Aritmetica sui numeri interi

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1 CHAPTER 1 Aritmetica sui numeri interi L insieme dei numeri naturali N è certamente l insieme numerico più familiare. Non consideriamo lo zero 0 come elemento dell insieme N; non è stata infatti naturale la sua introduzione nella cultura matematica. Indichiamo con N 0 l insieme N {0}. Uno studio rigoroso di N 0 è piuttosto delicato e non è negli obiettivi del Corso di Algebra, come pure non lo è quello dell insieme Z degli interi (relativi). Noi ci limitiamo a fornire un elenco di proprietà di Z, che abitualmente usiamo, e da questo deriveremo affermazioni su Z. I.1. Proposizione. (Elenco di alcune proprietá di Z) (1) a, b Z a + b = b + a (2) a Z a + 0 = a = 0 + a (3) a, b, c Z (a + b) + c = a + (b + c) (4) a, c Z b Z a + b = c (Dato a Z, indichiamo con a l unico elemento di Z tale che a + ( a) = 0 (5) a Z a N 0 o a N 0 (6) a, b Z ab = ba (7) a Z a1 = 1a = a (8) a, b, c Z (ab)c = a(bc) (9) a, b, c Z (a + b)c = ac + bc, c(a + b) = ca + cb (10) a, b Z ab = 0 a = 0 o b = 0 (11) a, b Z ( a)b = a( b) = (ab) (12) a, b Z a b o b a (13) a, b, c Z a b = a + c b + c 1

2 2 (14) a, b Z c N 0 a b = ac bc (15) a, b Z a b = b a (16) Ogni sottoinsieme non vuoto di N 0 ammette minimo. Ricordiamo la classica divisione con resto che abbiamo imparato alle scuole elementari!? Determiniamo il quoziente e il resto della divisione di -32 con 13. Qualche difficoltà...? I.2. Proposizione. (La proprietà euclidea degli interi) Siano a, b Z e a 0. Allora esiste un unica coppia (q, r) Z N 0 tale che { b = aq + r 0 r < a DIM. Dimostriamo dapprima la tesi nel caso in cui a, b N 0. Sia S := {n n N 0, q Z n = b aq} Allora S in quanto b = b a 0 S. Per I.1(16), S ammette minimo, sia questo r. Ne segue subito che b = aq + r e 0 r Rimane da provare che r < a. Supponiamo per assurdo che a r. Allora r a N 0 e r a = b a(q + 1). Ne segue che r a S e quindi r r a < r, pervenendo così ad una contraddizione. Se b / N 0 e a N 0, allora b N 0. Quindi, per quanto visto in precedenza, esiste (q, r) Z N 0 tale che { b = aq + r 0 r < a Così { b = a( q) r 0 r < a Ora, se r = 0, abbiamo la tesi. Se r 0, allora a < r < 0. Quindi 0 < a r < a e pertanto { b = a( q 1) + (a r) 0 a r < a

3 a.a. 2003/ Appunti provvisori di Algebra 3 Infine, se b Z e a N 0, allora esiste (q, r) Z N 0 tale che { b = aq + r 0 r < a E pertanto (q, r) Z N 0 tale che { b = ( a)q + r 0 r < a Per completare la dimostrazione, sia (q, r ) Z N 0 tale che { b = aq + r 0 r < a Allora aq + r = aq + r e quindi a(q q ) = r r. Ne segue che a q q = r r e r r < a. Così q q = 0 e pertanto q = q e r = r. Ricordiano che se a, b sono numeri interi, si dice che a divide b ( o che a è un divisore di b) se esiste q Z tale che b = aq. A volte, per indicare ciò, scriviamo a b mentre scriviamo a b per indicare che a non divide b. Ovviamente ogni numero intero a divide 0, mentre 0 non divide alcun numero intero non nullo. Esercizio 1 Dimostrare che (1) a Z a a (2) a, b, c Z a b e b c = a c (3) a, b Z a b e b a = a {b, b} Inoltre vale il seguente risultato (che dimostreremo cercando di utilizzare le proprietà di Z indicate nella proposizione I.1). I.3. Proposizione. Siano a, b 1, b 2 Z. Se a è un divisore comune di b 1 e b 2, allora vale x, y Z In particolare, a b 1 + b 2 e a b 1 b 2. a b 1 x + b 2 y DIM. Poiché a b 1 e a b 2 esistono q 1, q 2 Z tali che b 1 = aq 1 e b 2 = aq 2. Siano x, y Z. Posto q := q 1 x + q 2 y si ha b 1 x + b 2 y = (aq 1 )x + (aq 2 )y = a(q 1 x) + a(q 2 y) = a(q 1 x + q 2 y) = aq Quindi a b 1 x + b 2 y.

