G. Parmeggiani, 1/3/2016 Algebra e Matematica discreta a.a. 2015/2016

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1 G. Parmeggiani, 1/3/2016 Algebra e Matematica discreta a.a. 2015/2016 Scuola di Scienze - Corso di laurea: INFORMATICA 1/ 29

2 Docenti: parte di Algebra: Gemma Parmeggiani parte di Matematica discreta: Carla De Francesco orario lezioni: lunedí, martedí, giovedí, venerdí dalle 9.30 alle prof.ssa De Francesco: tutti i lunedí ed anche i seguenti 4 venerdí : 4/3, 1/4, 29/4, 20/5 io: le rimanenti lezioni 2/ 29

3 sospensione didattica (compitino): dal 18 al 22 aprile date degli appelli al link: informatica.math.unipd.it/laurea/index.html 3/ 29

4 orario di ricevimento (mio): mercoledí dalle alle venerdí dalle alle indirizzo: Dipartimento di Matematica (sesto piano) via Trieste 63 indirizzo di posta elettronica: materiale didattico alla pagina web: (ATTENZIONE al corso!) parmeggi esercizi per casa, ESERCIZI TIPO, programma svolto 4/ 29

5 libro di testo: Geometria analitica con elementi di algebra lineare Marco Abate e Chiara de Fabritiis Mc Graw Hill link alla piattaforma connect: 5/ 29

6 DIVISIONE NEI NUMERI NATURALI E NEI NUMERI INTERI Siano N = l insieme dei numeri naturali = {0,1,2,3,... } e Z = l insieme dei numeri interi = { 3, 2, 1,0,1,2,3,... }. Divisione in N: Siano a,b N con b 0. Allora esistono e sono unici due numeri naturali q (detto quoziente) ed r (detto resto) tali che a = q b + r con 0 r < b. 6/ 29

7 ESEMPI: per a = 137 e b = 55 si ha q = 2 ed r = 27; per a = 137 e b = 142 si ha q = 0 ed r = a = 137. N.B. 1 L esistenza di q ed r può essere dimostrata usando il principio di induzione. N.B. 2 Che q ed r siano unici significa: a = q 1 b + r 1 con 0 r 1 < b a = q 2 b + r 2 con 0 r 2 < b = q 1 = q 2 r 1 = r 2 7/ 29

8 Divisione in Z: Siano a,b Z con b 0. Allora esistono e sono unici due numeri interi q (detto quoziente) ed r (detto resto) tali che a = q b + r con 0 r < b. ESEMPI: per a = 137 e b = 55 si ha q = 2 ed r = 27; per a = 137 e b = 55 si ha q = 3 ed r = 28; per a = 137 e b = 55 si ha q = 3 ed r = 28. N.B. 1 La dimostrazione dell esistenza di q ed r è simile alla dimostrazione dell esistenza di quoziente e resto nella divisione in N. N.B. 2 Che q ed r sono unici dal momento che si richiede che sia r 0. N.B. 3 Se a,b Z con b 0, allora a, b N con b 0, ma il quoziente ed il resto della divisione di a con b non sono i valori assoluti del quoziente ed il resto della divisione di a con b. 8/ 29

9 DIVISIBILITA NEI NUMERI NATURALI E NEI NUMERI INTERI Divisibilità in N: Siano a,b N con b 0. Si dice che b divide a se a = q b per un opportuno q N. Se b divide a si scrive b a. Se invece b non divide a, si scrive b a. ESEMPI: 6 18 perchè esiste q N tale che 18 = q 6 (si prende q = 3); 4 18: nella divisione di 18 per 4 c è un resto r 0 (è r = 2). 9/ 29

10 N.B. Siano a,b N con a 0 e b 0. Allora a b b a } = a = b Divisibilità in Z: Siano a,b Z con b 0. Si dice che b divide a se a = q b per un opportuno q Z. b a. Se invece b non divide a, si scrive b a. 10/ 29

11 ESEMPI: ( 6) 18 perchè esiste q Z tale che 18 = q ( 6) (si prende q = 3); 6 ( 18) perchè esiste q Z tale che 18 = q 6 (si prende q = 3); 4 ( 18): nella divisione di 18 per 4 c è un resto r 0 (nella divisione di 18 per 4, dovendo essere r 0, è q = 5 ed r = 2). N.B. Siano a,b Z con a 0 e b 0. a b b a } = a {b, b} 11/ 29

