Insiemi Numerici. Docente: Francesca Benanti. 16 Febbraio I Naturali:... Proprietà dei... Divisibilità in Z M.C.D. Algoritmo euclideo. m.c.m.

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1 Insiemi Numerici Docente: Francesca Benanti 16 Febbraio 2007 Page 1 of 59

2 1. I Numeri Naturali: definizione assiomatica Sin dall antichità è stata data una sistemazione rigorosa alla geometria. Euclide (300 a.c.), nella sua opera gli Elementi, enuncia alcuni assiomi e da essi ricava le proprietà del piano e dello spazio come teoremi. Page 2 of 59

3 1. I Numeri Naturali: definizione assiomatica Sin dall antichità è stata data una sistemazione rigorosa alla geometria. Euclide (300 a.c.), nella sua opera gli Elementi, enuncia alcuni assiomi e da essi ricava le proprietà del piano e dello spazio come teoremi. Non altrettanto è avvenuto per l algebra e l aritmetica. Si deve attendere fino al XIX secolo per avere una sistemazione assiomatica della teoria dei numeri. Page 2 of 59

4 1. I Numeri Naturali: definizione assiomatica Sin dall antichità è stata data una sistemazione rigorosa alla geometria. Euclide (300 a.c.), nella sua opera gli Elementi, enuncia alcuni assiomi e da essi ricava le proprietà del piano e dello spazio come teoremi. Non altrettanto è avvenuto per l algebra e l aritmetica. Si deve attendere fino al XIX secolo per avere una sistemazione assiomatica della teoria dei numeri. Poichè gli insiemi numerici più ampi, via via storicamente introdotti per esigenze operative, possono essere costruiti a partire dall insieme più elementare dei naturali, è proprio quest ultimo ad essere definito assiomaticamente. Page 2 of 59

5 1. I Numeri Naturali: definizione assiomatica Sin dall antichità è stata data una sistemazione rigorosa alla geometria. Euclide (300 a.c.), nella sua opera gli Elementi, enuncia alcuni assiomi e da essi ricava le proprietà del piano e dello spazio come teoremi. Non altrettanto è avvenuto per l algebra e l aritmetica. Si deve attendere fino al XIX secolo per avere una sistemazione assiomatica della teoria dei numeri. Poichè gli insiemi numerici più ampi, via via storicamente introdotti per esigenze operative, possono essere costruiti a partire dall insieme più elementare dei naturali, è proprio quest ultimo ad essere definito assiomaticamente....dio creò i numeri naturali; tutto il resto è opera dell uomo... Con queste parole L. Kronecker ( ) indicava il terreno sicuro per la costruzione dell intero edificio della matematica. Page 2 of 59

6 1. I Numeri Naturali: definizione assiomatica Sin dall antichità è stata data una sistemazione rigorosa alla geometria. Euclide (300 a.c.), nella sua opera gli Elementi, enuncia alcuni assiomi e da essi ricava le proprietà del piano e dello spazio come teoremi. Non altrettanto è avvenuto per l algebra e l aritmetica. Si deve attendere fino al XIX secolo per avere una sistemazione assiomatica della teoria dei numeri. Poichè gli insiemi numerici più ampi, via via storicamente introdotti per esigenze operative, possono essere costruiti a partire dall insieme più elementare dei naturali, è proprio quest ultimo ad essere definito assiomaticamente....dio creò i numeri naturali; tutto il resto è opera dell uomo... Con queste parole L. Kronecker ( ) indicava il terreno sicuro per la costruzione dell intero edificio della matematica. Si dà, dunque, una struttura assiomatica all aritmetica, la teoria matematica dei numeri naturali, e a partire da questa si ricavano le caratteristiche degli altri ambienti numerici. Page 2 of 59

7 La definizione dei numeri naturali e gli assiomi che caratterizzano le operazioni definite in N rappresentano, quindi, il fondamento deduttivo per tutte le strutture numeriche via via costruite con successivi ampliamenti. Page 3 of 59

8 La definizione dei numeri naturali e gli assiomi che caratterizzano le operazioni definite in N rappresentano, quindi, il fondamento deduttivo per tutte le strutture numeriche via via costruite con successivi ampliamenti. La riconduzione degli insiemi numerici all aritmetica fu avviata dal matematico tedesco F.L.G.Frege ( ) nei suoi testi I fondamenti dell aritmetica e I principi dell aritmetica, apparsi negli ultimi anni del XIX secolo. Page 3 of 59

9 La definizione dei numeri naturali e gli assiomi che caratterizzano le operazioni definite in N rappresentano, quindi, il fondamento deduttivo per tutte le strutture numeriche via via costruite con successivi ampliamenti. La caratterizzazione assiomatica di N si deve, invece, al matematico italiano G. Peano ( ) che ne diede una prima formulazione nella sua opera Arithmetices principia, nova methodo expositia (1889). La riconduzione degli insiemi numerici all aritmetica fu avviata dal matematico tedesco F.L.G.Frege ( ) nei suoi testi I fondamenti dell aritmetica e I principi dell aritmetica, apparsi negli ultimi anni del XIX secolo. Un analoga formulazione fu data negli stessi anni da J.W.R. Dedekind ( ). Page 3 of 59

10 È possibile definire i numeri naturali attraverso tre enti primitivi e cinque assiomi, noti come Assiomi di Peano. Page 4 of 59

11 È possibile definire i numeri naturali attraverso tre enti primitivi e cinque assiomi, noti come Assiomi di Peano. Enti Primitivi: N = l insieme dei numeri naturali; 0; n+1=successivo di n. Page 4 of 59