4 4 Ricordiamo, inoltre, che un numero intero a è un divisore comune di due interi b 1 e b 2. se a b 1 e a b 2. Il massimo comun divisore di due numeri naturali è stato definito nella scuola media come il massimo dei loro divisori comuni. Bene! Calcoliamo il massimo comun divisore tra 266 e 168. Sorpresa!! (siamo dovuti ricorrere ad una votazione... ). E se i due numeri sono entrambi 0? Come ci comportiamo di fronte a questa difficoltà? Possiamo non definire il massimo comun divisore di 0 e 0, possiamo... e, possiamo migliorare la definizione!! Cominciamo col provare il seguente risultato. I.4. Teorema. Siano b 1, b 2 Z. (1) Esiste un unico divisore comune a di b 1 e b 2 tale che (1.1) a N 0, (1.2) ogni divisore comune di b 1 e b 2 divide a. (2) Se a è come in (1), esistono x, y Z tali che a = b 1 x + b 2 y. Evitiamo in un primo momento la dimostrazione. Utilizzando il risultato enunciato possiamo fornire la definizione di massimo comun divisore di due interi. I.5. Definizione. Siano b 1, b 2 Z. L unico divisore comune a di b 1 e b 2 con le proprietá I.4 (1.1), (1.2) si dice il massimo comun divisore di b 1 e b 2 e si indica con mcd(b 1, b 2 ). Ora, con questa definizione, qual è il massimo comun divisore di 0 e 0? La definizione data è proprio un estensione a tutti i numeri interi di quella nota per i numeri naturali? E facile poi convincersi che se b 1, b 2 Z, allora mcd(b 1, b 2 ) = mcd( b 1, b 2 ) (ma convincersi vuol dire qui dimostrare che l affermazione è corretta). Osserviamo che la (2) del Teorema I.4 ci fornisce un inaspettata proprietà del massimo comun divisore. Possiamo fare qualche esempio scegliendo a piacere i numeri b 1 e b 2 (magari piccoli!) e trovando i numeri x e y (ad esempio b 1 = 266 e b 2 = 168). Ma affinchè un affermazione sia valida non basta verificarla su qualche esempio (neanche su molti esempi!), va dimostrata. E tempo adesso di guardare l istruttiva dimostrazione del Teorema I.4. Dimostrazione del Teorema I.4 Se b 1 = 0 = b 2, allora a := 0 è un divisore comune di b 1 e b 2 che soddisfa (1.1) e (1.2). Poi, se a è divisore comune con la proprietà (1.2), allora 0 a perchè 0 è un divisore comune

5 a.a. 2003/ Appunti provvisori di Algebra 5 di b 1 e b 2 ). Quindi a = 0. Allora 0 è l unico divisore comune con le proprietà (1.1) e (1.2). Ora, sia b 1 0 oppure b 2 0. Proviamol esistenza di un elemento a come in (1). Sia M := {z z Z, x, y Z z = b 1 x + b 2 y} Allora M contiene gli elementi b 1, b 1, b 2, b 2 e quindi M N. Poniamo a := min M N e proviamo che a è un divisore comune di b 1 e b 2. Cominciamo con il provare che (1) z M a z Sia z M. Poichè a 0, per I.2, esistono c Z, r N 0 tali che z = ac + r, 0 r < a Inoltre, poichè z, a M, esistono x, y, x, y Z tali che z = b 1 x + b 2 y, a = b 1 x + b 2 y Allora r = z ac = (b 1 x+b 2 y) (b 1 x +b 2 y )c = b 1 (x x c)+b 2 (y y c). Quindi r M. Ma 0 r < a ed a = min M N, allora r = 0. Allora z = ac, e quindi a z. Pertanto vale 1. Ora, b 1, b 2 M e quindi per (1), a è un divisore comune di b 1 e b 2. Vale evidentemente (1.1). Quindi rimane da provare (1.2). Sia a Z un divisore comune di b 1 e b 2. Per I.3, x, y Z a b 1 x + b 2 y e quindi z M a z. Pertanto a a. Per l unicità, sia a un divisore comune di b 1 e b 2 tale che a N 0 e ogni divisore comune di b 1 e b 2 divide a. (Dobbiamo dimostrare che a = a ). Allora a, a N 0, e a a, a a. Per l Esercizio 1(3), si ha che a = a. Pertanto vale (1), e l unico elemento di Z con le proprietà in (1) è a := min M N. Infine, poichè a M, esistono x, y Z tali che a = b 1 x + b 2 y. Quindi vale (2). Determiniamo il massimo comun divisore di due numeri, ad esempio di 506 e 407. (Commenti... ) Nella scuola media ci hanno insegnato di eseguire il calcolo del massimo comun divisore di due numeri utilizzando la loro decomposizione in primi. Una strategia poco utilizzabile con numeri grandi per diversi motivi, uno dei quali è certamente quello di conoscere pochi numeri primi.

