Campi di Galois. F 2 : elementi {0, 1}, somma modulo 2. Campo di Galois V m (F 2 ) = F 2. Elementi: vettori binari di lunghezza m, p.

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1 Campi di Galois F 2 : elementi {0, 1}, somma modulo 2 Campo di Galois V m (F 2 ) = F 2 m Elementi: vettori binari di lunghezza m, p. 1/39

2 Campi di Galois F 2 : elementi {0, 1}, somma modulo 2 Campo di Galois V m (F 2 ) = F 2 m Elementi: vettori binari di lunghezza m, Addizione: vettoriale su F 2 p. 1/39

3 Campi di Galois F 2 : elementi {0, 1}, somma modulo 2 Campo di Galois V m (F 2 ) = F 2 m Elementi: vettori binari di lunghezza m, Addizione: vettoriale su F 2 Moltiplicazione: Vediamo vettori come polinomi binari di grado m a coefficienti su F 2 (a m 1,...,a 0 ) a(x) = a m 1 x m a 1 x + a 0 Dati a,b V m (F 2 ) a b = c sse c(x) = a(x)b(x) mod p(x) dove p(x) = p m x m p 0 = polinomio primitivo p. 1/39

4 Polinomi primitivi Polinomio irriducibile non divisibile per altro polinomio a coefficienti in F 2 p. 2/39

5 Polinomi primitivi Polinomio irriducibile non divisibile per altro polinomio a coefficienti in F 2 Polinomio irriducibile divide x 2m p. 2/39

6 Polinomi primitivi Polinomio irriducibile non divisibile per altro polinomio a coefficienti in F 2 Polinomio irriducibile divide x 2m Polinomio primitivo= polinomio irriducibile che divide x 2m 1 + 1, non x n + 1 per n < 2 m 1 p. 2/39

7 Polinomi primitivi Polinomio irriducibile non divisibile per altro polinomio a coefficienti in F 2 Polinomio irriducibile divide x 2m Polinomio primitivo= polinomio irriducibile che divide x 2m 1 + 1, non x n + 1 per n < 2 m 1 Polinomi primitivi esistono e sono noti per ogni m m = 3 x 3 + x + 1 m = 4 x 4 + x + 1 m = 5 x 5 + x p. 2/39

8 Radice primitiva p(x) = p m x m p 1 x + p 0 = polinomio primitivo p. 3/39

9 Radice primitiva p(x) = p m x m p 1 x + p 0 = polinomio primitivo α= radice di p(x) x 2m 1 +1 = q(x)p(x) α 2m 1 +1 = q(α)p(α) = 0 α 2m 1 = 1 p. 3/39

10 Radice primitiva p(x) = p m x m p 1 x + p 0 = polinomio primitivo α= radice di p(x) x 2m 1 +1 = q(x)p(x) α 2m 1 +1 = q(α)p(α) = 0 α 2m 1 = 1 Possibile provare che α 0,...,α 2m 2 sono tutti elementi di V m (F 2 ) tranne 0 p. 3/39

11 Esempio m = 3, polinomio primitivo=x 3 + x + 1 α= radice primitiva, α 3 + α + 1 = 0 α 3 = α + 1 α i polinomio (grado 2) vettore (a 2,a 1,a 0 ) α 0 = 1 α α 1 α 010 α 2 α α 3 α α 4 α(α + 1) = α 2 + α 110 α 5 α(α 2 + α) = α 2 + α α 6 α(α 2 + α + 1) = α α 7 α(α 2 + 1) = 1 p. 4/39

12 Esempio m = 3, polinomio primitivo=x 3 + x + 1 α= radice primitiva, α 3 + α + 1 = 0 α 3 = α + 1 α i polinomio (grado 2) vettore (a 2,a 1,a 0 ) α 0 = 1 α α 1 α 010 α 2 α α 3 α α 4 α(α + 1) = α 2 + α 110 α 5 α(α 2 + α) = α 2 + α α 6 α(α 2 + α + 1) = α α 7 α(α 2 + 1) = 1 INVERSO: α i = α n i, n = 2 m 1 p. 4/39