12 Assiomi di Peano: 0 è un numero naturale: 0 N Se n è un numero naturale allora lo è anche il successivo n+1: n N n + 1 N Due numeri naturali diversi hanno successivi diversi: n + 1 = m + 1 n = m Ogni numero naturale, eccetto lo zero, è il successivo di un numero naturale: n N n Assioma del buon ordinamento. Ogni sottoinsieme non vuoto T di N ha un elemento minimo: t T t x, x T Page 5 of 59

13 2. Proprietà dei numeri naturali N è un insieme infinito. Page 6 of 59

14 2. Proprietà dei numeri naturali N è un insieme infinito. Definizione: Un insieme è infinito se può essere messo in corrispondenza biunivoca con un suo sottoinsieme proprio. Page 6 of 59

15 2. Proprietà dei numeri naturali N è un insieme infinito. Definizione: Un insieme è infinito se può essere messo in corrispondenza biunivoca con un suo sottoinsieme proprio. Sia K l insieme dei quadrati perfetti K = {0, 1, 4, 9, 16,...} = {n 2 n N} Consideriamo l applicazione definita da f : N K f(n) = n 2, n N f è un applicazione biunivoca (esercizio). Dunque N è infinito. Page 6 of 59

16 N è un insieme numerabile. Page 7 of 59

17 N è un insieme numerabile. Si definisce cardinalità del numerabile proprio la cardinalità caratteristica di N e si denota con ℵ (si legge alef-zero). Page 7 of 59

18 N è un insieme numerabile. Si definisce cardinalità del numerabile proprio la cardinalità caratteristica di N e si denota con ℵ (si legge alef-zero). N è un insieme totalmente ordinato. Page 7 of 59

19 N è un insieme numerabile. Si definisce cardinalità del numerabile proprio la cardinalità caratteristica di N e si denota con ℵ (si legge alef-zero). N è un insieme totalmente ordinato. Consideriamo in N la seguente relazione: nrm n m, n, m N R soddisfa le proprietà riflessiva, antisimmetrica e transitiva (esercizio). Dunque R è una relazione d ordine. Inoltre n, m N si ha che o n m oppure m n. Allora R è una relazione d ordine totale e N è un insieme totalmente ordinato. Page 7 of 59

20 N è un insieme numerabile. Si definisce cardinalità del numerabile proprio la cardinalità caratteristica di N e si denota con ℵ (si legge alef-zero). N è un insieme totalmente ordinato. Consideriamo in N la seguente relazione: nrm n m, n, m N R soddisfa le proprietà riflessiva, antisimmetrica e transitiva (esercizio). Dunque R è una relazione d ordine. Inoltre n, m N si ha che o n m oppure m n. Allora R è una relazione d ordine totale e N è un insieme totalmente ordinato. N è un insieme discreto. Page 7 of 59

21 N è un insieme numerabile. Si definisce cardinalità del numerabile proprio la cardinalità caratteristica di N e si denota con ℵ (si legge alef-zero). N è un insieme totalmente ordinato. Consideriamo in N la seguente relazione: nrm n m, n, m N R soddisfa le proprietà riflessiva, antisimmetrica e transitiva (esercizio). Dunque R è una relazione d ordine. Inoltre n, m N si ha che o n m oppure m n. Allora R è una relazione d ordine totale e N è un insieme totalmente ordinato. N è un insieme discreto. È sempre possibile stabilire qual è il successivo di un qualsiasi elemento. Page 7 of 59

22 3. Proposizione: Siano a, b N, b 0. Allora esistono, e sono unici, due numeri naturali q, r tali che a = bq + r, 0 r < b Page 8 of 59

23 3. Proposizione: Siano a, b N, b 0. Allora esistono, e sono unici, due numeri naturali q, r tali che q è detto quoziente; r è detto resto. a = bq + r, 0 r < b Page 8 of 59

24 3. Proposizione: Siano a, b N, b 0. Allora esistono, e sono unici, due numeri naturali q, r tali che q è detto quoziente; r è detto resto. a = bq + r, 0 r < b Page 8 of 59

25 dimostrazione: (Esistenza) 1 Caso: a < b. Basta prendere q = 0, r = a e si ottiene la tesi. 2 Caso: a b. Consideriamo l insieme S = {a bn a bn 0, n N}. S, infatti 0 a b = a b1 S. Allora, per l Assioma del buon ordinamento, S ha un elemento minimo. Sia esso r. Dunque r = a bq 0, per un opportuno q N. Abbiamo così provato che a = bq + r, con r 0. Ci rimane da verificare che r < b. Ragioniamo per assurdo e supponimo che r b. Allora 0 r b = a bq b = a b(q + 1) S e r b < r. Assurdo! Page 9 of 59

26 (Unicità) Siano q, r e q, r due coppie di numeri naturali tali che e Se r r, allora a = bq + r, a = bq + r, 0 r < b 0 r < b 0 r r = (a bq ) (a bq) = bq bq = b(q q ) Dunque b(q q ) = r r r < b e questo è possibile solamente se q q = 0 ossia q = q. Allora r = a bq = a bq = r Dunque la tesi. Page 10 of 59

27 Definizione: Dati due numeri naturali a e b, si dice che b divide a (a multiplo di b, b divisore di a) e si scrive b a se esiste c N tale che a = bc, ossia il resto della divisione di a per b è zero. Page 11 of 59

28 Definizione: Dati due numeri naturali a e b, si dice che b divide a (a multiplo di b, b divisore di a) e si scrive b a se esiste c N tale che a = bc, ossia il resto della divisione di a per b è zero. Definizione: Un numero naturale p diverso da 1 è detto primo se i suoi divisori sono soltanto 1 e p. Page 11 of 59

