Appunti sui numeri reali (prof. Luigi Cai) Anno scolastico COSTRUZIONE DELL'INSIEME DEI NUMERI REALI

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1 1 Appunti sui numeri reali (prof. Luigi Cai) Anno scolastico COSTRUZIONE DELL'INSIEME DEI NUMERI REALI Rappresentazione geometrica degli insiemi numerici Insieme dei numeri naturali N Si rappresenta con una successione di punti ugualmente distanziati: tra due punti c'è il vuoto: L'insieme N è: a) illimitato (cioè formato da infiniti punti);b) discreto (cioè tra due numeri naturali consecutivi non ci sono numeri); c) totalmente ordinato (cioè presi due numeri è sempre possibile stabilire qual è il maggiore). Insieme dei numeri interi relativi Z Si rappresenta nel seguente modo: L'insieme Z è : illimitato, discreto, totalmente ordinato. Insieme dei numeri razionali Q Si rappresenta aggiungendo altri punti:... -/3 +/3 L'insieme Q è: illimitato, totalmente ordinato, denso (cioè tra due numeri razionali consecutivi esiste almeno un altro numero razionale (la media aritmetica)) e, nonostante siano aumentati i punti, continua ad essere discreto o discontinuo (per dimostrare questo basta far vedere che nella rappresentazione si trovano degli spazi vuoti). Si considera il quadrato di lato 1 e si riporta la sua diagonale, che misura, sulla rappresentazione geometrica di Q. Se si riesce a dimostrare che non è un numero razionale, allora il posto occupato da è libero e quindi Q è discontinuo....q 1 Teorema : non è un numero razionale. Hp: m,n Z e primi fra loro Th: non esiste m/n Q tale che m/n = Dimostrazione Supponiamo per assurdo che esista m/n tale che m/n =, cioè (m/n)² =, cioè m² = n². Tale relazione è assurda, perché i due membri sono divisibili per numeri differenti: - primo membro: se m è pari m divisibile per m divisibile per 4; secondo membro: n è dispari (infatti m e n sono primi fra loro) n dispari n divisibile per. Motivi storici che conducono all'introduzione dei numeri reali 1) Dato un quadrato di lato unitario, trovare il lato di un quadrato di area doppia. La risoluzione del problema non è possibile dal punto di vista algebrico, perché conduce alla risoluzione dell'equazione x²= che è impossibile in Q: 1 A A' x A' = A x² =

2 Si può invece risolvere facilmente dal punto di vista geometrico (il quadrato cercato ha come lato la diagonale del quadrato di partenza). Anticamente è noto come problema di Delo: Secondo la leggenda, per far terminare la peste che ad Atene, nel 43 a.c., causò la morte di circa 1/4 della popolazione, gli Ateniesi mandarono una delegazione all'oracolo del dio Apollo, a Delo, con l'incarico di interrogarlo sul da farsi. L'oracolo rispose che per far debellare la peste avrebbero dovuto raddoppiare l'altare cubico di Apollo, pertanto gli Ateniesi ne costruirono uno nuovo di volume doppio. Tuttavia la peste non abbandonò la città! ) Misura di una grandezza. La misura di una grandezza rispetto ad un'altra presa come unità di misura non è sempre esprimibile mediante un numero razionale (esempio: il lato e la diagonale di un quadrato non ammettono un sottomultiplo comune). Questi due problemi evidenziano l'incompletezza di Q e, quindi, la necessità di ampliare l insieme dei numeri razionali in modo da poter risolvere anche tali problemi. A tale scopo osserviamo che l'insieme Q, oltre alle proprietà: 1) (Q,+, ) è un campo, cioè + e sono operazioni interne e soddisfano alle proprietà commutativa, associativa, esistenza elemento neutro e simmetrico, proprietà distributiva del prodotto rispetto alla somma; ) Q è denso; 3) In Q vale l'assioma di Archimede; ne possiede un'altra particolarmente importante: 4) Possibilità di eseguire una sezione (A1,A) dell'insieme Q, cioè la divisione dell'insieme Q in due sottoinsiemi A1 e A che soddisfano alle proprietà: a) ogni numero razionale, escluso al più un numero, appartiene o ad A1 o ad A; b) ogni numero razionale di A1 è minore di ogni numero razionale di A; c) A1 non ammette massimo e A non ammette minimo. Per costruire l insieme dei numeri reali si adotterà il procedimento seguito dal matematico DEDEKIND. La rappresentazione geometrica di Q giustifica l esistenza di due tipi di sezioni dell'insieme Q. Sezioni proprie : il taglio viene fatto su un numero razionale k, che determina le due classi A1 e A. In A1 si trovano i numeri razionali minori di k e in A i numeri razionali maggiori di k, cioè: A1 = { x Q / x<k } A = { x Q / x>k } Poiché il numero k non appartiene alle classi A1 e A e poiché le due classi si addensano sempre di più intorno a k, senza mai incontrarsi, viene naturale introdurre un nuovo numero ( indicato con lo stesso simbolo usato per indicare il numero razionale k) che faccia da elemento di separazione alle due classi. Pertanto diremo che la sezione individuata dalle due classi definisce il numero k (che non è un numero razionale) e si scrive k = (A1,A). Si può vedere questo ricorrendo alla rappresentazione geometrica dei numeri razionali: / A1 k A il taglio viene fatto sul punto k