12 MASSIMO COMUN DIVISORE NEI NUMERI NATURALI E NEI NUMERI INTERI Massimo comun divisore in N: Siano a, b N non entrambi nulli. Si dice che d N è un massimo comun divisore di a e b se 1) d a e d b (ossia se d è un divisore comune di a e b) 2) se z a e z b per qualche z N, allora z d (ossia d è un multiplo di tutti i divisori comuni di a e b). 12/ 29

13 N.B. 1 In N il massimo comun divisore è unico (ossia, se a,b N sono non entrambi nulli, e d 1,d 2 N sono due divisori comuni di a e b con la proprietà di essere multipli di ogni altro divisore comune di a e b, allora d 1 = d 2 ). Se d è IL massimo comun divisore di a e b (in N) si scrive d = MCD(a,b). ESEMPIO: 6 = MCD(12, 18). N.B. 2 Siano a, b N non entrambi nulli. Allora MCD(a,b) = MCD(b,a). 13/ 29

14 N.B. 3 Siano a,b N con b 0. Se b a allora b = MCD(a,b). In particolare, per ogni b 0 si ha che b = MCD(0,b) = MCD(b,0). N.B. 4 Siano a,b N con b 0. Siano q ed r il quoziente ed il resto della divisione di a per b (con eventualmente r = 0 se b a): a = q b + r con 0 r < b. Allora MCD(a,b) = MCD(b,r). 14/ 29

15 Massimo comun divisore in Z: Siano a, b Z non entrambi nulli. Si dice che d Z è un massimo comun divisore di a e b se 1) d a e d b (ossia se d è un divisore comune di a e b) 2) se z a e z b per qualche z Z, allora z d (ossia d è un multiplo di tutti i divisori comuni di a e b). Se d è UN massimo comun divisore di a e b (in Z) si scrive d = MCD(a,b). ESEMPI: 6 = MCD(12, 18) ed anche 6 = MCD(12, 18) in Z; 6 = MCD( 12, 18) ed anche 6 = MCD( 12, 18) in Z. 15/ 29

16 N.B. 1 In Z il massimo comun divisore è individuato a meno del segno (ossia, se a,b Z sono non entrambi nulli, e d 1,d 2 Z sono due divisori comuni di a e b con la proprietà di essere multipli di ogni altro divisore comune di a e b, allora d 1 = d 2 oppure d 1 = d 2 ). N.B. 2 Siano a,b Z con b 0. Siano q ed r il quoziente ed il resto della divisione di a per b (con eventualmente r = 0 se b a): a = q b + r con 0 r < b. Allora MCD(a,b) = MCD(b,r). N.B. 3 Siano a, b Z non entrambi nulli. Allora MCD(a,b) = MCD( a,b) = MCD(a, b) = MCD( a, b). 16/ 29

17 CALCOLO DEL MASSIMO COMUN DIVISORE NEI NUMERI NATURALI E NEI NUMERI INTERI Calcolo del MCD in N: Dati a,b N con a 0 e b 0, descriviamo un algoritmo (detto algoritmo di Euclide ) che permette di calcolare MCD(a,b). Esso consiste in una sequenza di divisioni successive: 1 0 passaggio: si divide a per b : esistono q 1,r 1 N tali che a = b q 1 + r 1 con 0 r 1 < b MCD(a,b) = MCD(b,r 1 ) se r 1 = 0 se r 1 0 allora MCD(b,r 1 ) = MCD(b,0) = b e l algoritmo si ferma; l algoritmo continua. 17/ 29

18 2 0 passaggio: se r 1 0, si divide b per r 1 : esistono q 2,r 2 N tali che b = r 1 q 2 + r 2 con 0 r 2 < r 1 MCD(b,r 1 ) = MCD(r 1,r 2 ) se r 2 = 0 allora MCD(r 1,r 2 ) = MCD(r 1,0) = r 1 e l algoritmo si ferma; se r 2 0 l algoritmo continua. 18/ 29

19 3 0 passaggio: se r 2 0, si divide r 1 per r 2 : esistono q 3,r 3 N tali che r 1 = r 2 q 3 + r 3 con 0 r 3 < r 2 MCD(r 1,r 2 ) = MCD(r 2,r 3 ) se r 3 = 0 allora MCD(r 2,r 3 ) = MCD(r 2,0) = r 2 e l algoritmo si ferma; se r 3 0 l algoritmo continua / 29