29 Definizione: Dati due numeri naturali a e b, si dice che b divide a (a multiplo di b, b divisore di a) e si scrive b a se esiste c N tale che a = bc, ossia il resto della divisione di a per b è zero. Definizione: Un numero naturale p diverso da 1 è detto primo se i suoi divisori sono soltanto 1 e p. L importanza della classe dei numeri primi consiste nel fatto che ogni numero naturale maggiore di 1 può essere espresso come prodotto di primi. Questa affermazione, a prima vista così ovvia, non è affatto banale. La dimostrazione classica, dovuta ad Euclide, è nota come Teorema Fondamentale dell Aritmetica. Page 11 of 59

30 Teorema Fondamentale dell Aritmetica: Ogni naturale n > 1 si può scrivere come prodotto di primi n = p 1 p 2 p k, con p i primo i = 1,... k. E tale fattorizzazione è unica a meno dell ordine dei fattori, ossia se esistono due fattorizzazioni n = p 1 p 2 p k = q 1 q 2 q h, con p i e q j primi, allora k = h e riordinando opportunamente i fattori si ha: p 1 = q 1, p 2 = q 2,... p k = q k. Page 12 of 59

31 Sempre ad Euclide è dovuta la dimostrazione dell infinità dei numeri primi. Page 13 of 59

32 Sempre ad Euclide è dovuta la dimostrazione dell infinità dei numeri primi. La fama di Euclide (300 a.c.) è fondata su quella parte degli Elementi che costituisce la base della geometria. Mentre, però, la sua geometria è in gran parte una compilazione di risultati precedenti, egli ha dato grandi contributi alla teoria dei numeri. Page 13 of 59

33 Sempre ad Euclide è dovuta la dimostrazione dell infinità dei numeri primi. La fama di Euclide (300 a.c.) è fondata su quella parte degli Elementi che costituisce la base della geometria. Mentre, però, la sua geometria è in gran parte una compilazione di risultati precedenti, egli ha dato grandi contributi alla teoria dei numeri. Euclide era molto incline a sfruttare un arma logica conosciuta come: la reductio ad absurdum o dimostrazione per assurdo. Page 13 of 59

34 Sempre ad Euclide è dovuta la dimostrazione dell infinità dei numeri primi. La fama di Euclide (300 a.c.) è fondata su quella parte degli Elementi che costituisce la base della geometria. Mentre, però, la sua geometria è in gran parte una compilazione di risultati precedenti, egli ha dato grandi contributi alla teoria dei numeri. Euclide era molto incline a sfruttare un arma logica conosciuta come: la reductio ad absurdum o dimostrazione per assurdo.... la reductio ad absurdum, tanto amata da Euclide, è una delle più belle armi di un matematico. È un gambetto molto più raffinato di qualsiasi gambetto degli scacchi: un giocatore di scacchi può offrire in sacrificioun pedone o anche qualche atro pezzo, ma il matematico offre la partita... (G.H.Hardy, Apologia di un Matematico (1940)) Page 13 of 59

35 Teorema di Euclide: Esistono infiniti numeri primi. Page 14 of 59

36 Teorema di Euclide: Esistono infiniti numeri primi. dimostrazione: Ragioniamo per assurdo e supponiamo che i numeri primi siano in numero finito k. Sia S l insieme di tutti i numeri primi. Per l assunzione fatta S è finito S = {p 1, p 2,..., p k } Consideriamo il numero naturale n = p 1 p 2 p k + 1 > 1 Per il teorema fondamentale dell aritmetica n si fattorizza nel prodotto di primi dove p ij p 1 p 2 p k + 1 = n = p i1 p i2 p is, S. Dunque inoltre dunque ASSURDO! p ij n = p 1 p 2 p k + 1 p ij p 1 p 2 p k p ij n p 1 p 2 p k = 1 Page 14 of 59

37 4. Massimo Comun Divisore Definizione: Dati due numeri naturali a, b N si definisce il massimo comun divisore di a e b, e si denota (a, b), il numero naturale d che soddisfa le seguenti proprietà: d è un divisore comune di a e di b: d a e d b Ogni altro divisore d 0 comune di a e di b è divisore di d: d 0 a, d 0 b d 0 d. Page 15 of 59

38 4. Massimo Comun Divisore Definizione: Dati due numeri naturali a, b N si definisce il massimo comun divisore di a e b, e si denota (a, b), il numero naturale d che soddisfa le seguenti proprietà: d è un divisore comune di a e di b: d a e d b Ogni altro divisore d 0 comune di a e di b è divisore di d: d 0 a, d 0 b d 0 d. Esempi: 1. (8, 6) = (0, 0) = (a, 0) = a, con a 0. Page 15 of 59

39 Osservazione: Ha senso dire il massimo comun divisore. Se d e d sono due naturali che soddisfano le proprietà della definizione allora d = d. Infatti, considerando d massimo comun divisore si ha d d. Analogamente, considerando d massimo comun divisore, si ha d d. Dunque ricordando che la divisibilità nei naturali è una relazione antisimmetrica si ha necessariamente d = d. Page 16 of 59

40 Osservazione: Ha senso dire il massimo comun divisore. Se d e d sono due naturali che soddisfano le proprietà della definizione allora d = d. Infatti, considerando d massimo comun divisore si ha d d. Analogamente, considerando d massimo comun divisore, si ha d d. Dunque ricordando che la divisibilità nei naturali è una relazione antisimmetrica si ha necessariamente d = d. Teorema: Dati due numeri naturali esiste sempre il loro massimo comun divisore. Page 16 of 59

