Insiemi Numerici. 1 I Numeri Naturali: definizione assiomatica

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1 Insiemi Numerici Docente: Francesca Benanti 16 Febbraio I Numeri Naturali: definizione assiomatica Sin dall antichità è stata data una sistemazione rigorosa alla geometria. Euclide (300 a.c.), nella sua opera gli Elementi, enuncia alcuni assiomi e da essi ricava le proprietà del piano e dello spazio come teoremi. Non altrettanto è avvenuto per l algebra e l aritmetica. Si deve attendere fino al XIX secolo per avere una sistemazione assiomatica della teoria dei numeri. Poichè gli insiemi numerici più ampi, via via storicamente introdotti per esigenze operative, possono essere costruiti a partire dall insieme più elementare dei naturali, è proprio quest ultimo ad essere definito assiomaticamente....dio creò i numeri naturali; tutto il resto è opera dell uomo... Con queste parole L. Kronecker ( ) indicava il terreno sicuro per la costruzione dell intero edificio della matematica. Si dà, dunque, una struttura assiomatica all aritmetica, la teoria matematica dei numeri naturali, e a partire da questa si ricavano le caratteristiche degli altri ambienti numerici. 1

2 La definizione dei numeri naturali e gli assiomi che caratterizzano le operazioni definite in N rappresentano, quindi, il fondamento deduttivo per tutte le strutture numeriche via via costruite con successivi ampliamenti. La riconduzione degli insiemi numerici all aritmetica fu avviata dal matematico tedesco F.L.G.Frege ( ) nei suoi testi I fondamenti dell aritmetica e I principi dell aritmetica, apparsi negli ultimi anni del XIX secolo. La caratterizzazione assiomatica di N si deve, invece, al matematico italiano G. Peano ( ) che ne diede una prima formulazione nella sua opera Arithmetices principia, nova methodo expositia (1889). Un analoga formulazione fu data negli stessi anni da J.W.R. Dedekind ( ). È possibile definire i numeri naturali attraverso tre enti primitivi e cinque assiomi, noti come Assiomi di Peano. Enti Primitivi: N = l insieme dei numeri naturali; 0; n+1=successivo di n.

3 Assiomi di Peano: 0 è un numero naturale: 0 N Se n è un numero naturale allora lo è anche il successivo n+1: n N n + 1 N Due numeri naturali diversi hanno successivi diversi: n + 1 = m + 1 n = m Ogni numero naturale, eccetto lo zero, è il successivo di un numero naturale: n N n Assioma del buon ordinamento. Ogni sottoinsieme non vuoto T di N ha un elemento minimo: t T t x, x T 2 Proprietà dei numeri naturali N è un insieme infinito. Definizione: Un insieme è infinito se può essere messo in corrispondenza biunivoca con un suo sottoinsieme proprio. Sia K l insieme dei quadrati perfetti Consideriamo l applicazione definita da K = {0, 1, 4, 9, 16,...} = {n 2 n N} f : N K

4 f(n) = n 2, n N f è un applicazione biunivoca (esercizio). Dunque N è infinito. N è un insieme numerabile. Si definisce cardinalità del numerabile proprio la cardinalità caratteristica di N e si denota con ℵ (si legge alef-zero). N è un insieme totalmente ordinato. Consideriamo in N la seguente relazione: nrm n m, n, m N R soddisfa le proprietà riflessiva, antisimmetrica e transitiva (esercizio). Dunque R è una relazione d ordine. Inoltre n, m N si ha che o n m oppure m n. Allora R è una relazione d ordine totale e N è un insieme totalmente ordinato. N è un insieme discreto. È sempre possibile stabilire qual è il successivo di un qualsiasi elemento. 3 Divisibilità in N Proposizione: Siano a, b N, b 0. Allora esistono, e sono unici, due numeri naturali q, r tali che a = bq + r, 0 r < b q è detto quoziente; r è detto resto.