13 Esempio m = 3, polinomio primitivo=x 3 + x + 1 α= radice primitiva, α 3 + α + 1 = 0 α 3 = α + 1 α i polinomio (grado 2) vettore (a 2,a 1,a 0 ) α 0 = 1 α α 1 α 010 α 2 α α 3 α α 4 α(α + 1) = α 2 + α 110 α 5 α(α 2 + α) = α 2 + α α 6 α(α 2 + α + 1) = α α 7 α(α 2 + 1) = 1 INVERSO: α i = α n i, n = 2 m 1 p. 4/39

14 Codici Reed-Solomon Codici di Hamming: H = [α 0,...,α n 1 ] p. 5/39

15 Codici Reed-Solomon Codici di Hamming: H = [α 0,...,α n 1 ] Codice Reed Solomon(n,t), n = 2 m 1 α 0... α n 1 α H = α 2 n 1... α0 2t... αn 1 2t con α i = α i, α = radice primitiva di V m (F 2 ) p. 5/39

16 Codici Reed-Solomon Codici di Hamming: H = [α 0,...,α n 1 ] Codice Reed Solomon(n,t), n = 2 m 1 α 0... α n 1 α H = α 2 n 1... α0 2t... αn 1 2t con α i = α i, α = radice primitiva di V m (F 2 ) Parole codice: C = (c 0,...,c n 1 ), c i V m (F 2 ) t.c. HC T = 0 n 1 α ij c i = 0, j = 1,...,2t i=0 p. 5/39

17 Codifica C = (c 0,...,c n 1 ) C(x) = c n 1 x n c 1 x + c 0 p. 6/39

18 Codifica C = (c 0,...,c n 1 ) C(x) = c n 1 x n c 1 x + c 0 Parole codice hanno radici α,...,α 2t C RS(n,t) HC T = 0 n 1 i=0 αij c i = 0, j = 1,...,2t C(α j ) = 0 j = 1,...,2t p. 6/39

19 Codifica C = (c 0,...,c n 1 ) C(x) = c n 1 x n c 1 x + c 0 Parole codice hanno radici α,...,α 2t C RS(n,t) HC T = 0 n 1 i=0 αij c i = 0, j = 1,...,2t C(α j ) = 0 j = 1,...,2t Parola codice sono i multipli di (x α)...(x α 2t ) C(x) = q(x)g(x) g(x) = (x α)...(x α 2t ) =polinomio generatore del codice p. 6/39

20 Codifica C = (c 0,...,c n 1 ) C(x) = c n 1 x n c 1 x + c 0 Parole codice hanno radici α,...,α 2t C RS(n,t) HC T = 0 n 1 i=0 αij c i = 0, j = 1,...,2t C(α j ) = 0 j = 1,...,2t Parola codice sono i multipli di (x α)...(x α 2t ) C(x) = q(x)g(x) g(x) = (x α)...(x α 2t ) =polinomio generatore del codice RS(n,t): tutti polinomi su V m (F 2 ) multipli di g(x) p. 6/39

21 Distanza Minima RS(n,t): 2t + 1 d 2t + 1 g(x) parola codice grado 2t, g = (g 0,...,g 2t, 0,...,0) w min w(g) 2t + 1 Quindi d = w min 2t + 1 p. 7/39

22 d 2t + 1 Ogni r 2t colonne di H sono linearmente indipendenti: Consideriamo α i1 = γ 1,...,α ir = γ r e sottomatrice di H H = γ 1 γ γ r... γr 2. γ r 1... γ r r p. 8/39

23 Risulta Det(H γ ) = (γ 1 γ r )Det 1... γ r... γ1 r 1... γr r 1 = γ 1 γ r (γ j γ i ) 0 i<j Quindi r 2t colonne di H sono linearmente indipendenti ogni parola ha peso 2t + 1 d = w min 2t + 1 p. 9/39

24 Codifica Sistematica RS(n,t) Simboli di informazione (a 0,...,a k 1 ), a i F 2 m, k = n 2t CODIFICA C(x) = x 2t a(x) + b(x) b(x) = resto x 2t a(x) g(x), deg(b(x)) 2t 1 C = (c 0,...,c n 1 ) = (b 0,...,b 2t 1,a 0,...,a k 1 ) Nota Divisione polinomi VELOCE mediante circuiti p. 10/39

