Esercitazione N.4N. 14 novembre Equazioni diofantee lineari. Relazioni d equivalenzad. Domande interessanti poste dagli studenti in aula

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1 Esercitazione N.4N 14 novembre 2006 Equazioni diofantee lineari applicazioni elementari pratiche:il problema cinese dei 100 polli Relazioni d equivalenzad Domande interessanti poste dagli studenti in aula Rosalba Barattero

2 1 INCOGNITA EQUAZIONI DIOFANTEE LINEARI (= equazioni di I grado a coefficienti in Z che vengono risolte in Z) Esempi a) 3x=4 non ha sol. in Z b) 5x=10 ha unica sol. in Z, x= 10/5 =2 Quindi ax=b con a, b Z, a 0 ha un unica soluzione in Z (x= b/a) se e solo se a b ( a divide b) Altrimenti non ci sono soluzioni in Z L EQUAZIONE DIOFANTEA ax+by=0 Affrontiamo ora lo studio dell equazione ax+by=0, detta equazione omogenea associata all equazione ax+by=c (c=0). L equazione ax+by=0 ha sempre la soluzione (0,0). Se (x 0,y 0 ) è una sua soluzione allora anche (tx 0,ty 0 ) al variare di t in Z è soluzione? Sì! Ma DOMANDA E vero che le soluzioni intere dell equazione lineare omogenea 4x-6y=0 sono tutte del tipo (6t,4t) al variare di t Z? x=6 y=4 soddisfa l equazione (corrisponde a t=1) 2 INCOGNITE Esempi a) 4x+6y=3 non ha sol. in Z:comunque si sostituiscano x e y con due interi il I membro è pari, il secondo è dispari. Si noti che in R l equazione ha infinite soluzioni, basta assegnare ad x un generico valore reale t e ricavare il corrispondente 3 4t y=, con t R. 6 b) 3x+6y=18 ha soluzioni intere,ad esempio (4,1), (-6,6),(10,-2). x=6 2 y=4 2 soddisfa l equazione (corrisponde a t=2) x=6 3 y=4 3 soddisfa l equazione (corrisponde a t=3) etc. quindi : x=6t y=4t, t Z soddisfa l equazione. Ma attenzione! anche (3,2) è soluzione, ma non c è nessun valore intero di t che consenta di ottenere (3,2) = (6t,4t), perché dovrebbe essere 3= 6t e 2 =4t, ma dalla prima segue t= 2 1 Z. 1 2

3 Quindi le coppie (6t,4t) al variare di t Z sono sì soluzione dell equazione 4x-6y=0 ma non sono TUTTE le infinite soluzioni! Ma se l equazione fosse stata scritta così 2x-3y=0 sarebbe stato corretto dire che tutte le soluzioni sono x= 3t, y=2t, t Z! Perché? In virtù della Proprietà * se a divide bc, e se a è primo con b, allora a divide c Tutte le soluzioni di ax+by=0, nel ns. caso 4x-6y=0 si trovano così : M.C.D.(4,6)=2 dividiamo per 2 l equazione 4x-6y=0, otteniamo l equazione equivalente (con le stesse soluzioni) 2x-3y=0, i cui coefficienti sono primi tra loro la soluzione generale in Z di 2x-3y=0 è "scambiando in croce": x=3t,y=2t al variare di t in Z,(o equivalentemente) l insieme S={(3t,2t) t Z}. Osservo che da 2x=3y posso ricavare che: 3 divide 2 x, 3 è primo con 2 ( non hanno fattori co muni ), allora 3 divide x, e quindi x=3t da cui 2(3t)=3y cioé y=2t). Invece da 4x=6y ricavo che: 6 divide 4 x e stop! 2 è fattore a comune tra 4 e 6! Abbiamo visto prima cosa può succedere:4 3 = non divide né 6 né 2 PROSPETTO ax+by=c a, b Z *, c Z c=0 "omogenea" c 0 "non omogenea" infinite soluzioni in Z nessuna soluzione in Z infinite soluzioni in Z Morale Dobbiamo capire ancora la parte destra dello schema. 3 4