5 dimostrazione: (Esistenza) 1 Caso: a < b. Basta prendere q = 0, r = a e si ottiene la tesi. 2 Caso: a b. Consideriamo l insieme S, infatti 0 a b = a b1 S. S = {a bn a bn 0, n N}. Allora, per l Assioma del buon ordinamento, S ha un elemento minimo. Sia esso r. Dunque r = a bq 0, per un opportuno q N. Abbiamo così provato che a = bq + r, con r 0. Ci rimane da verificare che r < b. Ragioniamo per assurdo e supponimo che r b. Allora e r b < r. Assurdo! (Unicità) 0 r b = a bq b = a b(q + 1) S Siano q, r e q, r due coppie di numeri naturali tali che e Se r r, allora a = bq + r, a = bq + r, 0 r < b 0 r < b 0 r r = (a bq ) (a bq) = bq bq = b(q q ) Dunque b(q q ) = r r r < b e questo è possibile solamente se q q = 0 ossia q = q. Allora r = a bq = a bq = r Dunque la tesi.

6 Definizione: Dati due numeri naturali a e b, si dice che b divide a (a multiplo di b, b divisore di a) e si scrive b a se esiste c N tale che a = bc, ossia il resto della divisione di a per b è zero. Definizione: Un numero naturale p diverso da 1 è detto primo se i suoi divisori sono soltanto 1 e p. L importanza della classe dei numeri primi consiste nel fatto che ogni numero naturale maggiore di 1 può essere espresso come prodotto di primi. Questa affermazione, a prima vista così ovvia, non è affatto banale. La dimostrazione classica, dovuta ad Euclide, è nota come Teorema Fondamentale dell Aritmetica. Teorema Fondamentale dell Aritmetica: Ogni naturale n > 1 si può scrivere come prodotto di primi n = p 1 p 2 p k, con p i primo i = 1,... k. E tale fattorizzazione è unica a meno dell ordine dei fattori, ossia se esistono due fattorizzazioni n = p 1 p 2 p k = q 1 q 2 q h, con p i e q j primi, allora k = h e riordinando opportunamente i fattori si ha: p 1 = q 1, p 2 = q 2,... p k = q k.

7 Sempre ad Euclide è dovuta la dimostrazione dell infinità dei numeri primi. La fama di Euclide (300 a.c.) è fondata su quella parte degli Elementi che costituisce la base della geometria. Mentre, però, la sua geometria è in gran parte una compilazione di risultati precedenti, egli ha dato grandi contributi alla teoria dei numeri. Euclide era molto incline a sfruttare un arma logica conosciuta come: la reductio ad absurdum o dimostrazione per assurdo.... la reductio ad absurdum, tanto amata da Euclide, è una delle più belle armi di un matematico. È un gambetto molto più raffinato di qualsiasi gambetto degli scacchi: un giocatore di scacchi può offrire in sacrificioun pedone o anche qualche atro pezzo, ma il matematico offre la partita... (G.H.Hardy, Apologia di un Matematico (1940)) Teorema di Euclide: Esistono infiniti numeri primi. dimostrazione: Ragioniamo per assurdo e supponiamo che i numeri primi siano in numero finito k. Sia S l insieme di tutti i numeri primi. Per l assunzione fatta S è finito S = {p 1, p 2,..., p k } Consideriamo il numero naturale n = p 1 p 2 p k + 1 > 1 Per il teorema fondamentale dell aritmetica n si fattorizza nel prodotto di primi dove p ij inoltre p 1 p 2 p k + 1 = n = p i1 p i2 p is, S. Dunque p ij n = p 1 p 2 p k + 1 dunque ASSURDO! p ij p 1 p 2 p k p ij n p 1 p 2 p k = 1

8 4 Massimo Comun Divisore Definizione: Dati due numeri naturali a, b N si definisce il massimo comun divisore di a e b, e si denota (a, b), il numero naturale d che soddisfa le seguenti proprietà: d è un divisore comune di a e di b: d a e d b Ogni altro divisore d 0 comune di a e di b è divisore di d: d 0 a, d 0 b d 0 d. Esempi: 1. (8, 6) = (0, 0) = (a, 0) = a, con a 0. Osservazione: Ha senso dire il massimo comun divisore. Se d e d sono due naturali che soddisfano le proprietà della definizione allora d = d. Infatti, considerando d massimo comun divisore si ha d d. Analogamente, considerando d massimo comun divisore, si ha d d. Dunque ricordando che la divisibilità nei naturali è una relazione antisimmetrica si ha necessariamente d = d. Teorema: Dati due numeri naturali esiste sempre il loro massimo comun divisore. Definizione: Due numeri naturali a e b si dicono coprimi o primi fra loro se (a, b) = 1. Esempi: 1. (8, 6) = 2 NO. 2. (8, 27) = 1 SI.