41 Osservazione: Ha senso dire il massimo comun divisore. Se d e d sono due naturali che soddisfano le proprietà della definizione allora d = d. Infatti, considerando d massimo comun divisore si ha d d. Analogamente, considerando d massimo comun divisore, si ha d d. Dunque ricordando che la divisibilità nei naturali è una relazione antisimmetrica si ha necessariamente d = d. Teorema: Dati due numeri naturali esiste sempre il loro massimo comun divisore. Definizione: Due numeri naturali a e b si dicono coprimi o primi fra loro se (a, b) = 1. Page 16 of 59

42 Osservazione: Ha senso dire il massimo comun divisore. Se d e d sono due naturali che soddisfano le proprietà della definizione allora d = d. Infatti, considerando d massimo comun divisore si ha d d. Analogamente, considerando d massimo comun divisore, si ha d d. Dunque ricordando che la divisibilità nei naturali è una relazione antisimmetrica si ha necessariamente d = d. Teorema: Dati due numeri naturali esiste sempre il loro massimo comun divisore. Definizione: Due numeri naturali a e b si dicono coprimi o primi fra loro se (a, b) = 1. Esempi: 1. (8, 6) = 2 NO. 2. (8, 27) = 1 SI. Page 16 of 59

43 5. Algorimo Euclideo Problema: Determinare (a, b), con a, b N Page 17 of 59

44 5. Algorimo Euclideo Problema: Determinare (a, b), con a, b N Risposta: Algoritmo Euclideo Page 17 of 59

45 5. Algorimo Euclideo Problema: Determinare (a, b), con a, b N Risposta: Algoritmo Euclideo L Algoritmo si basa sul fatto che da ogni relazione della forma segue che a = bq + r (a, b) = (b, r) Infatti se u a e u b allora a = us e b = ut, con s, t N. Dunque r = a bq = us utq = u(s tq), ossia u r. Viceversa, se v b e v r allora b = vs e r = vt, con s, t N. Dunque a = bq + r = vs q + vt = v(s q + t ), ossia v a. Quindi ogni divisore comune di a e di b è un divisore comune di b e di r, e viceversa. Essendo, perciò, l insieme di tutti i divisori comuni di a e di b identico all insieme dei divisori comuni di b e di r, il massimo comun divisore di a e di b deve essere uguale al massimo comun divisore di b e di r. Page 17 of 59

46 Esempio: Determiniamo (1804, 328) =? Osserviamo che 1804 = allora (1804, 328) = (328, 164) Ma 328 = dunque (328, 164) = (164, 0) = 164 In conclusione (1804, 328) = (328, 164) = (164, 0) = 164 Page 18 of 59

47 Algoritmo Euclideo: Siano a, b N, con b 0. Si consideri la successione a = bq 1 + r 1, 0 r 1 < b b = r 1 q 2 + r 2, 0 r 2 < r 1 r 1 = r 2 q 3 + r 3, 0 r 3 < r 2. r n 2 = r n 1 q n + r n, r n 1 = r n q n+1 0 r n < r n 1 dove q i e r i sono rispettivamente i quozienti e i resti delle n + 1 divisioni scritte e ove la successione termina non appena si trovi r n+1 = 0. Allora La successione termina dopo un numero finito di passi; r n = (a, b). Page 19 of 59

48 Dimostrazione: La successione delle divisioni termina perchè b > r 1 > r 2 > r 3 > è una successione decrescente di naturali. Inoltre r n r n 1 e r n r n r n r n 2 = r n 1 q n + r n e risalendo la succcessione delle divisioni si ottiene r n r 2, r n r 1 r n b r n r 1, r n b r n a Dunque r n a e r n b, ossia r n è un divisore comune di a e di b. La prima condizione di massimo comun divisore è soddisfatta. Inoltre, se c è un divisore comune di a e di b, c a, c b c r 1 = a bq 1 e scendendo la successione delle divisioni si ha c r n 1, c r n 2 c r n = r n 2 r n 1 q n. La seconda condizione di massimo comun divisore è soddisfatta. In conclusione r n = (a, b) Page 20 of 59

49 Esempio: (72, 22) =? 72 = = = = Dunque (72, 22) = 2 Page 21 of 59

50 6. Minimo Comune Multiplo Definizione: Dati due numeri naturali a, b N si definisce il minimo comune multiplo di a e b, e si denota [a, b], il numero naturale m che soddisfa le seguenti proprietà: m è un multiplo comune di a e di b: a m e b m Ogni altro multiplo m 0 comune di a e di b è multiplo di m: a m 0, b m 0 m m 0. Page 22 of 59

51 6. Minimo Comune Multiplo Definizione: Dati due numeri naturali a, b N si definisce il minimo comune multiplo di a e b, e si denota [a, b], il numero naturale m che soddisfa le seguenti proprietà: m è un multiplo comune di a e di b: a m e b m Ogni altro multiplo m 0 comune di a e di b è multiplo di m: a m 0, b m 0 m m 0. Teorema: Dati a, b N. Allora [a, b] e (a, b)[a, b] = ab Page 22 of 59

52 6. Minimo Comune Multiplo Definizione: Dati due numeri naturali a, b N si definisce il minimo comune multiplo di a e b, e si denota [a, b], il numero naturale m che soddisfa le seguenti proprietà: m è un multiplo comune di a e di b: a m e b m Ogni altro multiplo m 0 comune di a e di b è multiplo di m: a m 0, b m 0 m m 0. Teorema: Dati a, b N. Allora [a, b] e Esempio: [72, 22] =? [72, 22] = (72, 22) (a, b)[a, b] = ab = = = 792 Page 22 of 59

