Prova scritta di Matematica Discreta e Logica del giorno 3 luglio 2017 Soluzione degli esercizi FILA C

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1 ˆ ˆ ƒˆ ˆ ƒ ˆ ˆ Œ ˆ Prova scritta di Matematica Discreta e Logica del giorno 3 luglio 2017 Soluzione degli esercizi FILA C Esercizio 1 Nell insieme delle coppie ordinate di numeri naturali, sia la relazione di ordine così definita: ( B", C ") ( B#, C# ) se e soltanto se a( B" Ÿ B# ) e ( C " C# ) dove Ÿ e sono le usuali relazioni di ordine totale definite in. Si dica, motivando la risposta, se è una relazione di ordine totale in. Posto inoltre A ³ {("#, (), ("&, "#), ("(, #!), (#", &)} si dica, motivando la risposta: se A ha minimo, ed in tal caso qual è il minimo; se A ha estremo inferiore in, ed in tal caso qual è tale estremo inferiore; se A ha massimo, ed in tal caso qual è il massimo; se A ha estremo superiore in, ed in tal caso qual è tale estremo superiore. Soluzione La non è una relazione di ordine totale in perché esistono elementi di non confrontaili (ad esempio, (#, () e (", &)). L insieme A non ha minimo perché nessun suo elemento precede tutti gli altri; le limitazioni inferiori di A sono tutti e soli gli elementi ( +,, ) per i quali si ha +Ÿ"# e, #! ; l elemento ("#, #!) di è l estremo inferiore di A. Infine, l elemento (#", &) è il massimo di Aperché appartiene ad A e inoltre ( +,, ) (#"&, ) per ogni ( +,, ) A essendo + Ÿ #" e, & per ogni ( +,,) A. Di conseguenza, (#", &) è anche l estremo superiore di A. Esercizio 2 In quanti modi diversi si possono distriuire #' palline gialle in ) scatole numerate? Si dimostri inoltre che comunque avvenga la distriuzione ci saranno poi almeno due scatole che contengono lo stesso numero di palline. Soluzione Se B", B#, á, B) è il numero delle palline gialle che vanno nelle varie scatole, le possiili distriuzioni delle #' palline gialle sono in corrispondenza iunivoca con le soluzioni in ) dell equazione e dunque sono ˆ ) #' " #' B B B B B B B B œ #' " # $ % & ' ( ) $$ $# $" $! #* #) #( œ ( ' & % $ # œ $$ $" #* "' * œ % #(#!%).

2 Supponiamo adesso per assurdo che esista una distriuzione delle #' palline gialle nelle ) scatole per la quale ogni scatola viene a contenere un diverso numero di palline: se i numeri di palline contenuti nelle otto scatole, disposti in ordine crescente sono 8", 8#, 8$, 8%, 8&, 8', 8(, 8) poiché deve essere " # $ % & ' ( ) 8) 8( ", 8( 8' ", 8' 8& ", 8& 8% ", 8% 8$ ", 8$ 8# ", 8# 8" " e quindi 8$ 8" #, 8% 8" $, 8& 8" %, 8' 8" &, 8( 8" ', 8) 8" ( da cui infine #'œ8" 8# 8$ 8% 8& 8' 8( 8 ) 8" ( 8" " ) ( 8" # ) ( 8" $ ) ( 8" % ) ( 8" & ) ( 8" ' ) ( 8" ( ) œ œ)8" (" # $ % & ' () œ)8" #) #). Poiché aiamo raggiunto un assurdo, non può esistere una distriuzione delle #' palline gialle nelle ) scatole per la quale ogni scatola venga a contenere un diverso numero di palline. sarà ("& ("& Esercizio 3 Sia ("& l anello delle classi di resto modulo ("&. Per ogni D, indichiamo con [ D] l elemento di ("& a cui D appartiene. Per ciascuno dei seguenti elementi di ("& si stailisca, motivando la risposta, se è invertiile in ("& e, nel caso che la risposta sia affermativa, si dica quanti inversi ha e si determini esplicitamente ogni suo inverso: ["#"], [#&'], [ $&" ]. Soluzione Si ha ("& œ & "" "$, # "#" œ "", ) #&' œ #, $&" œ "$ #( e dunque MCD( ("&, "#") œ "" Á ", MCD( ("&, #&') œ ", MCD( ("&, $&" ) œ "$ Á ". Pertanto fra gli elementi di ("& proposti dall esercizio l unico invertiile è [#&']. In un qualsiasi anello se un elemento è invertiile esso ha un solo inverso; per trovare l inverso di [#&'] in doiamo risolvere l equazione [#&'] [ B] œ ["] in, che ci riconduce all equazione diofantina #&' B ("& C œ " della quale vogliamo trovare una soluzione nella B. A tale scopo asta scrivere l identità di Bezout, che si ricava dall algoritmo di Euclide applicato alla coppia (("&, #&'). Si ha ("& œ #&' # #!$ ; #&' œ #!$ " &$ ; #!$œ&$ $ %%; &$œ%% " *; %%œ* % ); *œ) " "; )œ" )!.