9 5 Algorimo Euclideo Problema: Determinare (a, b), con a, b N Risposta: Algoritmo Euclideo L Algoritmo si basa sul fatto che da ogni relazione della forma segue che a = bq + r (a, b) = (b, r) Infatti se u a e u b allora a = us e b = ut, con s, t N. Dunque r = a bq = us utq = u(s tq), ossia u r. Viceversa, se v b e v r allora b = vs e r = vt, con s, t N. Dunque a = bq + r = vs q + vt = v(s q + t ), ossia v a. Quindi ogni divisore comune di a e di b è un divisore comune di b e di r, e viceversa. Essendo, perciò, l insieme di tutti i divisori comuni di a e di b identico all insieme dei divisori comuni di b e di r, il massimo comun divisore di a e di b deve essere uguale al massimo comun divisore di b e di r. Esempio: Determiniamo (1804, 328) =? Osserviamo che allora Ma dunque In conclusione 1804 = (1804, 328) = (328, 164) 328 = (328, 164) = (164, 0) = 164 (1804, 328) = (328, 164) = (164, 0) = 164

10 Algoritmo Euclideo: Siano a, b N, con b 0. Si consideri la successione a = bq 1 + r 1, 0 r 1 < b b = r 1 q 2 + r 2, 0 r 2 < r 1 r 1 = r 2 q 3 + r 3, 0 r 3 < r 2. r n 2 = r n 1 q n + r n, r n 1 = r n q n+1 0 r n < r n 1 dove q i e r i sono rispettivamente i quozienti e i resti delle n + 1 divisioni scritte e ove la successione termina non appena si trovi r n+1 = 0. Allora La successione termina dopo un numero finito di passi; r n = (a, b). Dimostrazione: La successione delle divisioni termina perchè b > r 1 > r 2 > r 3 > è una successione decrescente di naturali. Inoltre r n r n 1 e r n r n r n r n 2 = r n 1 q n + r n e risalendo la succcessione delle divisioni si ottiene r n r 2, r n r 1 r n b r n r 1, r n b r n a Dunque r n a e r n b, ossia r n è un divisore comune di a e di b. La prima condizione di massimo comun divisore è soddisfatta. Inoltre, se c è un divisore comune di a e di b, c a, c b c r 1 = a bq 1 e scendendo la successione delle divisioni si ha c r n 1, c r n 2 c r n = r n 2 r n 1 q n. La seconda condizione di massimo comun divisore è soddisfatta. In conclusione Esempio: (72, 22) =? r n = (a, b) 72 = =

11 6 = = Dunque (72, 22) = 2 6 Minimo Comune Multiplo Definizione: Dati due numeri naturali a, b N si definisce il minimo comune multiplo di a e b, e si denota [a, b], il numero naturale m che soddisfa le seguenti proprietà: m è un multiplo comune di a e di b: a m e b m Ogni altro multiplo m 0 comune di a e di b è multiplo di m: a m 0, b m 0 m m 0. Teorema: Dati a, b N. Allora [a, b] e (a, b)[a, b] = ab Esempio: [72, 22] =? [72, 22] = (72, 22) = = = Principio di Induzione L Assioma del Buon Ordinamento è equivalente al seguente principio noto come Principio di Induzione. Principio di Induzione: Sia P (n) un predicato con variabile n N. Se: La proposizione P (0) è vera; (Base dell Induzione) k N, se P (k) è vera allora P (k + 1) è vera; (Passo Induttivo) allora si ha che P (n) è vera n N.

