Esame di Ricerca Operativa del 06/02/17

Transcript

1 Esame di Ricerca Operativa del 0/0/7 (Cognome) (Nome) (Numero d Matricola) Esercizio. Completare la seguente tabella considerando il problema di programmazione lineare: max 7 x x x x x x x + x x x 0 x +x 7 x x x x Base Soluzione di base Ammissibile Degenere (si/no) (si/no) {, } x = {, } y = Esercizio. Effettuare due iterazioni dell algoritmo del simplesso primale per il problema dell esercizio. iterazione {,} iterazione Base x y Indice Rapporti Indice uscente entrante Esercizio. Si vuole definire un piano di lavoro settimanale per svolgere i progetti X, Y e Z, massimizzando le ore (h) dedicate compatibilmente con altri impegni giornalieri. Nella seguente tabella sono indicati (con ) i progetti a cui dedicarsi ogni giorno, le ore massime di lavoro giornaliero e le ore minime settimanali da dedicare a ciascun progetto. Scrivere un problema di PL o PLI per determinare le ore di lavoro da dedicare giornalmente a ciascun progetto in modo da massimizzare il numero complessivo di ore settimanali di lavoro. variabili decisionali: modello: Lun Mar Mer Gio Ven h min lavoro (sett.) A * * * B * * * C * * * * h max lavoro (giorn.) 7 c= COMANDI DI MATLAB A= b= Aeq= lb= beq= ub=

2 Esercizio. Completare la seguente tabella considerando il problema di flusso di costo minimo sulla seguente rete (su ogni nodo è indicato il bilancio e su ogni arco sono indicati, nell ordine, il costo e la capacità). - (,7) -7 (0,) (0,0) (8,) - (,) (,) (,) 7 0 (8,) (,) (0,) Archi di T Archi di U Soluzione di base Ammissibile Degenere (si/no) (si/no) (,) (,) (,) (,) (,) (,7) (,) x = (,) (,) (,7) (,) (,7) (,7) (,) π = (0, Esercizio. Effettuare due iterazioni dell algoritmo del simplesso su reti per il problema dell esercizio. iterazione iterazione Archi di T (,) (,) (,) (,) (,7) (,) Archi di U (,7) x π Arco entrante ϑ +, ϑ Arco uscente (,) Esercizio. a) Applicare l algoritmo di Dijkstra per trovare l albero dei cammini minimi di radice sulla seguente rete

3 nodo visitato iter iter iter iter iter iter iter 7 π p π p π p π p π p π p π p nodo nodo nodo nodo nodo nodo 7 insieme Q b) Applicare l algoritmo FFEK per trovare il flusso massimo tra il nodo ed il nodo 7 sulla seguente rete. 7 0 cammino aumentante δ x v Taglio di capacità minima: N s = N t = Esercizio 7. Si consideri il seguente problema di programmazione lineare intera: max x + x x + x 7 x +7 x 8 x 0 x 0 x,x Z a) Calcolare una valutazione superiore del valore ottimo risolvendo il rilassamento continuo. sol. ottima del rilassamento = v S (P) = b) Calcolare una valutazione inferiore del valore ottimo arrotondando la soluzione ottima del rilassamento. sol. ammissibile = v I (P) = c) Calcolare un taglio di Gomory. r = taglio:

4 Esercizio 8. Si consideri il problema di trovare il ciclo hamiltoniano di costo minimo su una rete di città, le cui distanze reciproche sono indicate in tabella: città a) Trovare una valutazione inferiore del valore ottimo calcolando il albero di costo minimo. albero: v I (P) = b) Trovare una valutazione superiore applicando l algoritmo del nodo più vicino a partire dal nodo. ciclo: v S (P) = c) Applicare il metodo del Branch and Bound, utilizzando il albero di costo minimo come rilassamento di ogni sottoproblema ed istanziando, nell ordine, le variabili x, x, x. Esercizio. Trovare massimi e minimi della funzione f(x,x ) = x +x sull insieme {x R : x +x 0, x x + 0}. Soluzioni del sistema LKT Massimo Minimo Sella x λ µ globale locale globale locale ( ), ( ), (0, ) ( ), ( ), (0, ) (0, ) (0, ) Esercizio 0. Si consideri il seguente problema: { min x x x +7 x + x x P e i vertici di P sono (,), (,), (,) e (, ). Fare un passo del metodo del gradiente proiettato. Punto Matrice M Matrice H Direzione Max spostamento Passo Nuovo punto possibile ( ),

