PROVE SCRITTE DI LOGICA MATEMATICA, Corso EPID

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1 PROVE SCRITTE DI LOGICA MATEMATICA, Corso EPID Facolta di SCIENZE della FORMAZIONE, Anno 2005/06 Prova scritta del 03/02/2006 Sono dati 4 insiemi, A, B, C, D. a Si consideri la seguente relazione: [A (B C] D = A [(B C D]. A quale delle seguenti condizioni essa é equivalente? 1 A B = ; 2 B C = ; 3 C D = ; 4 D A =. b Considerata poi la relazione: [A (B C] D = [A (B C] [D (B C], si dica a quale delle condizioni seguenti essa equivale: i A = ; ii B C = ; iii D = B C; iva D = A (B C. (Motivare esaurientemente la risposta. Per questo esercizio, useremo la seguente terminologia: dato un numero intero X di k cifre, chiameremo l antipodo di X quel numero che si ottiene scrivendo le cifre di X in ordine inverso (Nel caso X abbia come ultima cifra 0, l antipodo di X si scrivera senza lo 0 iniziale: ad es. l antipodo di é Si verifichi, attraverso alcuni esempi, la validita del seguente fenomeno: Preso a caso un numero intero di 3 cifre, di cui la prima sia di almeno 2 unita piu grande della terza, e sottratto a tale numero il suo antipodo, si ottiene un nuovo numero (sempre di tre cifre, il quale, una volta sommato al suo proprio antipodo, da un risultato di quattro cifre, che é sempre lo stesso, indipendentemente dal numero di partenza. Si verifichi inoltre che lo stesso fenomeno avviene con numeri di 3 cifre, anche in base h diversa da 10 (ma maggiore di 3, e si dica qual é tale risultato in ciascuna delle basi da 4 a 9. 1

2 Esercizio 3 Si consideri il seguente sistema lineare: { 3x + ky = 2 (2k + 1x + y = 0. Dopo aver trovato gli eventuali valori di k per cui il sistema non ha soluzioni, si risolva il sistema (in termini di k, per gli altri valori di k. Soluzioni compito 03/02/06 a Adoperando i valori di verita dei predicati corrispondenti agli insiemi, la relazione assegnata equivale alla formula: a + bc + abc + d = a + bc + d + abc + ad, ossia ad = 0. La risposta giusta é quindi la (4, D A =. b Con lo stesso sistema, la formula diviene: d(a+b+c+bc = a(b+c+bc+d(b+c+bc, ossia da+bd+cd+bcd = ab+ac+abc+bd+cd+bcd Semplificando: ad = ab + ac + abc = a(b + c + bc e quindi la risposta giusta é la (iv: A D = A (B C. In base 10, il risultato costante é 1089: ad esempio, partendo dal numero 683, la prima sottrazione fornisce 297; sommando poi 297 a 792 si ottiene Ancora, partendo da 800, la prima sottrazione da come risultato = 792, e la seconda operazione fornisce = In base 4, il risultato é 1023, in base 5 é 1034, e in generale in base k le quattro cifre del risultato sono: 1, 0, (k 2, (k 1. Esercizio 3 Il determinante del sistema é D = 3 k(2k + 1 = 2k 2 k + 3 : 2

3 esso si annulla se e solo se k = 1, oppure k = 3 : questi sono i valori per i quali 2 il sistema potrebbe non avere soluzioni. Sostituendo i due valori di k nel sistema, si vede in entrambi i casi che il sistema diventa impossibile. Dunque il sistema ha soluzioni se e solo se k 1, 3 2. Per tali valori di k, le soluzioni sono: x = 2 3 2k 2 k, y = 2k + 2 2k 2 + k 3. Prova scritta del 24/02/06 Sono dati 4 insiemi, A, B, C, D. Si consideri la relazione: (A B \ (C D = [(A C \ (B D] [(A B \ D] (B C \ D. A quale delle seguenti condizioni essa é equivalente? i A B = B C; ii B C = ; iii A B \ D = ; iv A B = B C \ D. Una cassettiera é formata da 4 scomparti quadrati, ciascuno dei quali a sua volta é suddiviso in 4 cassetti. I quattro scomparti sono disposti a matrice, due sopra e due sotto, come pure i quattro cassetti di ogni scomparto. In questo modo l intera cassettiera appare suddivisa in 4 file e 4 colonne di cassetti. Ciascuno scomparto appartiene a uno studente, che vi ripone una matita, una gomma, una penna, un temperino (un oggetto per cassetto facendo in modo che in ogni fila, in ogni colonna, e in ogni scomparto trovino posto tutti i quattro tipi di oggetti. Sapendo che: a il terzo cassetto della fila piu in alto e il secondo della seconda fila dall alto contengono entrambi una gomma; b il quarto cassetto della seconda fila dall alto e il terzo dell ultima fila in basso contengono entrambi una matita; c il quarto cassetto dell ultima fila in basso contiene un temperino; dedurre dove si trovano le 4 penne. Esercizio 3 Si completi il seguente quadro magico in base 7, eseguendo tutte le operazioni indicate, e si riportino poi tutti i numeri in base 10. 3