12 Esempio: Sia q R, con q 1. uguaglianza: dimostrazione: Base dell induzione, P (0): Dimostriamo per induzione la seguente 1 + q + q q n = 1 qn+1 1 q q 0 = 1 1 q 1 1 q = 1 Dunque per n = 0 l uguaglianza è vera. Passo induttivo: P (k) P (k + 1) Ipotesi: Tesi: 1 + q + q q k = 1 qk+1 1 q 1 + q + q q k+1 = 1 qk+2 1 q dim: 1 + q + q q k+1 = (1 + q + q q k ) + q k+1 = 1 q k+1 1 q + q k+1 = 1 qk+1 + q k+1 q k+2 1 q Allora, per induzione l uguaglianza, è vera n N. = 1 qk+2 1 q

13 Esercizi: 1. Determinare, mediante l algoritmo euclideo, il massimo comun divisore delle seguenti coppie di numeri naturali: a) 630, 132; b) 61, 24; c) 72, Determinare per ciascuna delle coppie dell esercizio precedente il minimo comune multiplo. 3. Dimostrare, per induzione, che la somma dei primi n numeri naturali non nulli è n(n+1) 2, ossia: n = n(n + 1), n N 2 4. Dimostrare, per induzione, che la somma dei primi n numeri naturali dispari è n 2.

14 8 I Numeri Interi È ben noto che, mentre l equazione x 5 = 0 è risolubile in N, l equazione x + 3 = 0 non lo è. Allora si cerca di ampliare l insieme numerico in modo da includere tutte le soluzioni di equazioni del tipo x + n = 0, n N. Si giunge, quindi, all insieme dei numeri interi relativi. A partire dall insieme dei numeri naturali N definiamo l insieme degli interi relativi. Consideriamo il prodotto cartesiano N N = {(n, m) n, m N} e definiamo in esso la seguente relazione (n, m)ρ(n, m ) n + m = m + n, (n, m)(n, m ) N N. ρ è una relazione di equivalenza: Riflessiva: (n, m) N N, n + m = m + n. Dunque (n, m)ρ(n, m). Simmetrica: (n, m), (n, m ) N N, se (n, m)ρ(n, m ) n + m = m + n n + m = m + n (n, m )ρ(n, m). Transitiva: (n, m), (n, m ), (n, m ) N N, se (n, m)ρ(n, m ) (n, m )ρ(n, m ) n + m = m + n n + m = m + n n + m + n + m = m + n + m + n n + m = m + n (n, m)ρ(n, m ).

15 Consideriamo l insieme quoziente N N/ρ = {[(n, m)] n, m N} Osservazione 1: [(n, m)] =? Esempi: (n, m)ρ(n, m ) n + m = m + n n m = n m, n m m n = m n, n < m (3, 0) = (7, 4) = (12, 9) [(3, 0)] (4, 8) = (0, 4) = (8, 12) [(0, 4)] (0, 0) = (1, 1) = (8, 8) [(0, 0)] Osservazione 2: [(n, m)] = [(n m, 0)], [(n, m)] = [(0, m n)], n m m > n Osservazione 3: [(n, 0)] = [(n, 0)] n = n [(0, m)] = [(0, m )] m = m Allora, si ha N N/ρ = {[(n, 0)] n N } {[(0, 0)]} {[(0, m)] m N }

16 Poniamo per definizione Z = N N/ρ Z risulta, pertanto, decomposto nei seguenti sottoinsiemi dove Z = Z + {0} Z Z + = {[(n, 0)] n N } {0} = {[(0, 0)]} Z = {[(0, m)] m N } Gli elementi di Z + prendono il nome di interi positivi. Gli elementi di Z prendono il nome di interi negativi. Osservazione: Z è una estensione di N nel senso che nel suo interno contiene un sottoinsieme Z + {0} identificabile con N. Consideriamo l applicazione definita ϕ : N Z = Z + {0} Z dove n N. ϕ è iniettiva e ϕ(n) = Z + {0}. ϕ(n) = [(n, 0)]

17 Poniamo, n N, Allora [(n, 0)] n, [(0, n)] n, [(0, 0)] 0. Z = {n n N } {0} { n n N } 9 Proprietà dei numeri interi Z è un insieme infinito. e l insieme N è infinito. Z N Z è un insieme numerabile. Consideriamo la seguente applicazione: f : N Z { n f(n) =, n = 2k 2 n+1, n = 2k f è un applicazione biunivoca (esercizio). Dunque Z è numerabile. Z è un insieme discreto. È sempre possibile stabilire qual è il successivo di un qualsiasi elemento. Z è un insieme totalmente ordinato. Secondo la sua rappresentazione sulla retta.