20 k-esimo passaggio: se r k 1 0, si divide r k 2 per r k 1 : esistono q k,r k N tali che r k 2 = r k 1 q k + r k con 0 r k < r k 1 MCD(r k 2,r k 1 ) = MCD(r k 1,r k ) se r k = 0 se r k 0 allora MCD(r k 1,r k ) = MCD(r k 1,0) = r k 1 e l algoritmo si ferma; l algoritmo continua Concludendo, il massimo comun divisore MCD(a, b) è l ultimo resto non nullo della sequenza di divisioni successive. 20/ 29

21 ESEMPIO: Calcoliamo MCD(2420,1386): 1 0 passaggio: dividiamo a = 2420 per b = 1386 : 2420 = (q 1 = 1, r 1 = 1034 < 1386) = l algoritmo continua. 2 0 passaggio: dividiamo b = 1386 per r 1 = 1034 : 1386 = (q 2 = 1, r 2 = 352 < 1034) = l algoritmo continua. 3 0 passaggio: dividiamo r 1 = 1034 per r 2 = 352 : 1034 = (q 3 = 2, r 3 = 330) = l algoritmo continua. 21/ 29

22 4 0 passaggio: dividiamo r 2 = 352 per r 3 = 330 : 352 = (q 4 = 1, r 4 = 22) 22 0 = l algoritmo continua. 5 0 passaggio: dividiamo r 3 = 330 per r 4 = 22 : 330 = (q 5 = 15, r 5 = 0) r 5 = 0 e r 4 0 = r 4 = MCD(a,b) e l algoritmo si ferma: MCD(2420, 1386) = / 29

23 Calcolo del MCD in Z: Siano a,b Z non entrambi nulli. Per calcolare MCD(a,b) si può procedere in uno dei due seguenti modi: 1 0 modo: - calcolare a, b N, - calcolare MCD( a, b ) = d N, - osservare che allora d e d sono i due MCD(a,b) in Z. 2 0 modo: - usare l algoritmo di Euclide in Z: si eseguono divisioni successive in Z (attenzione: tutti i resti devono essere non negativi!) e l ultimo resto non nullo nella sequenza di queste divisioni è il massimo comun divisore positivo di a e b in Z. 23/ 29

24 ESEMPIO: Calcoliamo MCD( 274,110) nei due modi: 1 0 modo: a = 274 e b = 110 per cui a = 274 e b = = (q 1 = 2, r 1 = 54) 110 = (q 2 = 2, r 2 = 2) 54 = (q 3 = 27, r 3 = 0) Dunque r 2 = 2 = MCD( a, b ) e 2 e 2 sono i due massimi comun divisori di a = 274 e b = 110 in Z. 24/ 29

25 2 0 modo: a = 274 e b = 110 (i resti sono non negativi!) 274 = 110 ( 3) + 56 (q 1 = 3, r 1 = 56) 110 = (q 2 = 1, r 2 = 54) 56 = (q 3 = 1, r 3 = 2) 54 = (q 4 = 27r 4 = 0) Dunque r 3 = 2 = MCD(a,b) e 2 e 2 sono i due massimi comun divisori di a = 274 e b = 110 in Z. 25/ 29

26 NUMERI PRIMI NEI NUMERI NATURALI E NEI NUMERI INTERI Numeri primi in N: Un numero naturale p N è detto un numero primo se - p 0,1, - se x N è tale che x p allora x {1,p}. ESEMPI: 2 è un numero primo, mentre 4 non lo è. 26/ 29

27 Numeri primi in Z: primo se Un numero intero p Z è detto un numero - p 0,1, 1, - se x Z è tale che x p allora x {1, 1,p, p}. ESEMPI: 2 e 2 sono numeri primi. 27/ 29

28 TEOREMA FONDAMENTALE DELL ARITMETICA Ogni numero intero è prodotto di numeri primi in modo unico a meno dell ordine e del segno: n = p 1 p 2 p r per ogni n Z dove p 1,p 2,... p r sono numeri primi (non necessariamente distinti). 28/ 29

29 Siano a,b Z. Allora se a = ( 1) α p α 1 1 pα k k p α k+1 k+1 pαn n b = ( 1) β p β 1 1 pβ k k qβ k+1 k+1 qβm m dove α,β {0,1}, α i,β i N e p i,q i sono numeri primi allora MCD(a,b) = ( 1) δ p δ 1 1 pδ k k dove dove δ {0,1} e δ i = min{α i,β i }. 29/ 29