4 65 +?? =?? =?????? =?? Soluzioni compito 24/02/06 Applicando i valori di verita alla combinazione a I membro, troviamo: a + b + ab + (a + b + ab(c + d + cd = = a + b + ab + ac + ad + acd + bc + bd + bcd + abc + abd + abcd A secondo membro, si ha invece: ac + ac(b + d + bd + a + b + (a + bd + bc + bcd = = a + b + ac + bc + ad + bd + abc + acd + bcd + abcd. Confrontando le due espressioni, si vede facilmente che esse sono uguali se e solo se risulta ab + abd = 0, da cui A B \ D =. La risposta giusta é quindi la (iii. Rappresentando la cassettiera secondo lo schema grafico riportato, le informazioni iniziali comportano la presenza delle sigle G, M, T nelle caselle segnalate. Lo schema va poi riempito come un normale schema di Sudoku, collocando ad es. una P nella posizione F 1/C4 (in quanto unica possibilita per tale casella, e di conseguenza una G in F 3/C4, e di seguito una P in F 3/C3, una T in F 2/C3,e ancora P in C1/F 2. 4

5 Nella prima colonna, la G puo figurare solo in F 4, di conseguenza in F 4/C2 va l ultima P. In conclusione, le 4 P vanno in F 1/C4, in F 2/C1, in F 3/C3 e in F 4/C2. Esercizio 3 Lo schema completo in base 10 é il seguente: = = = 3840 Lo schema in base 7 si presenta cosi : = = = Prova scritta del 7/04/2006 Sono dati 4 insiemi, A, B, C, D. Si consideri la relazione: (A B \ (C D = (A \ C (B \ D. A quale delle seguenti condizioni essa é equivalente? i B C = ; ii A D = ; iii A D C; iv B C D; v (iii e (iv insieme. In una sala multimediale si proiettano ogni giorno 6 filmati educativi diversi, di un ora l uno, ripetendoli per i 6 giorni feriali della settimana a 6 gruppi diversi di studenti. Si proiettano tre filmati la mattina e tre il pomeriggio, con orario fisso: 9-12 e Il gruppo G1 visita la sala la mattina del lunedi e del martedi. Il gruppo G2 viene il pomeriggio degli stessi giorni. Il gruppo G3 é in visita la mattina del mercoledi e del giovedi, mentre il gruppo G4 nel pomeriggio dei due stessi giorni. Infine, il gruppo G5 visita la mattina del venerdi e del sabato e il gruppo G6 nei pomeriggi di venerdi e sabato. Naturalmente si vuole far in modo che tutti i gruppi di studenti visionino tutti i 6 filmati, e si vuole che uno stesso filmato non venga mai proiettato alla stessa ora in due giorni diversi. 5