53 7. Principio di Induzione L Assioma del Buon Ordinamento è equivalente al seguente principio noto come Principio di Induzione. Principio di Induzione: Sia P (n) un predicato con variabile n N. Se: La proposizione P (0) è vera; (Base dell Induzione) k N, se P (k) è vera allora P (k + 1) è vera; (Passo Induttivo) allora si ha che P (n) è vera n N. Page 23 of 59

54 Esempio: Sia q R, con q 1. Dimostriamo per induzione la seguente uguaglianza: dimostrazione: 1 + q + q q n = 1 qn+1 1 q Base dell induzione, P (0): q 0 = 1 1 q 1 1 q = 1 Dunque per n = 0 l uguaglianza è vera. Page 24 of 59

55 Passo induttivo: P (k) P (k + 1) Ipotesi: Tesi: dim: 1 + q + q q k = 1 qk+1 1 q 1 + q + q q k+1 = 1 qk+2 1 q 1 + q + q q k+1 = (1 + q + q q k ) + q k+1 = 1 q k+1 1 q + q k+1 = 1 qk+1 + q k+1 q k+2 1 q = 1 qk+2 1 q Page 25 of 59

56 Passo induttivo: P (k) P (k + 1) Ipotesi: Tesi: dim: 1 + q + q q k = 1 qk+1 1 q 1 + q + q q k+1 = 1 qk+2 1 q 1 + q + q q k+1 = (1 + q + q q k ) + q k+1 = 1 q k+1 1 q + q k+1 = 1 qk+1 + q k+1 q k+2 1 q Allora, per induzione l uguaglianza, è vera n N. = 1 qk+2 1 q Page 25 of 59

57 Esercizi: 1. Determinare, mediante l algoritmo euclideo, il massimo comun divisore delle seguenti coppie di numeri naturali: a) 630, 132; b) 61, 24; c) 72, Determinare per ciascuna delle coppie dell esercizio precedente il minimo comune multiplo. 3. Dimostrare, per induzione, che la somma dei primi n numeri naturali non nulli è n(n+1) 2, ossia: n = n(n + 1), n N 2 4. Dimostrare, per induzione, che la somma dei primi n numeri naturali dispari è n 2. Page 26 of 59

58 8. I Numeri Interi È ben noto che, mentre l equazione x 5 = 0 è risolubile in N, l equazione x + 3 = 0 non lo è. Allora si cerca di ampliare l insieme numerico in modo da includere tutte le soluzioni di equazioni del tipo x + n = 0, n N. Si giunge, quindi, all insieme dei numeri interi relativi. A partire dall insieme dei numeri naturali N definiamo l insieme degli interi relativi. Consideriamo il prodotto cartesiano N N = {(n, m) n, m N} e definiamo in esso la seguente relazione (n, m)ρ(n, m ) n + m = m + n, (n, m)(n, m ) N N. Page 27 of 59

59 ρ è una relazione di equivalenza: Riflessiva: (n, m) N N, n + m = m + n. Dunque (n, m)ρ(n, m). Page 28 of 59

60 ρ è una relazione di equivalenza: Riflessiva: (n, m) N N, n + m = m + n. Dunque (n, m)ρ(n, m). Simmetrica: (n, m), (n, m ) N N, se (n, m)ρ(n, m ) n + m = m + n n + m = m + n (n, m )ρ(n, m). Page 28 of 59

61 ρ è una relazione di equivalenza: Riflessiva: (n, m) N N, n + m = m + n. Dunque (n, m)ρ(n, m). Simmetrica: (n, m), (n, m ) N N, se (n, m)ρ(n, m ) n + m = m + n n + m = m + n (n, m )ρ(n, m). Transitiva: (n, m), (n, m ), (n, m ) N N, se (n, m)ρ(n, m ) (n, m )ρ(n, m ) n + m = m + n n + m = m + n n + m + n + m = m + n + m + n n + m = m + n (n, m)ρ(n, m ). Page 28 of 59

62 Consideriamo l insieme quoziente N N/ρ = {[(n, m)] n, m N} Page 29 of 59

63 Consideriamo l insieme quoziente N N/ρ = {[(n, m)] n, m N} Osservazione 1: [(n, m)] =? (n, m)ρ(n, m ) n + m = m + n n m = n m, n m m n = m n, n < m Esempi: (3, 0), (7, 4), (12, 9) [(3, 0)] (4, 8), (0, 4), (8, 12) [(0, 4)] (0, 0), (1, 1), (8, 8) [(0, 0)] Page 29 of 59

64 Osservazione 2: [(n, m)] = [(n m, 0)], [(n, m)] = [(0, m n)], n m m > n Page 30 of 59

65 Osservazione 2: Osservazione 3: [(n, m)] = [(n m, 0)], [(n, m)] = [(0, m n)], n m m > n [(n, 0)] = [(n, 0)] n = n [(0, m)] = [(0, m )] m = m Page 30 of 59

66 Osservazione 2: Osservazione 3: Allora, si ha [(n, m)] = [(n m, 0)], [(n, m)] = [(0, m n)], n m m > n [(n, 0)] = [(n, 0)] n = n [(0, m)] = [(0, m )] m = m N N/ρ = {[(n, 0)] n N } {[(0, 0)]} {[(0, m)] m N } Page 30 of 59

67 Poniamo per definizione Z = N N/ρ Page 31 of 59

68 Poniamo per definizione Z = N N/ρ Z risulta, pertanto, decomposto nei seguenti sottoinsiemi Z = Z + {0} Z dove Z + = {[(n, 0)] n N } {0} = {[(0, 0)]} Z = {[(0, m)] m N } Page 31 of 59