4 EQUAZIONE LINEARE NON OMOGENEA ax+by=c, CON a,b,c Z * PROBLEMA 1. Stabilire se e quando ax+by=c ha soluzioni in Z. RISPOSTA L'equazione ax+by=c, con a,b,c Z * ha soluzioni in Z M.C.D. (a,b) divide c. Dim.Se esiste la soluzione intera (x 0,y 0 ) allora si ha ax 0 +by 0 =c. Se d è il M.C.D. (a,b) allora a=dr, b=ds, quindi sostituendo : c= (dr)x 0 +(ds)y 0 = d(rx 0 +sy 0 ), che ci dice d divide c. Viceversa supponiamo che d divida c, ossia dm=c. Dalla proprietà del M.C.D.(a,b) si sa che esistono x 0,y 0 Z tali che d= ax 0 +by 0. Quindi si ha : c = dm= (ax 0 +by 0 )m = a(mx 0 )+b(my 0 ) Questo ci dice che l equazione diofantea ax+by=c ha la soluzione x= mx 0, y=my 0 (o meglio la coppia (mx 0,my 0 )). Abbiamo risposto anche ad un secondo problema PROBLEMA 2. Nel caso in cui ax+by=c abbia soluzioni intere trovare una soluzione. RISPOSTA. Troviamo prima una soluzione di ax+by=d, d= M.C.D. (a,b), (ad esempio)con l'algoritmo di Euclide e poi la moltiplichiamo per c/d. ESEMPI 1) 21x+15y=14 ha soluzioni in Z? M.C.D.(21,15)=3, 3 non divide 14 NON ci sono sol. in Z. 2) 21x+15y=6 ha soluzioni in Z? 3 divide 6 SÌ, ci sono soluzioni in Z. Troviamo una soluzione intera di 21x+15y=6. Prima troviamo una soluzione di 21x+15y=3 Si vede facilmente che x= -2, y= 3 va bene. Ora c=6,d=3 quindi c/d=2 e perciò moltiplichiamo la coppia trovata ( -2, 3) per 2 e otteniamo (-4,6), soluzione di 21x+15y=6. Resta l ultimo problema : PROBLEMA 3. Determinare le infinite soluzioni di ax+by=c RISPOSTA. Sommiamo ad una sua soluzione tutte le soluzioni dell equazione omogenea associata. ( per la dim. Cfr. dispense G.Niesi scorso anno). 5 6

5 ESEMPIO: Quali sono le infinite soluzioni di 21x+15y=6? Determiniamo le infinite soluzioni dell eq.omog.associata 21x+15y=0. Semplifichiamo per 3: 7x+5y=0. Ora i coefficienti sono primi fra loro e quindi le soluzioni sono (5t,-7t) al variare di t in Z. Una soluzione particolare di 21x+15y=6 è (-4,6) ( SI PUÒ TROVARE ANCHE CON L ALGORITMO EUCLIDEO) allora la soluzione generale di 21x+15y=6 è (-4,6) + (5t,-7t) Sommiamo ordinatamente le componenti La soluzione generale di 21x+15y=6 è (-4+5t,6-7t) al variare di t in Z ESERCIZIO 1. Il problema dei 100 polli di Chang Chhiu-Chien Se un gallo costa 5 monete, una gallina 3 monete e con una moneta si possono comprare 3 pulcini, quanti galli, galline e pulcini si possono comprare con 100 monete, volendo comprare in tutto 100 polli? Indichiamo : x= numero dei galli y= numero delle galline z= numero dei pulcini x + y + z = Il quesito si traduce nel sistema 5x + 3y + z = z = x - y 1 5x + 3y + (100 - x - y) = z = x - y 14x + 8y = 200. La seconda equazione è una diofantea lineare che possiamo semplificare in 7x+4y=100. Una soluzione particolare si vede essere (0,25). 7 8