3 Sezioni improprie : il taglio viene fatto su uno spazio vuoto, che determina le due classi A1 e A. Si può vedere questo ricorrendo alla rappresentazione geometrica di Q. il taglio viene fatto in uno spazio vuoto....../ A1 A 3 Le due classi A1 (che non ha massimo) e A (che non ha minimo) determinano la sezione (A1,A) dell'insieme Q, in quanto A1 e A soddisfano alle tre proprietà precedenti; però rimane da scoprire con quale simbolo è indicato l elemento di separazione (che in Q è uno spazio vuoto) a cui tendono le due classi e come sono fatte le due classi A1 e A. A tale scopo consideriamo il seguente esempio. Calcola le soluzioni dell'equazione x² = 3, cioè i numeri razionali che elevati al quadrato danno 3. Nell'eseguire il calcolo osserviamo che una prima approssimazione è: 1 < x < Per ottenere una approssimazione migliore consideriamo i quadrati dei numeri razionali (decimali finiti) compresi tra 1 e (cioè ) fino a trovarne uno leggermente inferiore e uno leggermente superiore a 3: 1.1²=1.1 1.²= ²= ²= ²=.5 1.6²= ²= ²=3.4 quindi: 1.7 < x < 1.8 Con lo stesso ragionamento consideriamo i quadrati dei numeri razionali (decimali finiti) compresi tra 1.7 e 1.8 (cioè ,79): 1.71²= ²= ²= ²=3.76 quindi: 1.73 < x < 1.74 Continuando in questo modo verremo a costruire due classi infinite di numeri razionali A1 (crescenti), che rappresentano i valori per difetto e A (decrescenti), che rappresentano i valori per eccesso: A1: A: Tali classi si avvicinano sempre di più senza mai incontrarsi, e quindi non definiscono alcun numero razionale. Poiché i quadrati (nel testo del problema c'è x²) dei numeri appartenenti alle due classi si avvicinano sempre di più a 3: A1² : A² : diciamo che le due classi A1 e A definiscono "qualcosa di improprio" (chiamato numero irrazionale), che, nell'insieme che si dovrà introdurre, verrà indicato col simbolo 3. La soluzione dell equazione x² = 3 (che non ammette soluzione in Q) può essere visualizzata geometricamente col seguente schema: x²<3 x²=3 x²> / A1 A x²=3 rappresenta l'elemento di separazione delle due classi, in A1 ci sono gli x²<3 e in A gli x²>3 (a sinistra ci sono i numeri razionali che elevati al quadrato sono minori di 3, a destra i numeri razionali che elevati al quadrato sono maggiori di 3, pertanto l elemento di separazione sarà quel numero non razionale (infatti in x =3 c è uno spazio vuoto)che elevato al quadrato da 3)

4 Questo schema suggerisce di definire le classi A1 e A nel modo seguente: 4 A1 contiene: i numeri razionali negativi, lo zero e i numeri razionali positivi la cui potenza n-esima è minore di r, cioè : A1 = Q - {} { x Q + / x n < r } A contiene: i razionali positivi la cui potenza n-esima è maggiore di r, cioè: A = { x Q+ / xn > r }. Allora si dice che la sezione (A 1,A ) definisce un numero non razionale (detto quindi irrazionale), che n si chiamerà radice n-esima del numero razionale positivo r e verrà indicato col simbolo: r = A 1, A ). ( OSSERVAZIONI Le classi definite in questo modo non permettono di definire i numeri irrazionali negativi, che verranno introdotti come opposti di quelli positivi. Un altro modo di rappresentare i numeri reali è quello di utilizzare le classi contigue, cioè pensare le due classi precedenti A1 e A come costitute rispettivamente dalle approssimazioni per difetto e per eccesso del numero definito dalla sezione (A1,A). Vedi esempi. Insieme dei numeri reali Si definisce numero reale una qualsiasi sezione dell insieme dei numeri razionali. Se la sezione è propria si chiama "numero reale razionale", mentre se è impropria si chiama "numero reale irrazionale". L'insieme di tutte le sezioni di Q si dice insieme dei numeri reali e si denota con R. Operazioni con i numeri reali Addizione (A1,A) + (B1,B) = (A1+B1,A+B) Opposto α = (A1,A) ===> -α = (-A,-A1) Sottrazione (A1,A) - (B1,B) = (A1-B,A-B1) Prodotto (A1,A) (B1,B) = (A1 B1,A B) Reciproco α= (A1,A) ===> = ; α A A1 Divisione A1 A (A1,A):(B1,B) = ; B B1 Potenza α = (A1,A) ===> α n = (A1 n,a n ) Proprietà dell'insieme dei numeri reali 1) (R,+,*) è un campo; )In R vale l'assioma di Archimede; 3) R è denso; 4) R è continuo ( in R esistono solo sezioni proprie); 5) R è completo, nel senso che un ampliamento di R ( che permette di estrarre la radice quadrata dei numeri negativi) porta alla costruzione di un insieme in cui non si conservano tutte le proprietà di R (non si può introdurre una relazione d'ordine). 7) R è una estensione di Q