69 Poniamo per definizione Z = N N/ρ Z risulta, pertanto, decomposto nei seguenti sottoinsiemi Z = Z + {0} Z dove Z + = {[(n, 0)] n N } {0} = {[(0, 0)]} Z = {[(0, m)] m N } Gli elementi di Z + prendono il nome di interi positivi. Gli elementi di Z prendono il nome di interi negativi. Page 31 of 59

70 Osservazione: Z è una estensione di N nel senso che nel suo interno contiene un sottoinsieme Z + {0} identificabile con N. Consideriamo l applicazione definita dove n N. ϕ : N Z = Z + {0} Z ϕ(n) = [(n, 0)] ϕ è iniettiva e ϕ(n) = Z + {0}. Page 32 of 59

71 Poniamo, n N, [(n, 0)] n, [(0, n)] n, [(0, 0)] 0. Allora Z = {n n N } {0} { n n N } Page 33 of 59

72 9. Proprietà dei numeri interi Z è un insieme infinito. Page 34 of 59

73 9. Proprietà dei numeri interi Z è un insieme infinito. Z N e l insieme N è infinito. Page 34 of 59

74 9. Proprietà dei numeri interi Z è un insieme infinito. Z N e l insieme N è infinito. Z è un insieme numerabile. Page 34 of 59

75 9. Proprietà dei numeri interi Z è un insieme infinito. e l insieme N è infinito. Z N Z è un insieme numerabile. Consideriamo la seguente applicazione: f : N Z { n f(n) =, n = 2k 2 n+1, n = 2k Page 34 of 59

76 9. Proprietà dei numeri interi Z è un insieme infinito. e l insieme N è infinito. Z N Z è un insieme numerabile. Consideriamo la seguente applicazione: f : N Z { n f(n) =, n = 2k 2 n+1, n = 2k f è un applicazione biunivoca (esercizio). Dunque Z è numerabile. Page 34 of 59

77 Z è un insieme discreto. Page 35 of 59

78 Z è un insieme discreto. È sempre possibile stabilire qual è il successivo di un qualsiasi elemento. Page 35 of 59

79 Z è un insieme discreto. È sempre possibile stabilire qual è il successivo di un qualsiasi elemento. Z è un insieme totalmente ordinato. Page 35 of 59

80 Z è un insieme discreto. È sempre possibile stabilire qual è il successivo di un qualsiasi elemento. Z è un insieme totalmente ordinato. Secondo la sua rappresentazione sulla retta. Page 35 of 59

81 10. Definizione: Si definisce valore assoluto di un intero x il numero intero positivo { x, x 0 x = x, x < 0 Page 36 of 59

82 10. Definizione: Si definisce valore assoluto di un intero x il numero intero positivo { x, x 0 x = x, x < 0 Esempi: 7 = 7, 3 = 3, 0 = 0. Page 36 of 59

83 10. Definizione: Si definisce valore assoluto di un intero x il numero intero positivo { x, x 0 x = x, x < 0 Esempi: Proprietà: x = y x = ±y; x = 0 x = 0; x + y x + y ; x y = x y ; x + x 0. 7 = 7, 3 = 3, 0 = 0. Page 36 of 59

84 Come per i numeri Naturali si ha Proposizione: Siano a, b Z, b 0. Allora esistono, e sono unici, due numeri interi q, r tali che a = bq + r, 0 r < b Page 37 of 59

85 Definizione: Dati due numeri interi a e b, si dice che b divide a (a multiplo di b, b divisore di a) e si scrive b a se esiste c Z tale che a = bc, ossia il resto della divisione di a per b è zero. Page 38 of 59

86 Definizione: Dati due numeri interi a e b, si dice che b divide a (a multiplo di b, b divisore di a) e si scrive b a se esiste c Z tale che a = bc, ossia il resto della divisione di a per b è zero. Proprietà: Siano b 1, b 2, b 3 Z, Siano b 1, b 2, Z, Siano b 1, b 2, b 3 Z, b 1 b 2 e b 2 b 3 b 1 b 3 ; b 1 b 2 e b 2 b 1 b 1 = ±b 2 ; b 1 b 2 e b 1 b 3 b 1 (b 2 ± b 3 ). Page 38 of 59

87 Definizione: Un numero intero p diverso da ±1 è detto primo se i suoi divisori sono soltanto ±1 e ±p. Page 39 of 59

88 Definizione: Un numero intero p diverso da ±1 è detto primo se i suoi divisori sono soltanto ±1 e ±p. Definizione: Dati due numeri interi a, b Z si definisce il massimo comun divisore di a e b, e si denota (a, b), l intero positivo d che soddisfa le seguenti proprietà: d è un divisore comune di a e di b: d a e d b Ogni altro divisore d 0 comune di a e di b è divisore di d: d 0 a, d 0 b d 0 d. Page 39 of 59

89 Definizione: Un numero intero p diverso da ±1 è detto primo se i suoi divisori sono soltanto ±1 e ±p. Definizione: Dati due numeri interi a, b Z si definisce il massimo comun divisore di a e b, e si denota (a, b), l intero positivo d che soddisfa le seguenti proprietà: d è un divisore comune di a e di b: d a e d b Ogni altro divisore d 0 comune di a e di b è divisore di d: d 0 a, d 0 b d 0 d. Page 39 of 59

90 Teorema: Dati due numeri interi a, b Z esiste sempre il loro massimo comun divisore, d = (a, b) e si può scrivere nella forma d = ax + by per opportuni x, y Z. Page 40 of 59