6 Per motivi organizzativi, si é gia stabilito che giovedi alle 10 e venerdi alle 15 si proietti il filmato F 3, giovedi alle 9 e sabato alle 17 si proietti F 5, mercoledi alle 17 e sabato alle 10 si proietti F 1, sabato alle 11 e martedi alle 16 il filmato F 4; sempre martedi alle 17 venga proiettato F 2 e alle 9 il filmato F 6. Determinare l orario completo delle 36 proiezioni. Esercizio 3 Uno stesso quadrato magico si presenta in due modi diversi, a seconda di due basi diverse, che denotiamo con a e b: =?? =?? base a :?? 44 =??, base b :?? 30 =?????? =?????? =?? Individuare le due basi a e b, e scrivere il quadrato completo in base 10. Soluzioni compito 07/04/06 Adoperiamo le funzioni di verita, denotando con a quella di A, con B quella di B, etc. Allora, il valore di verita del I membro é (I a + b + ab + (a + b + ab(c + d + cd = = a + b + ab + ac + bd + abc + abd + abcd + ad + acd + bc + bcd. Il valore di verita del II membro é (II a + ac + b + bd + (a + ac(b + bd = a + b + ab + ac + bd + abd + abc + abcd. Uguagliando le due espressioni, resta: ad + acd + bc + bcd = 0 che corrisponde al valore di verita di [(A D \ C] [(B C \ D] (i due insiemi tra parentesi quadre sono disgiunti. Poiché questo deve risultare vuoto, occorre e basta che ciascuno dei due insiemi tra parentesi quadre sia vuoto, cioé che sia soddisfatta la condizione (v. Il problema si risolve impostando un quadro di tipo Sudoku, come il seguente: 6

7 Le colonne si riferiscono all orario, le righe ai giorni, e i rettangoli 2 3 ai gruppi di studenti. Risolvendo lo schema di Sudoku, si perviene in maniera univoca alla soluzione: Esercizio 3 Poiché i due quadrati debbono coincidere, nelle due basi a e b, si deve avere l uguaglianza dei numeri nelle posizioni corrispondenti, dunque: 4a + 4 = 3b, 2a 2 + 4a + 2 = b 2 + b, 3a 2 + a = b 2 + 2b. Ricavando b dalla prima condizione, e sostituendo nella seconda, avremo l equazione 2a 2 8a 10 = 0, che ha come unica soluzione accettabile a = 5. Se ne ricava b = 8, e infine il quadrato in base 10 é il seguente: 7

8 = = = 359 Prova scritta del 29/09/2006 Dati 3 insiemi A, B, C, si dimostri che (A B (B C (C A =. E vera una relazione analoga per 4 insiemi A, B, C, D? (Si chiede cioé di verificare se (A B (B C (C D (D A =. (Motivare esaurientemente la risposta. Si controlli che la matrice A = ( é invertibile, e se ne calcoli l inversa. Si utilizzi tale risultato per risolvere il sistema lineare { 3x + y = 2 x + 2y = 0 Esercizio 3 Si risolva il seguente calcolo enigmatico in base 5, riportando poi tutti i numeri alla base 10. ABACC + ACDEC = BBEEC AACC EEC = AAC ADDACCCC ACBDAACC = DCBDECC (Alle lettere A, B, C, D, E corrispondono le cifre = 0, 1, 2, 3, 4 in ordine da determinare Soluzioni compito 29/09/2006 8

9 Utilizzando i valori di verita, alla combinazione (A B (B C (C A corrisponde l operazione (a + b(b + c(c + a; eseguendo le operazioni nell algebra di Boole, si ottiene (a+b(b+c(c+a = (ab+b+ac+bc(c+a = abc+bc+ac+bc+ab+ab+ac+abc = 0. Dunque la relazione é verificata. Nel caso di 4 insiemi, la cosa non é piu vera: supponendo ad esempio A = C, B = D, e A B =, si ottiene che chiaramente in generale non é vuoto. A B = B C = C D = D A = A B Il determinante di A é 10, dunque A ammette inversa. Usuali regole di calcolo forniscono: ( A 1 = Per risolvere il sistema lineare, si puo dapprima osservare che la seconda equazione equivale alla 2x + 4y = 0,. e quindi la soluzione si trova ponendo ( ( x = y ( 2 0 = ( 4/5 2/5 Esercizio 3 Una prima disamina del quadro proposto permette rapidamente di dedurre che a C corrisponde 0, e ad A corrisponde 1. Esaminando l operazione nella prima riga, o anche quella nella seconda, si vede facilmente che ad E non puo essere associato che il 4. A questo punto, una semplice verifica, ad esempio basata sulla terza colonna, permette di dedurre che a B corrisponde la cifra 2 e a D la 3. Il quadro completo, in base 10, é il seguente: = = =