6 6 Come affrontare allora il calcolo del massimo comun divisore di due numeri? Bene, utilizzando un idea di... Euclide! L idea è contenuta tutta nel seguente risultato. I.6. Lemma. Siano a, b N, a 0 e siano q, r N, 0 r < a. Allora vale (2) mcd(a, b) = mcd(a, r) DIM. Poniamo d := mcd(a, b). Allora d divide a e d divide b. Per I.3, d divide r(= b aq). Evidentemente d N 0. Inoltre, se d è un divisore di a ed r, allora d divide b(= aq +r). Pertanto, per I.4, d = mcd(a, r). Utilizzando il precedente lemma determiniamo il massimo comun divisore di numeri naturali a e b scelti a piacere!! L applicazione iterata del lemma si può sintetizzare nel seguente risultato. I.7. Teorema. (teorema dell algoritmo euclideo) Siano b 0, b 1 N, b 1 < b 0. Se n N e c 1,..., c n, b 2,..., b n sono numeri naturali tali che b 0 = b 1 c 1 + b 2, 0 < b 2 < b 1 b 1 = b 2 c 2 + b 3, 0 < b 3 < b 2 b 2 = b 3 c 3 + b 4, 0 < b 4 < b b n 2 = b n 1 c n 1 + b n, b n 1 = b n c n 0 < b n < b n 1 allora b n = mcd(b 0, b 1 ). L esistenza di numeri c 1, c 2,..., c n, b 2,..., b n e la loro unicitá è garantita da I.2. Allora anche n è unico e si dice il numero dei passi dell algoritmo euclideo rispetto a b 0, b 1. DIM.(Una dimostrazione è sempre necessaria!). Esempio Determiniamo il massimo comun divisore di 266 e 168 (e trovare x, y Z tali che 266x + 168y = mcd(266, 168). E utile sapere tale algoritmo è quello utilizzato dai computer (Laboratorio di Matematica). Ricordiamo che due numeri interi b 1, b 2 si dicono primi tra loro (o coprimi) se mcd(b 1, b 2 ) = 1. vale il seguente risultato.

7 a.a. 2003/ Appunti provvisori di Algebra 7 I.8. Corollario. Due numeri interi b 1, b 2 sono primi tra loro se e solo se esistono x, y Z tali che b 1 x + b 2 y = 1. DIM. = Se mcd(b 1, b 2 ) = 1, allora, per I.4(2), esistono x, y Z tali che b 1 x + b 2 y = 1. = Sia a := mcd(b 1, b 2 ) e siano x, y Z tali che b 1 x + b 2 y = 1. Allora a b 1 e a b 2. Per la Proposizione I.3, a b 1 x+b 2 y = 1 e per l ipotesi a 1. Pertanto a = 1. Osserviamo che il corollario rende immediata in alcuni casi la determinazione del massimo comun divisore. Ad esempio: mcd(2003, 2004) = 1, perchè 2003 ( 1) = 1. Ma più in generale, per ogni intero z, si ha che mcd(z, z + 1) = 1 (Perchè,...). Il minimo comune multiplo di due numeri interi verrà invece trattato nelle esercitazioni.