18 10 Divisibilità in Z Definizione: Si definisce valore assoluto di un intero x il numero intero positivo { x, x 0 x = x, x < 0 Esempi: 7 = 7, 3 = 3, 0 = 0. Proprietà: x = y x = ±y; x = 0 x = 0; x + y x + y ; x y = x y ; x + x 0. Come per i numeri Naturali si ha Proposizione: Siano a, b Z, b 0. Allora esistono, e sono unici, due numeri interi q, r tali che a = bq + r, 0 r < b Definizione: Dati due numeri interi a e b, si dice che b divide a (a multiplo di b, b divisore di a) e si scrive b a se esiste c Z tale che a = bc, ossia il resto della divisione di a per b è zero. Proprietà: Siano b 1, b 2, b 3 Z, b 1 b 2 e b 2 b 3 b 1 b 3 ;

19 Siano b 1, b 2, Z, Siano b 1, b 2, b 3 Z, b 1 b 2 e b 2 b 1 b 1 = ±b 2 ; b 1 b 2 e b 1 b 3 b 1 (b 2 ± b 3 ). Definizione: Un numero intero p diverso da ±1 è detto primo se i suoi divisori sono soltanto ±1 e ±p. Definizione: Dati due numeri interi a, b Z si definisce il massimo comun divisore di a e b, e si denota (a, b), l intero positivo d che soddisfa le seguenti proprietà: d è un divisore comune di a e di b: d a e d b Ogni altro divisore d 0 comune di a e di b è divisore di d: d 0 a, d 0 b d 0 d. Teorema: Dati due numeri interi a, b Z esiste sempre il loro massimo comun divisore, d = (a, b) e si può scrivere nella forma d = ax + by per opportuni x, y Z. La scrittura d = ax + by è detta Identità di Bézout. Osservazione: Si noti che tale espressione non è unica. Ad esempio, 1 = ( 4) 5 = ( 2) L algoritmo Euclideo, valido anche per gli interi, ci permette di determinare una identità di Bézout. Esempio:(72, 22) = 2 Allora esistono due interi x, y tali che Ci chiediamo 2 = 72 x + 22 y

20 x =?, y =? L algoritmo euclideo ci dice 72 = = = = Allora 6 = ; 4 = = 22 (72 22) 3 = = ; 2 = = ( ) ( ) 1 = = = ; In conclusione: 2 = ( 13). Definizione: Due numeri interi a e b si dicono coprimi o primi fra loro se (a, b) = 1. Definizione: Dati due numeri interi a, b Z si definisce il minimo comune multiplo di a e b, e si denota [a, b], l intero positivo m che soddisfa le seguenti proprietà: m è un multiplo comune di a e di b: a m e b m Ogni altro multiplo m 0 comune di a e di b è multiplo di m: a m 0, b m 0 m m 0. Teorema: Dati a, b Z. Allora [a, b] e (a, b)[a, b] = ab

21 11 I Numeri Razionali Per creare uno strumento adeguato ai bisogni della pratica e della teoria, è necessario estendere il concetto di numero, a partire da quello originario di numero naturale. In una lunga e lenta evoluzione vennero gradualmente accettati sullo stesso piano dei numeri naturali positivi, lo zero, i numeri interi negativi e le frazioni. I numeri interi sono un astrazione del processo di contare insiemi finiti di oggetti. Ma nella vita giornaliera si presenta la necessità non soltanto di contare singoli oggetti, ma anche di misurare delle quantità, come lunghezze, aree, pesi e tempo. Se si vuole operare liberamente con le misure di queste quantità, è necessario estendere l insieme numerico degli interi. L esigenza di ampliare l insieme dei numeri interi sorge, oltre che per esigenze pratiche legate alla misurazione, anche per esigenze di carattere algebrico legate alla risoluzione di equazioni del tipo ax = b, a, b Z, a 0. L insieme Q dei numeri razionali si introduce a partire da Z in modo analogo a come è stato introdotto Z a partire da N. Consideriamo il prodotto cartesiano Z Z = {(a, b) a, b Z, b 0} e definiamo in esso la seguente relazione (a, b) (c, d) ad = bc, (a, b), (c, d) Z Z. è una relazione di equivalenza: Riflessiva: (a, b) Z Z, ab = ba. Dunque (a, b) (a, b). Simmetrica: (a, b), (c, d) Z Z, se (a, b) (c, d) ad = bc cb = da (c, d) (a, b).