5 5 PRINCIPIO DI ISOMORFISMO Si definisce struttura algebrica un insieme dotato di una o più operazioni e si scrive (I,*). Due strutture (I,*) e (I', ) si dicono isomorfe se: a) I e I' sono in corrispondenza biunivoca, si verifica trovando la legge che lega tra loro gli elementi dei due insiemi. b) Il risultato ottenuto operando tra due elementi di I ha come corrispondente il risultato ottenuto operando tra i corrispondenti elementi di I', cioè: a * b = c a' b' = c' N.B. Per essere isomorfe c' deve risultare il corrispondente di c Due strutture isomorfe hanno le seguenti caratteristiche: - Sono dello stesso tipo (monoidi, gruppi, ); - I e I' contengono lo stesso numero di elementi; - Sono algebricamente uguali. ESERCIZI Studiare l isomorfismo delle seguenti strutture algebriche: 1) (Z,+) e (P, *) P= potenze di base ed esponente intero relativo ) (A,+) e (B,+) A= archi di una circonferenza, B = angoli al centro 3) (A,+) e (B,+) A= archi di circonferenza B= corde sottese 4) (Z +,+) e (Z -,+) 5) (P,+) e (S,+) P= numeri pari S = multipli di 5 6) (Z,+) e (A,+) A = frazioni con denominatore 9

6 6 ESTENSIONE DI UN INSIEME NUMERICO Consiste nel passare da un insieme numerico I ad un nuovo insieme numerico I' i cui elementi sono di natura diversa da quella di I, ma tali da risolvere, oltre a tutti i problemi risolubili in I, anche altri problemi che i numeri di I non sono in grado di risolvere. L'ampliamento di un insieme numerico viene fatto tenendo presente due principi fondamentali: 1) Principio di permanenza delle proprietà formali: Nel nuovo insieme le operazioni fondamentali devono essere definite in modo da conservare tutte le proprietà precedenti (commutativa, associativa ecc.). ) Principio di isomorfismo Il nuovo insieme numerico I' deve contenere un sottoinsieme isomorfo all'insieme primitivo I. Per dimostrare che un insieme A è un estensione di un insieme I, basta trovare un sottoinsieme di A che sia isomorfo ad I. Z come estensione di N Basta dimostrare che l insieme N è isomorfo al sottoinsieme Z + di Z, cioè dimostrare che le strutture (N,+) e (Z +,+) sono isomorfe. a) sono in corrispondenza biunivoca N Z+ Z f n +n f(n) = + n b) a + b = (a+b) (+a) + (+b) = +(a+b) questo risultato è il corrispondente di (a+b) Quindi le due strutture sono isomorfe. Poiché il sottoinsieme Z + di Z è isomorfo ad N possiamo affermare che Z è una estensione di N. Q come estensione di Z Basta dimostrare che l insieme Z è isomorfo al sottoinsieme Q 1 di Q, cioè dimostrare che le strutture (Z,+) e (Q 1,+) con Q 1 = frazioni con denominatore 1, sono isomorfe. a) sono in corrispondenza biunivoca Z Q /1 +/1. Q 1 -/3 +5/3 la legge risulta: f(n) = n/1

7 b) (+a) + (+b) = +(a+b) 7 (+a/1) + (+b/1) = +(a+b)/1 questo risultato è il corrispondente di (a+b) Quindi le due strutture sono isomorfe. Poiché il sottoinsieme Q 1 di Q è isomorfo a Z possiamo affermare che Q è una estensione di Z. R come estensione di Q Basta dimostrare che l insieme Q è isomorfo al sottoinsieme R p di R, cioè dimostrare che le strutture (Q,+) e (R p,+) con R p = sezioni proprie, sono isomorfe: a) sono in corrispondenza biunivoca Q R -1/ R p -1/ +/3 +/3 3 La legge risulta: ad ogni numero razionale viene associata la sezione propria corrispondente (A 1,A ) e viceversa. b) a + b = c (A 1,A ) + (B 1,B ) = (A 1 +B 1,A +B ) questo è il corrispondente di c. Quindi le due strutture sono isomorfe. Poiché il sottoinsieme R p di R è isomorfo a Q possiamo affermare che R è una estensione di Q. Conclusione Rappresentando gli insiemi numerici come i vari piani di una torta nuziale, si capisce che gli insiemi sono formati da elementi concettualmente differenti. N Z+ Z Q1 Q+ Q Rp R