25 Proprietá C(x) multiplo di g(x) DIM. C(x) = x 2t a(x) + b(x), con b(x) = resto x 2t a(x) g(x) Divisione x 2t a(x) per g(x): quoziente q(x), resto b(x) C(x) = x 2t a(x) + b(x) = (q(x)g(x) + b(x)) + b(x) = q(x)g(x) p. 11/39

26 Decodifica RS(n,t) Parola trasmessa C C(x) = c c n 1 x n 1 Sequenza ricevuta R R(x) = r r n 1 x n 1 p. 12/39

27 Decodifica RS(n,t) Parola trasmessa C C(x) = c c n 1 x n 1 Sequenza ricevuta R R(x) = r r n 1 x n 1 Errore in posizione i sse r i c i Sia e i = r i c i Quindi R = C + E Vettore errore E E(x) = e e n 1 x n 1 p. 12/39

28 Decodifica RS(n,t) Parola trasmessa C C(x) = c c n 1 x n 1 Sequenza ricevuta R R(x) = r r n 1 x n 1 Errore in posizione i sse r i c i Sia e i = r i c i Quindi R = C + E Vettore errore E E(x) = e e n 1 x n 1 VOGLIAMO DETERMINARE E(x) p. 12/39

29 Assumiamo γ errori in posizioni j 1,...,j γ e j1,...,e jγ 0, altri e i = 0 E(x) = e j1 x j e jγ x j γ Definiamo β 1 = α j 1,...,β γ = α j γ e E 1 = e j1,...,e γ = e jγ E(x) = E 1 x j E γ x j γ p. 13/39

30 Calcoliamo la sindrome S = (s 1,...,s 2t ) = HR T Risulta s i = (riga i ma di H)R = (α i,...,α ij,...,α i(n 1) )(r 0,...,r n 1 ) = r 0 + r 1 α i r j α ij r n 1 α i(n 1) = R(α i ) p. 14/39

31 Sindrome S = (s 1,...,s 2t ) = HR T, s i = R(α i ), i = 1,...2t Essendo S = HR T = H(C + E) T = HC T + HE T = HE T s i = E(α i ) = e 0 + e 1 α i e n 1 α i(n 1) = E 1 α ij E γ α ij γ γ = E 1 β1 i E γ β i = j=1 E j β i j p. 15/39

32 Calcolo della sindrome s i = resto R(x) x+α i, i = 1,...2t DIM. Dividendo R(x) per x + α i : quoziente q i (x) e resto b i R(x) = q i (x)(x + α i ) + b i R(α i ) = b i s i = b i p. 16/39

33 Decodificare Trova posizioni degli errori (j 1,...,j γ ) Trova valore degli errori (E 1,...,E γ ) p. 17/39

34 Polinomio locatore degli errori Polinomio locatore degli errori: σ(x) con radici β1 1,...,β 1 γ σ(x) = (1 + β 1 x)...(1 + β γ x) = 1 + σ 1 x σ γ x p. 18/39

35 Polinomio locatore degli errori Polinomio locatore degli errori: σ(x) con radici β1 1,...,β 1 γ σ(x) = (1 + β 1 x)...(1 + β γ x) = 1 + σ 1 x σ γ x Vogliamo determinare σ 1,...,σ γ p. 18/39

36 Polinomio locatore degli errori Polinomio locatore degli errori: σ(x) con radici β1 1,...,β 1 γ σ(x) = (1 + β 1 x)...(1 + β γ x) = 1 + σ 1 x σ γ x Vogliamo determinare σ 1,...,σ γ Possiamo farlo a partire da s 1,...,s 2t p. 18/39

37 Poiché σ(β 1 l ) = 0, l = 1,...,γ p. 19/39

38 Poiché σ(β 1 l ) = 0, l = 1,...,γ per ogni j 2t abbiamo 0 = = = γ l=1 γ l=1 γ l=1 E l β j+γ l σ(β 1 l ) E l β j+γ l (1 + σ 1 β 1 l E l β j+γ l + σ 1 γ l= σ γ β γ l ) E l β j+γ 1 l = s j+γ + σ 1 s j+γ σ γ s j σ γ γ l=1 E l β j l p. 19/39