3 Pertanto "œ* )œ* (%% * %) œ* & %%œ (&$ %%) & %%œ&$ & %% 'œ œ &$ & (#!$ &$ $ ) ' œ &$ #$ #!$ ' œ (#&' #!$) #$ #!$ ' œ œ #&' #$ #!$ #* œ #&' #$ (("& #&' #) #* œ #&' )" ("& #* e dunque l inverso di [#&'] in ("& è [)"]. Esercizio 4 Per ciascuno dei seguenti due grafi senza orientamento Z" e Z#, che hanno rispettivamente "' vertici (numerati da " a "') e #& vertici (numerati da " a #&), si dica, motivando la risposta, ( 3) se è un grafo euleriano; ( 33) se non è euleriano ma ha un cammino euleriano (precisando in tal caso il primo e l ultimo vertice del cammino); ( 333) se è un grafo hamiltoniano. Soluzione Nessuno dei due grafi proposti è euleriano o ha cammini euleriani, perché ciascuno di essi ha più di due vertici che hanno grado dispari: per il grafo Z " asta considerare i vertici contrassegnati dai numeri #, $, & e 8, e per il grafo Z # asta considerare i vertici contrassegnati dai numeri #$%,, e '. Il grafo è hamiltoniano perché presenta (ad esempio) questo ciclo hamiltoniano: Z " " # $ % ) ( ' "! "" "# "' "& "% "$ * & " Þ Invece il grafo Z # non è hamiltoniano, e possiamo verificarlo applicando il teorema di Grinerg (infatti Z# è disegnato nel piano senza sovrapposizione di lati). Se in Z# esistesse un ciclo hamiltoniano, vi sareero 3 % facce interne al ciclo col ordo formato da % lati e vi sareero /% facce esterne al ciclo col ordo formato da % lati, oltre a una sola faccia (necessariamente esterna al ciclo) col ordo formato da "' lati. Per il teorema di Grinerg dovree essere #/ ( % 3% ) "%œ! ossia 3% / % œ (. D altro lato, 3% / % œ 16. e sommando memro a memro le due uguaglianze si trova che dovree essere # 3% œ#$ assurdo perché il numero al primo memro è pari mentre il numero al secondo memro è dispari.

4 Esercizio 5 Siano B, C, D variaili proposizionali. Si stailisca, motivando la risposta, se il seguente insieme K di clausole è soddisfaciile; e, nel caso che la risposta sia affermativa, si determini una valutazione di verità che lo soddisfa: K ³ {{ B, D}, { B, C, cd}, { cb, C}, { cb, D}, { cb, C, cd}, { C, D}, { cd}}. Soluzione Applichiamo l algoritmo di Davis-Putnam all insieme {{ BD, }, { cbc, }, { cbd, }, { CD, }, { cd}} ottenuto da K sopprimendo le clausole { B, C, cd} e { cb, C, cd} che contengono la clausola { cd} Þ Pivot B: clausole non contenenti né B né cb: { C, D}, { cd} ; Res B({ BD, }, { cbc, }) œ{ CD, } (si sopprime perché già presente) ; Res B({ BD, }, { cbd, }) œ{ D} ; {{ C, D}, { D}, { cd}} La clausola { C, D} si può sopprimere perché contiene l altra clausola { D}, dunque consideriamo l insieme {{ D}, { cd}} Pivot D: clausole non contenenti né D né cd: nessuna ; Res D({ D}, { cd}) œ [ ] ; {[]} Avendo ottenuto la clausola vuota, possiamo concludere che ^ non è soddisfaciile. Esercizio 6 In un opportuno linguaggio della logica dei predicati, siano P un simolo di predicato unario, Q un simolo di predicato inario e BC, variaili individuali. Si stailisca, motivando la risposta, se a( ab) ap( B) Ä ( C)Q( B, C ) } ( B)( C) ap( B ) Q( B, C). Soluzione Poniamo per semplicità di riferimento : ³ ( ab) ap( B) Ä ( C)Q( B, C) e < ³ ( B)( C) ap( B ) Q( B, C) Si ha : } < se e soltanto se : c < è insoddisfaciile. Per decidere se : c< è insoddisfaciile conviene associarle un insieme di clausole, e per far ciò isogna prima trasformarla in forma normale prenessa e poi in forma di Skolem

5 Per arrivare alla forma normale prenessa conviene operare separatamente su : e c<. Si ha : œ ( ab) ap( B) Ä ( C)Q( B, C ) ( ab) acp( B ) ( C)Q( B, C ) ( ab)( C) acp( B ) Q( B, C). c< œ ( ab)( ac) acp( B ) cq( B, C ) ( ab)( ad) acp( B ) cq( B, D) e dunque : c < ( ab) a( C) acp( B ) Q( B, C ) ( ad) acp( B ) cq( B, D ) ( ab)( C)( ad) aacp( B ) Q( B, C ) acp( B ) cq( B, D). Introducendo un simolo di funzione 0 e sostituendo 0( B) alla variaile C si ottiene la forma di Skolem: ( ab)( ad) aacp( B ) Q( B, 0( B )) acp( B ) cq( B, D) che corrisponde al seguente schema di clausole {{ cp( B), Q( B0B, ( ))}, { cp( B), cq( BD, )}} Þ Scegliendo una interpretazione del simolo di predicato P per la quale P( B) risulti falso per ogni assegnazione di valore alla variaile individuale B qualunque esemplificazione dà luogo a un insieme di clausole soddisfaciile; e in effetti è immediato verificare che per una tale interpretazione la formula : risulta vera ma la formula < risulta falsa. Dunque la formula < non è conseguenza logica della formula :.