91 Teorema: Dati due numeri interi a, b Z esiste sempre il loro massimo comun divisore, d = (a, b) e si può scrivere nella forma d = ax + by per opportuni x, y Z. La scrittura d = ax + by è detta Identità di Bézout. Page 40 of 59

92 Teorema: Dati due numeri interi a, b Z esiste sempre il loro massimo comun divisore, d = (a, b) e si può scrivere nella forma d = ax + by per opportuni x, y Z. La scrittura d = ax + by è detta Identità di Bézout. Osservazione: Si noti che tale espressione non è unica. Ad esempio, 1 = ( 4) 5 = ( 2) Page 40 of 59

93 L algoritmo Euclideo, valido anche per gli interi, ci permette di determinare una identità di Bézout. Page 41 of 59

94 L algoritmo Euclideo, valido anche per gli interi, ci permette di determinare una identità di Bézout. Esempio:(72, 22) = 2 Allora esistono due interi x, y tali che Ci chiediamo 2 = 72 x + 22 y x =?, y =? Page 41 of 59

95 L algoritmo euclideo ci dice 72 = = = = Page 42 of 59

96 L algoritmo euclideo ci dice 72 = = = = Allora 6 = ; Page 42 of 59

97 L algoritmo euclideo ci dice 72 = = = = Allora 6 = ; 4 = = 22 (72 22) 3 = = ; Page 42 of 59

98 L algoritmo euclideo ci dice 72 = = = = Allora 6 = ; 4 = = 22 (72 22) 3 = = ; 2 = = ( ) ( ) 1 = = = ; Page 42 of 59 In conclusione: 2 = ( 13).

99 Definizione: Due numeri interi a e b si dicono coprimi o primi fra loro se (a, b) = 1. Page 43 of 59

100 Definizione: Due numeri interi a e b si dicono coprimi o primi fra loro se (a, b) = 1. Definizione: Dati due numeri interi a, b Z si definisce il minimo comune multiplo di a e b, e si denota [a, b], l intero positivo m che soddisfa le seguenti proprietà: m è un multiplo comune di a e di b: a m e b m Ogni altro multiplo m 0 comune di a e di b è multiplo di m: a m 0, b m 0 m m 0. Page 43 of 59

101 Definizione: Due numeri interi a e b si dicono coprimi o primi fra loro se (a, b) = 1. Definizione: Dati due numeri interi a, b Z si definisce il minimo comune multiplo di a e b, e si denota [a, b], l intero positivo m che soddisfa le seguenti proprietà: m è un multiplo comune di a e di b: a m e b m Ogni altro multiplo m 0 comune di a e di b è multiplo di m: a m 0, b m 0 m m 0. Teorema: Dati a, b Z. Allora [a, b] e (a, b)[a, b] = ab Page 43 of 59

102 11. I Numeri Razionali Per creare uno strumento adeguato ai bisogni della pratica e della teoria, è necessario estendere il concetto di numero, a partire da quello originario di numero naturale. In una lunga e lenta evoluzione vennero gradualmente accettati sullo stesso piano dei numeri naturali positivi, lo zero, i numeri interi negativi e le frazioni. I numeri interi sono un astrazione del processo di contare insiemi finiti di oggetti. Ma nella vita giornaliera si presenta la necessità non soltanto di contare singoli oggetti, ma anche di misurare delle quantità, come lunghezze, aree, pesi e tempo. Se si vuole operare liberamente con le misure di queste quantità, è necessario estendere l insieme numerico degli interi. L esigenza di ampliare l insieme dei numeri interi sorge, oltre che per esigenze pratiche legate alla misurazione, anche per esigenze di carattere algebrico legate alla risoluzione di equazioni del tipo ax = b, a, b Z, a 0. L insieme Q dei numeri razionali si introduce a partire da Z in modo analogo a come è stato introdotto Z a partire da N. Page 44 of 59

103 Consideriamo il prodotto cartesiano Z Z = {(a, b) a, b Z, b 0} Page 45 of 59

104 Consideriamo il prodotto cartesiano Z Z = {(a, b) a, b Z, b 0} e definiamo in esso la seguente relazione (a, b) (c, d) ad = bc, (a, b), (c, d) Z Z. Page 45 of 59

105 Consideriamo il prodotto cartesiano Z Z = {(a, b) a, b Z, b 0} e definiamo in esso la seguente relazione (a, b) (c, d) ad = bc, (a, b), (c, d) Z Z. è una relazione di equivalenza: Page 45 of 59

106 Riflessiva: (a, b) Z Z, ab = ba. Dunque (a, b) (a, b). Page 46 of 59

107 Riflessiva: (a, b) Z Z, ab = ba. Dunque (a, b) (a, b). Simmetrica: (a, b), (c, d) Z Z, se (a, b) (c, d) ad = bc cb = da (c, d) (a, b). Page 46 of 59

108 Riflessiva: (a, b) Z Z, ab = ba. Dunque (a, b) (a, b). Simmetrica: (a, b), (c, d) Z Z, se (a, b) (c, d) ad = bc cb = da (c, d) (a, b). Transitiva: (a, b), (c, d), (e, f) Z Z, se (a, b) (c, d) (c, d) (e, f) adf = bcf bcf = bde ad = bc cf = de adf = bde af = be (a, b) (e, f) Page 46 of 59

109 Poniamo per definizione Q = Z Z / = {[(a, b)] a, b Z, b 0} Page 47 of 59

110 Poniamo per definizione Q = Z Z / = {[(a, b)] a, b Z, b 0} Osservazione 1: [(a, b)] =? (a, b) (c, d) ad = bc Esempi: (1, 2), (2, 4), ( 1, 2) [(1, 2)] (4, 1), ( 8, 2), (48, 12) [(4, 1)] (6, 9), ( 20, 30), (2, 3) [( 2, 3)] Page 47 of 59