39 Cioé s γ+j = σ 1 s j+γ σ γ s j, per ogni j p. 20/39

40 Cioé s γ+j = σ 1 s j+γ σ γ s j, per ogni j s γ+1 = σ 1 s γ σ γ s 1 s γ+2 = σ 1 s γ σ γ s s 2γ = σ 1 s 2γ σ γ s γ p. 20/39

41 Cioé s γ+j = σ 1 s j+γ σ γ s j, per ogni j s γ+1 = σ 1 s γ σ γ s 1 s γ+2 = σ 1 s γ σ γ s s 2γ = σ 1 s 2γ σ γ s γ Vogliamo determinare σ 1,...,σ γ p. 20/39

42 In forma matriciale s 1... s γ s 2... s γ s γ... s 2γ 1 σ γ σ γ 1... σ 1 = s γ+1 s γ+2... s 2γ p. 21/39

43 In forma matriciale s 1... s γ s 2... s γ s γ... s 2γ 1 σ γ σ γ 1... σ 1 = s γ+1 s γ+2... s 2γ Teorema Se vi sono γ errori la matrice é invertibile; se vi sono < γ errori la matrice ha determinante nullo. p. 21/39

44 Metodo (Peterson-Gorenstein Ziegler) (1) Input: R(x) (2) Calcola s 1,...,s 2t (3) Poni γ = t s 1... s γ (4) WHILE Det = 0 poni γ = γ 1 s γ... s 2γ 1 (5) σ γ σ γ 1... σ 1 = s 1... s γ s γ... s 2γ 1 1 s γ+1 s γ+2... s 2γ p. 22/39

45 Metodo (Peterson-Gorenstein Ziegler) (1) Input: R(x) (2) Calcola s 1,...,s 2t (3) Poni γ = t s 1... s γ (4) WHILE Det = 0 poni γ = γ 1 s γ... s 2γ 1 (5) σ γ σ γ 1... σ 1 = s 1... s γ s γ... s 2γ 1 1 s γ+1 s γ+2... s 2γ NOTA: Esistono metodi successivi piú efficienti p. 22/39

46 Calcola Sindrome relativa a R(x) p. 23/39

47 Calcola Sindrome relativa a R(x) Calcola polinomio locatore errori σ(x) Esistono algoritmi efficienti per trovare polinomio (di grado minimo parola codice piú vicina ad R(x)) σ(x) = (1 + β 1 x)...(1 + β γ x) = 1 + σ 1 x σ γ x γ p. 23/39

48 Calcola Sindrome relativa a R(x) Calcola polinomio locatore errori σ(x) Esistono algoritmi efficienti per trovare polinomio (di grado minimo parola codice piú vicina ad R(x)) σ(x) = (1 + β 1 x)...(1 + β γ x) = 1 + σ 1 x σ γ x γ Determina le posizioni degli errori Valuta σ(x) in 1,α,α 2,... per trovare radici βi 1 = α j i errore in posizione β i = α n j i β 1 i p. 23/39

49 Calcola Sindrome relativa a R(x) Calcola polinomio locatore errori σ(x) Esistono algoritmi efficienti per trovare polinomio (di grado minimo parola codice piú vicina ad R(x)) σ(x) = (1 + β 1 x)...(1 + β γ x) = 1 + σ 1 x σ γ x γ Determina le posizioni degli errori Valuta σ(x) in 1,α,α 2,... per trovare radici βi 1 = α j i errore in posizione β i = α n j i β 1 i Determina il valore degli errori p. 23/39

50 Polinomio valutatore degli errori Polinomio valutatore degli errori ω(x) = S(x)σ(x) mod x 2t p. 24/39

51 Polinomio valutatore degli errori Polinomio valutatore degli errori ω(x) = S(x)σ(x) mod x 2t Lemma Per ogni l = 1,...,γ E l = ω(β 1 l ) β l i l (1 + β iβ 1 l ) p. 24/39