22 Transitiva: (a, b), (c, d), (e, f) Z Z, se (a, b) (c, d) (c, d) (e, f) ad = bc cf = de adf = bcf bcf = bde adf = bde af = be (a, b) (e, f) Poniamo per definizione Q = Z Z / = {[(a, b)] a, b Z, b 0} Osservazione 1: [(a, b)] =? Esempi: (a, b) (c, d) ad = bc (1, 2), (2, 4), ( 1, 2) [(1, 2)] (4, 1), ( 8, 2), (48, 12) [(4, 1)] (6, 9), ( 20, 30), (2, 3) [( 2, 3)] Osservazione 2: Non vi è alcuna difficoltà nel riconoscere che ogni coppia può essere rappresentata con una frazione (a, b) a b Dunque in [(a, b)] vi sono tutte le frazioni equivalenti alla frazione a b. Esempi: 1 2, 2 4, , 8 2, [ ] 1 2 [ ] 4 1

23 6 9, 20 30, 2 3 [ ] 2 3 Dunque Q = {[ a] a, b Z, b 0} = { a a, b Z, b 0, a, b coprimi} b b Osservazione: Q è una estensione di Z nel senso che nel suo interno contiene un sottoinsieme identificabile con Z. È sufficiente considerare l applicazione iniettiva definita da ϕ : Z Q ϕ(a) = a 1 dove a Z. 12 Proprietà dei numeri razionali Q è un insieme infinito. e l insieme Z è infinito. Q Z

24 Q è un insieme numerabile. La scoperta che l insieme Q è numerabile e, quindi ha tanti elementi quanti ne ha N, è dovuta al matematico G. Cantor ( ). La dimostrazione è nota come metodo diagonale di Cantor. Consideriamo i razionali non negativi disposti come nella seguente tabella Sulla tabella è possibile stabilire un percorso che consente i elencare tutti i suoi elementi. Si evidenzia così la corrispondenza biunivoca con N: 0 1 0, 0 2 1, 1 1 2, 2 3, 1 Anche le frazioni negative ridotte ai minimi termini sono, come si può dedurre con un analogo ragionamento, un insieme numerabile. L unione di due (in generale di un numero finito) insiemi numerabili è numerabile. Dunque l insieme dei numeri razionali è numerabile. Q è un insieme denso. Gli insiemi N, Z, Q, nonostante siano via via più ampi e l uno immerso nell altro, sono tutti e tre insiemi numerabili. Diverse sono invece le proprietà di ordinamento dei loro elementi. Infatti, mentre N e Z sono discreti, l insieme Q non è discreto nel suo ordinamento naturale sulla

25 retta, bensì denso perchè dati due numeri razionali esiste sempre un numero razionale compreso tra i due: a, b Q, a < b, c Q tale che a < c < b Esempio: a = 5 7, b = 3 4 allora basta considerare la loro media: c = = Q è un insieme totalmente ordinato. Secondo la sua rappresentazione sulla retta. Formalmente la relazione può essere introdotta in questo modo: (a, b) < (c, d) ad < bc Esempio: infatti 5 4 = 20 < 21 = < Poichè l insieme dei numeri razionali è denso sulla retta, si potrebbe credere che tutti i punti della retta siano punti razionali.

26 Una delle più sorprendenti scoperte, dovuta ai primi matematici greci e precisamente alla scuola pitagorica, è l esistenza dei numeri irrazionali, cioè di numeri che non sono razionali. La necessità di definire numeri non razionali nasce da alcuni problemi particolari come la ricerca del rapporto tra diagonale e lato di un quadrato, tra circonferenza e diametro,... Teorema: 2 è un numero irrazionale. dimostrazione: Ragioniamo per assurdo. Supponiamo, dunque, che 2 sia razionale. Allora esiste a Q, con a e b coprimi, tale che b a 2 = b Dunque 2 = a2 b 2 a2 = 2b 2 a 2 pari a pari a = 2c 4c 2 = 2b 2 2c 2 = b 2 Possiamo concludere che 2 Q. b 2 pari b pari a, b pari ASSURDO L argomento appena descritto suggerisce una semplicissima costruzione geometrica del numero irrazionale 2. 2 è la misura della diagonale del quadrato di lato unitario. Infatti, se x denota la misura della diagonale del quadrato di lato unitario, per il teorema di Pitagora si ha Pertanto x = = 2