6 L eq.omog.ass. 7x+4y=0 ha i coefficienti che sono primi fra loro, perciò le sue infinite soluzioni sono ( 4t,-7t) al variare di t Z, e di conseguenza la soluzione generale dell equazione 14x+8y=200 è (0,25)+ ( 4t,-7t) = (4t, 25-7t) al variare di t Z, quindi la soluzione del sistema è x= 4t, y= 25-7t, z= 75+7t al variare di t Z. Chang Chhiu-Chien,nel suo trattato di Matematica classica (~250 d.c. ) dà le risposte x=4 y=18 z=78 x=8 y=11 z=81 x=12 y=4 z=84 Infatti occorre mettere la condizione di positività! 4t > 0; 25-7t > 0; t > 0 t>0-25<t<3+ 4/7 Quindi t=1,2,3 : si ottengono le soluzioni di Chang! ESERCIZIO 2. Sulle funzioni Sia f:zxz Z la funzione definita da f(x,y)=6x-15y. a) Determinare f -1 (0) e f -1 (12). b) Stabilire se f è iniettiva, surgettiva. a) f -1 (0)={(x,y) ZxZ f(x,y)=0}= {(x,y) ZxZ 6x-15y=0}. Semplificata per 3 l'equazione si riduce a 2x-5y=0, ossia 2x=5y, i cui coefficienti sono primi fra loro. Ora si può procedere come sempre: 2 non divide 5, quindi 2 divide y, ossia y= 2t, da cui segue x=5t, con t Z. Si ottiene f -1 (0) = {(5t,2t) t Z}. f -1 (12)={(x,y) ZxZ f(x,y)=12}={(x,y) ZxZ 6x-15y=12}. Una soluzione particolare di 6x-15y=12 è (-3,-2). La soluzione generale è (-3,-2)+(5t,2t)=(-3+5t,-2+2t),t Z Si ottiene f -1 (12) ={(-3+5t,-2+2t) t Z}. b) Si può avere f -1 ( )= {(x,y) ZxZ 6x-15y= } =? 6x-15y=c ha soluzioni in Z M.C.D.(6,15) divide c M.C.D.(6,15)=3,ad es.non ci sono soluzioni se c=2.così f 1 (2)= ed f NON è surgettiva. Da a) f NON è iniettiva: f -1 (0) ha infiniti elementi ( (0,0) (5,2) ma f(0,0)=f(5,2)= 0 ). 9 10

7 ESERCIZIO 3. Relazioni binarie relazioni d equivalenza La relazione disegnata è di equivalenza? Una relazione su A è di equivalenza se è riflessiva: x x, x A simmetrica: x y y x, x,y A transitiva: x y e y z x z, x,y,z A Dal disegno si 'leggono' la riflessiva e la simmetrica. Rispetto alla bisettrice del I quadrante A = {0,1,2}, R={(0,0), (0,1), (1,0), (1,1), (2,2)} RICORDIAMO CHE : A = {0,1,2} R={(0,0), (0,1), (1,0), (1,1), (2,2)} 0 0, 1 1, 2 2 : rifl. sì : simm. sì Una relazione binaria su un insieme A è un sottoinsieme del prodotto cartesiano AxA. Dati x, y elementi di A diciamo che x è in relazione con y e scriviamo Transitiva: sì! verificarlo! x y (opp. xr y) se (x,y) AxA

8 OSSERVAZIONI E DOMANDE INTERESSANTI POSTE IN AULA DAGLI STUDENTI DURANTE L' ESERCITAZIONE PROPRIETA DI PAG.3 QUALE CORRELAZIONE C È TRA LA PROPRIETÀ DI PAG. 3 E IL TEOREMA FONDAMENTALE DELL ARITMETICA? PER PROVARE LA PROPRIETÀ SI UTI LIZZA IL TEOREMA O VICEVERSA? La proprietà * di pag.3 afferma che In Z se a divide bc, e se a è primo con b, allora a divide c Il teorema fondamentale dell aritmetica afferma che: Ogni numero intero maggiore di 1 si fattorizza in modo unico (a meno dell ordine) in un numero finito di primi. La proprietà * si prova facendo uso della divisione e dell identità di BeZout così: Se a è primo con b, ossia se il M.C.D.(a,b) = 1, allora sappiamo che esistono due interi m, n tali che 1=am+bn; moltiplicando per c si ha c= cam+cbn. Ma per ipotesi a divide bc, quindi ak=bc e sostituendo si ha c= cam+akn= a(cm+kn). Dunque a divide c, che è la tesi. Un interessante COROLLARIO della proprietà * è il seguente : Se in Z un numero primo divide un prodotto, allora divide almeno uno dei fattori. Infatti se il numero primo p divide ab si ha: M.C.D.(p,a)=1 oppure M.C.D.(p,a)=p. Nel primo caso usiamo la proprietà * e allora p divide b.nel secondo caso p divide a, per definizione di M.C.D. Questo COROLLARIO viene usato nel corso della dimostrazione del teorema fondamentale dell aritmetica. 13