Introduzione allo Scilab Parte 5: funzioni su matrici; intervalli, grafici.

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1 Introduzione allo Scilab Parte 5: funzioni su matrici; intervalli, grafici. Felice Iavernaro Dipartimento di Matematica Università di Bari iavernaro 26 Giugno 2007 Felice Iavernaro (Univ. Bari) Scilab: Funzioni, vettori. 26/06/ / 1

2 La funzione size size. L istruzione size(a) applicata alla matrice A di dimensioni m n restituisce il vettore riga di due elementi [m, n] contenente il numero m di righe e il numero n di colonne della matrice A. In Scilab: -->A=[1 2 3;4 5 6]; -->[m,n]=size(a) n = 3. m = 2. Felice Iavernaro (Univ. Bari) Scilab: Funzioni, vettori. 26/06/ / 1

3 Esercizi (1/2) ESERCIZIO: Scrivere una function Scilab che ha in input una matrice A ed in output il suo massimo elemento e gli indici (di riga e colonna) corrispondenti. Confrontare il risultato con quello ottenuto mediante la function predefinita max. ESERCIZIO : Scrivere una function Scilab che ha in input una matrice A ed in output il suo minimo elemento e gli indici (di riga e colonna) corrispondenti. Confrontare il risultato con quello ottenuto mediante la function predefinita min. ESERCIZIO : Scrivere una function Scilab che ha in input due vettori x ed y ed in output il loro prodotto scalare: x T y = n x i y i i=1 dove n è la lunghezza dei due vettori. Felice Iavernaro (Univ. Bari) Scilab: Funzioni, vettori. 26/06/ / 1

4 Esercizi (2/2) ESERCIZIO: Scrivere una function Scilab che ha in input una matrice A ed un vettore x ed in output il vettore y = Ax: n y(i) = A(i, j)x(j), j=1 i = 1,..., m essendo A di dimensioni m n ed x di lunghezza n. ESERCIZIO : Scrivere una function Scilab che ha in input due matrici A e B ed in output la matrice prodotto C = A B: C(i, j) = p A(i, k)b(k, j), i = 1,..., m, j = 1,..., n k=1 essendo A di dimensioni m p e B di dimensioni p n. Felice Iavernaro (Univ. Bari) Scilab: Funzioni, vettori. 26/06/ / 1

5 Algoritmo di Ruffini - Horner (1/4) Ruffini nel 1809 ideò un algoritmo efficiente per dividere un polinomio p(x) di grado n per un polinomio di primo grado della forma x + a con a costante arbitraria. Sappiamo che: dove p(x) = q(x) + r(x) x + a il quoziente q(x) avrà grado n 1; il resto r(x) avrà grado 0 cioè sara una costante che denoteremo con r: r(x) r. OSSERVAZIONE: Se r = 0, il polinomio p(x) è divisibile per x + a e ciò equivale a dire che p(x) si annulla per x = a: p( a) = 0, ovvero a è una radice di p(x); Se r 0, allora a non è radice di p(x). Felice Iavernaro (Univ. Bari) Scilab: Funzioni, vettori. 26/06/ / 1

6 Algoritmo di Ruffini - Horner (2/4): ESEMPIO Si voglia dividere p(x) = 2x 4 x 3 + 2x 1 per x 1. L algoritmo di Ruffini è descritto nella seguente tabella: Dividiamo ora p(x) per x + 1: quindi quindi q(x) = 2x 3 + x 2 + x + 3; r = 2. q(x) = 2x 3 3x 2 + 3x 1; r = 0. Felice Iavernaro (Univ. Bari) Scilab: Funzioni, vettori. 26/06/ / 1

7 Algoritmo di Ruffini - Horner (3/4) OSSERVAZIONE: Siccome un polinomio è individuato univocamente dai suoi coefficienti, possiamo pensare di rappresentarlo mediante un vettore i cui elementi siano i coefficienti del polinomio ordinati secondo le potenze decrescenti. Ad esempio, il polinomio p(x) = 2x 4 x 3 + 2x 1 verrà convenientemente rappresentato dal vettore p = [2, 1, 0, 2, 1] (si osservi che la lunghezza del vettore è pari al grado del polinomio più uno). Vogliamo scrivere una function Scilab che implementi l algoritmo di Ruffini, cioè che effettui la divisione tra un generico polinomio p(x) ed un polinomio di primo grado della forma x + a. La function dovrà avere: in input: il vettore p che rappresenta il polinomio dividendo; lo scalare a che rappresenta il polinomio divisore x + a. in output: il vettore q che rappresenta il polinomio quoziente; lo scalare r che rappresenta il resto della divisione. Felice Iavernaro (Univ. Bari) Scilab: Funzioni, vettori. 26/06/ / 1

8 Algoritmo di Ruffini - Horner (4/4) Si voglia dividere p(x) = 2x 4 x 3 + 2x 1 per x 2, quindi a = q(1) = p(1) q(2) = a q(1) + p(2) q(3) = a q(2) + p(3) q(4) = a q(3) + p(4) r = a q(4) + p(5) Da questo esempio si ricava facilmente l algoritmo per un generico polinomio p(x) di grado n. Felice Iavernaro (Univ. Bari) Scilab: Funzioni, vettori. 26/06/ / 1