111 Osservazione 2: Non vi è alcuna difficoltà nel riconoscere che ogni coppia può essere rappresentata con una frazione (a, b) a b Dunque in [(a, b)] vi sono tutte le frazioni equivalenti alla frazione a b. Esempi: 1 2, 2 4, , 8 2, , 20 30, 2 3 [ ] 1 2 [ ] 4 1 [ ] 2 3 Page 48 of 59

112 Dunque Q = {[ a] a, b Z, b 0} = { a a, b Z, b 0, a, b coprimi} b b Page 49 of 59

113 Osservazione: Q è una estensione di Z nel senso che nel suo interno contiene un sottoinsieme identificabile con Z. È sufficiente considerare l applicazione iniettiva definita da dove a Z. ϕ : Z Q ϕ(a) = a 1 Page 50 of 59

114 12. Proprietà dei numeri razionali Q è un insieme infinito. Page 51 of 59

115 12. Proprietà dei numeri razionali Q è un insieme infinito. Q Z e l insieme Z è infinito. Page 51 of 59

116 12. Proprietà dei numeri razionali Q è un insieme infinito. Q Z e l insieme Z è infinito. Q è un insieme numerabile. Page 51 of 59

117 12. Proprietà dei numeri razionali Q è un insieme infinito. e l insieme Z è infinito. Q Z Q è un insieme numerabile. La scoperta che l insieme Q è numerabile e, quindi ha tanti elementi quanti ne ha N, è dovuta al matematico G. Cantor ( ). La dimostrazione è nota come metodo diagonale di Cantor. Page 51 of 59

118 Consideriamo i razionali non negativi disposti come nella seguente tabella Sulla tabella è possibile stabilire un percorso che consente i elencare tutti i suoi elementi. Si evidenzia così la corrispondenza biunivoca con N: 0 1 0, 0 2 1, 1 1 2, 2 1 3, Page 52 of 59

119 Anche le frazioni negative ridotte ai minimi termini sono, come si può dedurre con un analogo ragionamento, un insieme numerabile. L unione di due (in generale di un numero finito) insiemi numerabili è numerabile. Dunque l insieme dei numeri razionali è numerabile. Page 53 of 59

120 Q è un insieme denso. Page 54 of 59

121 Q è un insieme denso. Gli insiemi N, Z, Q, nonostante siano via via più ampi e l uno immerso nell altro, sono tutti e tre insiemi numerabili. Diverse sono invece le proprietà di ordinamento dei loro elementi. Infatti, mentre N e Z sono discreti, l insieme Q non è discreto nel suo ordinamento naturale sulla retta, bensì denso perchè dati due numeri razionali esiste sempre un numero razionale compreso tra i due: a, b Q, a < b, c Q tale che a < c < b Page 54 of 59

122 Q è un insieme denso. Gli insiemi N, Z, Q, nonostante siano via via più ampi e l uno immerso nell altro, sono tutti e tre insiemi numerabili. Diverse sono invece le proprietà di ordinamento dei loro elementi. Infatti, mentre N e Z sono discreti, l insieme Q non è discreto nel suo ordinamento naturale sulla retta, bensì denso perchè dati due numeri razionali esiste sempre un numero razionale compreso tra i due: Esempio: a, b Q, a < b, c Q tale che a < c < b a = 5 7, b = 3 4 allora basta considerare la loro media: c = = Page 54 of 59

123 Q è un insieme totalmente ordinato. Page 55 of 59

124 Q è un insieme totalmente ordinato. Secondo la sua rappresentazione sulla retta. Formalmente la relazione può essere introdotta in questo modo: (a, b) < (c, d) ad < bc Page 55 of 59

125 Q è un insieme totalmente ordinato. Secondo la sua rappresentazione sulla retta. Formalmente la relazione può essere introdotta in questo modo: Esempio: (a, b) < (c, d) ad < bc 5 7 < 3 4 infatti 5 4 = 20 < 21 = 7 3. Page 55 of 59

126 13. Poichè l insieme dei numeri razionali è denso sulla retta, si potrebbe credere che tutti i punti della retta siano punti razionali. Una delle più sorprendenti scoperte, dovuta ai primi matematici greci e precisamente alla scuola pitagorica, è l esistenza dei numeri irrazionali, cioè di numeri che non sono razionali. La necessità di definire numeri non razionali nasce da alcuni problemi particolari come la ricerca del rapporto tra diagonale e lato di un quadrato, tra circonferenza e diametro,... Page 56 of 59

127 Teorema: 2 è un numero irrazionale. Page 57 of 59

128 dimostrazione: Teorema: 2 è un numero irrazionale. Ragioniamo per assurdo. Supponiamo, dunque, che 2 sia razionale. Allora esiste a Q, con a e b coprimi, tale che b a 2 = Dunque 2 = a2 b 2 a2 = 2b 2 a 2 pari a pari a = 2c 4c 2 = 2b 2 2c 2 = b 2 b 2 pari b pari a, b pari ASSURDO Possiamo concludere che 2 Q. b Page 57 of 59

129 L argomento appena descritto suggerisce una semplicissima costruzione geometrica del numero irrazionale 2. 2 è la misura della diagonale del quadrato di lato unitario. Infatti, se x denota la misura della diagonale del quadrato di lato unitario, per il teorema di Pitagora si ha Pertanto x = = 2 Page 58 of 59

130 14. Stampa Versione di Stampa Page 59 of 59