52 DIM. S(x) = = = 2t i=1 n 1 j=0 n 1 j=0 s i x i 1 = 2t e j α j i=1 2t i=1 n 1 x i 1 j=0 α (i 1)j x i 1 e j α j 1 (αj x) 2t 1 α j x e j α ij p. 25/39

53 DIM. S(x) = = = 2t i=1 n 1 j=0 n 1 j=0 s i x i 1 = 2t e j α j i=1 2t i=1 n 1 x i 1 j=0 α (i 1)j x i 1 e j α j 1 (αj x) 2t 1 α j x e j α ij S(x) mod x 2t = n 1 j=0 e j α j 1 α j x = γ j=1 E j β j 1 β j x p. 25/39

54 γ ω(x) = S(x)σ(x) mod x 2t = γ = E j β j (1 + β i x) j=1 i j j=1 E j β j 1 β j x (1 + β i x) i p. 26/39

55 ω(x) = S(x)σ(x) mod x 2t = = γ E j β j (1 + β i x) j=1 i j ω(β 1 l ) = E l β l i l (1 + β iβ 1 l ) γ j=1 E j β j 1 β j x (1 + β i x) i p. 26/39

56 ω(β 1 l E l = ω(x) = S(x)σ(x) mod x 2t = = γ E j β j (1 + β i x) j=1 i j ) = E l β l i l (1 + β iβ 1 ω(β 1 l ) β l Q i l (1+β iβ 1 l ) l ) γ j=1 E j β j 1 β j x (1 + β i x) i p. 26/39

57 Algoritmo di Euclide Servirá per calcolare i polinomi σ(x) ed ω(x) Siano a(x) e b(x) polinomi su campo F, con deg(a) deg(b) Algoritmo di Euclide trove massimo comun divisore (mcd) d(x) di a(x) e b(x) e produce equazione s(x)a(x) + t(x)b(x) = d(x) p. 27/39

58 Algoritmo iterativo che produce sequenza polinomi: s i,t i,r i,q i con s 1 (x) = 1 t 1 (x) = 0 r 1 (x) = a(x) s 0 (x) = 0 t 0 (x) = 1 r 0 (x) = b(x) p. 28/39

59 Algoritmo iterativo che produce sequenza polinomi: s i,t i,r i,q i con s 1 (x) = 1 t 1 (x) = 0 r 1 (x) = a(x) s 0 (x) = 0 t 0 (x) = 1 r 0 (x) = b(x) Per i 1, q i (x) e r i (x) rappresentano quoziente e resto della divisione di r i 2 (x) per r i 1 (x): r i 2 (x) = q i (x)r i 1 (x) + r i (x) deg(r i ) < deg(r i 1 ) Inoltre s i (x) = s i 2 (x) q i (x)s i 1 (x) t i (x) = t i 2 (x) q i (x)t i 1 (x) p. 28/39

60 Resti grado decrescente esiste ultimo resto di grado > 0, sia r n (x). Si dimostra che r n (x) = d(x) = mcd(a,b) s n (x)a(x) + t n (x)b(x) = r n (x) p. 29/39

61 A. t i r i 1 t i 1 r i = ( 1) i a i = 0,...,n + 1 B. s i r i 1 s i 1 r i = ( 1) i b i = 0,...,n + 1 C. s i t i 1 s i 1 t i = ( 1) i+1 i = 0,...,n + 1 D. s i a t i b = r i i = 1,...,n + 1 E. deg(s i ) + deg(r i 1 ) = deg(b) i = 1,...,n + 1 F. deg(t i ) + deg(r i 1 ) = deg(a) i = 0,...,n + 1 p. 30/39

62 Lemma Dati interi non negativi µ e ν con ν > deg(mcd(a,b)) e µ + ν = deg(a) 1, esiste unico j t.c. deg(t j ) µ deg(r j ) ν DIM. Sia j t.c. deg(r j 1 ) ν + 1, deg(r j ) ν Dalla proprietá F (deg(t i ) + deg(r i 1 ) = deg(a)) si ha deg(t j ) µ deg(t j+1 ) µ + 1 Quindi l indice j esiste ed é unico. p. 31/39