9 L operatore : (1/3) L operatore : è uno dei più importanti di Scilab. Analizziamo alcuni dei suoi molteplici usi. Se n1 N ed n2 N, con n1 < n2, mediante l espressione n1 : n2 si ottiene un vettore riga che contiene tutti i numeri interi compresi tra n1 e n2. ESEMPI in Scilab: -->1: >2: >10:1 [] Felice Iavernaro (Univ. Bari) Scilab: Funzioni, vettori. 26/06/ / 1

10 L operatore : (2/3) Più in generale vale la seguente regola. Se a R, b R e h R, l istruzione a : h : b restituisce un vettore riga i cui elementi sono a, a + h, a + 2h,..., a + mh dove m è un numero intero tale che a + mh b ea + (m + 1)h > b. Questo significa che gli elementi del vettore di output vanno da a a b con incremento h, arrestandosi al numero che non supera b. L incremento h può essere un numero reale positivo o negativo. Felice Iavernaro (Univ. Bari) Scilab: Funzioni, vettori. 26/06/ / 1

11 L operatore : (3/3) ESEMPI in Scilab -->10:2: >10:3: >100:-5: >0:.1:%pi/ Felice Iavernaro (Univ. Bari) Scilab: Funzioni, vettori. 26/06/ / 1

12 La funzione linspace Permette di ottenere lo stesso risultato raggiunto con l operatore :, prefissando però il numero di punti anziché il passo. La funzione linspace serve per costruire un vettore di punti equidistanti: mediante linspace(x1, x2) si ottiene un vettore riga di 100 punti equidistanti compresi tra x1 e x2, mentre con linspace(x1, x2, n) si ottiene un vettore riga di n elementi equidistanti compresi tra x1 e x2. Esempio -->linspace(0,1,11) >linspace(0,%pi,8) Felice Iavernaro (Univ. Bari) Scilab: Funzioni, vettori. 26/06/ / 1

13 Le operazioni.,./ e. Anziché effettuare la moltiplicazione nel senso righe per colonne tra due matrici (o vettori), l operazione. effettua la moltiplicazione elemento per elemento restituendo una matrice i cui elementi sono il prodotto degli elementi omonimi dei due fattori. Ad esempio, considerati x = [x 1, x 2, x 3 ] ed y = [y 1, y 2, y 3 ], avremo: x. y = [x 1 y 1, x 2 y 2, x 3 y 3 ] Analogamente, avremo: x./y = [x 1 /y 1, x 2 /y 2, x 3 /y 3 ] e x. y = [x y 1 1, x y 2 2, x y 3 3 ] Felice Iavernaro (Univ. Bari) Scilab: Funzioni, vettori. 26/06/ / 1

14 ESEMPIO in Scilab -->A=[1 2 3;4 5 6] A = >B=[-2 4 2; ] B = >A.*B >A./B Felice Iavernaro (Univ. Bari) Scilab: Funzioni, vettori. 26/06/ / 1

15 Tabulare una funzione (1/2) Consideriamo una funzione reale di variabile reale y = f (x). Sia x = [x 1, x 2,..., x n ] un vettore di elementi appartenenti al dominio di f. Vogliamo costruire il vettore delle valutazioni di f, cioè Definiamo in Scilab il vettore y = [f (x 1 ), f (x 2 ),..., f (x n )]. -->x=linspace(0,%pi,5) x = e corrispondentemente valutiamo le seguenti funzioni. y = sin(x): -->y=sin(x) y = D-16 Felice Iavernaro (Univ. Bari) Scilab: Funzioni, vettori. 26/06/ / 1

16 Tabulare una funzione (2/2) y = sin(x) cos(x): -->y2=sin(x).*cos(x) y2 = D D-16 y = x 2 e x : -->y=(x.^2).*exp(-x) y = y = x cos(x) : -->y=x./cos(x) y = D Felice Iavernaro (Univ. Bari) Scilab: Funzioni, vettori. 26/06/ / 1

17 Grafico di una funzione: esempio Scilab (1/2) Si voglia rappresentare il grafico della funzione y = sin(x)e x nell intervallo [0, 2π]. Le righe di codice: -->x=linspace(0,2*%pi,100); -->y=sin(x).*exp(-x); -->plot(x,y) producono il grafico Felice Iavernaro (Univ. Bari) Scilab: Funzioni, vettori. 26/06/ / 1

18 Grafico di una funzione: esempio Scilab (2/2) Si vogliano rappresentare sugli stessi assi i grafici delle funzioni y = sin(x)e x, y = sin(3x)e x, y = sin(5x)e x. Le righe di codice: -->x=linspace(0,2*%pi,100); -->y=sin(x).*exp(-x); -->y1=sin(3*x).*exp(-x); -->y2=sin(5*x).*exp(-x); -->plot(x,y,x,y1,x,y2) -->legend( y=sin(x)*exp(-x), y=sin(3*x)*exp(-x), y=sin(5*x)*exp(-x) ) producono il grafico Felice Iavernaro (Univ. Bari) Scilab: Funzioni, vettori. 26/06/ / 1