela al piano di equazione x = 0 e passa per il punto (, 0, 0)). Imponendo che valga la condizione x + y = + z per ogni t R si ottiene + t a = + t b, cioè a = ±b, quindi le due rette fondamentali sono date da (, t, t) e (, t, t). Ogni retta giacente sull iperboloide si può ottenere dalla rotazione di una di queste due rette, quindi per avere due rette come quelle cercate basta ruotare una di queste rette fondamentali attorno all asse z, ottenendo (cos(θ) + t sin(θ), sin(θ) t cos(θ), t). Imponiamo ora che questa retta intersechi quella data da (, t, t), ottenendo = cos(θ) + t sin(θ) z 0 = t = cos(θ). t = sin(θ) t cos(θ) sin(θ) Detto ϕ l angolo formato dalle due rette (ϕ [0, π ]) e scelti i vettori v = (0,, ), w = (sin(θ), cos(θ)), ) (che sono paralleli alle rette), si 3

4 ha che e quindi v w = v w cos(ϕ) cos(ϕ) = cos(θ) z 0 = t = ( cos(θ)) sin (θ) = cos ϕ cos ϕ. Sostituendo cos(ϕ) = cos(36 ) = + 5 si ha, infine, z 0 = + 5. Link utili: Risposta: 500 Inventato Nella sottogriglia 3 3 chiamiamo µ 0, µ, µ il numero medio di passi per uscire dalla sottogriglia a partire da un nodo che dista rispettivamente 0,, dal nodo iniziale (il centro ). Partendo dal centro posso solo andare in un nodo (cioè a distanza ) con probabilità e proseguire poi da lì, quindi µ 0 = µ +. Dai nodi posso andare a un nodo con probabilità oppure al centro o all esterno con probabilità ciascuno. Allora µ = (µ + ) + (µ 0 + ) + (0 + ) e con lo stesso ragionamento µ = (µ + ) +. Risolvendo il sistema si conclude µ 0 = µ + µ = µ + µ 0 + µ 0 = 9. µ = µ + 3. Risposta: Tratto dal Giornalino Gruppo Tutor. Consideriamo il polinomio p(λ) = λ 3 λx y : per il testo del problema p(a) = p(b) = p(c) = 0. Quindi a, b, c, poiché sono distinti, devono essere le tre radici del polinomio. Dalle relazioni tra radici e coefficienti (formule di Viète) ricaviamo allora che a+b+c è uguale all opposto del coefficiente di x, cioè 0.. Rispost: 66. Tratto dalla gara a squadre del marzo 006. Siano P il punto di incontro delle strade, O il centro della circonferenza del laghetto, H e K i punti di tangenza tra una strada e il laghetto, A e L i punti dove si trovano Andrea e Luca, su OH e OK rispettivamente. Le rette OA e OL sono le bisettrici degli angoli HOP e KOP, rispettivamente. Perciò l angolo AOL è metà dell angolo HOK. Dunque, qualunque sia la posizione della strada AL, l angolo AOL ha sempre la stessa ampiezza; così i suoi valori massimo e minimo coincidono. L angolo HOK è supplementare all angolo HP K, così AOL = = 6.

5 5. Risposta: 0007 Rappresentiamo il grafico della funzione f(x) = x 6 6 (si ottiene facilmente tramite traslazioni e ribaltamenti del grafico di f(x) = x), si veda la figura in basso). Il grafico della funzione g(x) = k(x + 30) è invece una retta che passa per il punto ( 30, 0) e di coefficiente angolare k. Dobbiamo quindi determinare k in modo che i grafici delle due funzioni si intersechino in esattamente 5 punti: come si vede dal disegno, l unica possiabilità è che il grafico della funzione g sia la retta che passa per i punti ( 30, 0) e (6, 6). Sostituendo questi valori nell equazione y = k(x + 30) troviamo che k = /6. 6. Risposta: 067 Determiniamo innanzitutto a cosa equivale il primo membro. Dapprima riscriviamolo come y = 07y. Da questo ricaviamo l equazione y = 07y che risolviamo. Le radici di quest equazione sono y = 0 e y = 07. Come è evidente, la prima non è uguale al primo membro, il quale sarà conseguentemente equivalente a 07. Per il secondo membro va notato che esso può essere ricondotto al polinomio 3x + : questo può essere infatti sviluppato per ricondurvisi: 3x + = 9x + 6x + = 9x +» 36x + x + = 9x + 36x + x + x +. Di conseguenza, dobbiamo risolvere l equazione 07 = 3x + da cui ricaviamo x = 67, soluzione del problema. 5