63 Teorema. Siano t(x) e r(x) due polinomi t.c. t(x)b(x) r(x) mod a(x) (1) deg(t) + deg(r) < deg(a) (2) Esistono unico indice j, 0 j n, e polinomio λ(x) t.c. t(x) = λ(x)t j (x), r(x) = λ(x)r j (x) (3) p. 32/39

64 Computo di σ(x) e ω(x) TEOREMA. Sia il numero di errori t. Si applichi l algoritmo di Euclide a a(x) = x 2t e b(x) = S(x) e sia j il primo indice t.c. deg(r j ) < t, allora σ(x) = t j (x), ω(x) = r j (x) p. 33/39

65 Computo di σ(x) e ω(x) TEOREMA. Sia il numero di errori t. Si applichi l algoritmo di Euclide a a(x) = x 2t e b(x) = S(x) e sia j il primo indice t.c. deg(r j ) < t, allora σ(x) = t j (x), ω(x) = r j (x) DIM. Se numero di errori é t, allora deg(σ) t deg(ω) < t, σ(x)s(x) ω(x) mod x 2t Teorema su A.E: Siano t(x) e r(x) due polinomi t.c. t(x)b(x) r(x) mod a(x) deg(t) + deg(r) < deg(a) Esistono unico indice j, 0 j n, e polinomio λ(x) t.c. t(x) = λ(x)t j (x), r(x) = λ(x)r j (x) p. 33/39

66 TEOREMA. Sia il numero di errori t. Si applichi l algoritmo di Euclide a a(x) = x 2t e b(x) = S(x) e sia j il primo indice t.c. deg(r j ) < t, allora σ(x) = t j (x), ω(x) = r j (x) Se numero di errori é t, allora deg(σ) t deg(ω) < t, σ(x)s(x) ω(x) mod x 2t Teorema su A.E: σ(x) = λ(x)t j (x) e ω(x) = λ(x)r j (x) p. 34/39

67 TEOREMA. Sia il numero di errori t. Si applichi l algoritmo di Euclide a a(x) = x 2t e b(x) = S(x) e sia j il primo indice t.c. deg(r j ) < t, allora σ(x) = t j (x), ω(x) = r j (x) Se numero di errori é t, allora deg(σ) t deg(ω) < t, σ(x)s(x) ω(x) mod x 2t Teorema su A.E: σ(x) = λ(x)t j (x) e ω(x) = λ(x)r j (x) Notando che σ(x) e ω(x) non hanno fattori comuni, si ottiene σ(x) = t j (x), ω(x) = r j (x) p. 34/39

68 ALGORITMO DI DECODIFICA Input: vettore ricevuto R 1. Calcola le sindromi 2. Applica A.E. a x 2t e S(x), stop quando deg(r j ) < t Poni σ(x) = t j (x) e ω(x) = r j (x) = x Trova le radici di σ radice errore in posizione β i β 1 i 4. Determina il vettore errore E= (E 0,...,E n 1 ): E l = β l Q ω(β 1 l ) i l (1+β iβ 1 l E l = 0 altrimenti. 5. Output R+E ) se c e errore p. 35/39

69 Esempio Consideriamo il codice RS(7, 2) su F 8. Sia il vettore ricevuto R = (α 3,α, 1,α 2, 0,α 3, 1). Le sindromi sono S 1 = α 3, S 2 = α 4, S 3 = α 4, S 4 = 0. Eseguiamo l algoritmo di Euclide su x 2t = x 4 e S(x) = α 4 x 2 + α 4 x + α 3 fermandoci quando deg(r j ) < t = 2. i t i r i q i 1 0 x α 4 x 2 + α 4 x + α 3 1 α 3 x 2 + α 3 x + α 5 x + 1 α 3 x 2 + α 3 x + α 5 Quindi σ(x) = t 1 (x) = α 3 x 2 + α 3 x + α 5 ω(x) = r 1 (x) = x + 1 Si ricorda r i 2 (x) = q i (x)r i 1 (x) + r i (x) deg(r i ) < deg(r i 1 ) t i (x) = t i 2 (x) q i (x)t i 1 (x) p. 36/39