5 SOLUZIONI Esercizio. Completare la seguente tabella considerando il problema di programmazione lineare: max 7 x x x x x x x + x x x 0 x +x 7 x x x x Base Soluzione di base Ammissibile Degenere (si/no) (si/no) {, } x = (, ) SI NO ( ) 0 {, } y =, 0,, 0, 0, 0, 0 Esercizio. Effettuare due iterazioni dell algoritmo del simplesso primale per il problema dell esercizio. Esercizio. Base x y Indice Rapporti Indice uscente entrante iterazione {, } (, 8) (0,, 0, 0, 0,, 0), iterazione {, } (, ) Variabili decisionali: ( ),, 0, 0, 0, 0, 0 SI NO, 0, Indichiamo con i =,, i progetti X, Y e Z rispettivamente e con j =,,,,, i giorni della settimana dal lunedi al venerdi. Sia C = {(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)}. x ij = ore dedicate al progetto i nel giorno j, (i,j) C; Modello: max x ij (i,j) C x +x +x x +x +x x +x +x +x x +x x +x x +x x +x 7 x +x x ij 0, (i,j) C Esercizio. Completare la tabella considerando il problema di flusso di costo minimo sulla seguente rete (su ogni nodo è indicato il bilancio e su ogni arco sono indicati, nell ordine, il costo e la capacità).

6 - (,7) -7 (0,) (0,0) (8,) - (,) (,) (,) 7 0 (8,) (,) (0,) Archi di T Archi di U Soluzione di base Ammissibile Degenere (si/no) (si/no) (,) (,) (,) (,) (,) (,7) (,) x = (0, 8,,, 0,, 0, 0,, 0, 0) NO SI (,) (,) (,7) (,) (,7) (,7) (,) π = (0, 0,, 7,, 8, 8) NO NO Esercizio. Effettuare due iterazioni dell algoritmo del simplesso su reti per il problema dell esercizio. iterazione iterazione Archi di T (,) (,) (,) (,) (,7) (,) (,) (,) (,) (,) (,7) (,) Archi di U (,7) (,7) x (, 0,, 0, 7,,, 0,,, 0) (0,,, 0,,,, 0,,, 0) π (0, 0,, 8,, 7, 8) (0, 7, 0, 8,, 7, ) Arco entrante (,) (,7) ϑ +, ϑ,, Arco uscente (,) (,7) Esercizio. a) Applicare l algoritmo di Dijkstra per trovare l albero dei cammini minimi di radice sulla seguente rete. (,) iter iter iter iter iter iter iter 7 π p π p π p π p π p π p π p nodo visitato 7 nodo nodo nodo nodo nodo + nodo insieme Q,,,,,, 7,, 7, 7

7 b) Applicare l algoritmo di Ford-Fulkerson(con la procedura di Edmonds-Karp per la ricerca del cammino aumentante) per trovare il flusso massimo tra il nodo ed il nodo 7 sulla seguente rete. 7 0 cammino aumentante δ x v (0,, 0, 0, 0, 0,, 0, 0, 0, 0) (,, 0, 0,, 0,, 0, 0,, 0) (,, 0, 0,, 0,, 0, 0,, 0) Taglio di capacità minima: N s = {,,,} N t = {,,7} Esercizio 7. Si consideri il seguente problema di programmazione lineare intera: max x + x x + x 7 x +7 x 8 x 0 x 0 x,x Z a) Calcolare una valutazione superiore del valore ottimo risolvendo il rilassamento continuo. ( 7 sol. ottima del rilassamento =, ) b) Calcolare una valutazione inferiore del valore ottimo arrotondando la soluzione ottima del rilassamento. v S (P) = sol. ammissibile = (,0) v I (P) = 0 c) Calcolare un taglio di Gomory. r = 8x +7x r = x +7x Esercizio 8. Si consideri il problema di trovare il ciclo hamiltoniano di costo minimo su una rete di città, le cui distanze reciproche sono indicate in tabella: città a) Trovare una valutazione inferiore del valore ottimo calcolando il albero di costo minimo. albero: (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) v I (P) = 77 b) Trovare una valutazione superiore applicando l algoritmo del nodo più vicino a partire dal nodo. ciclo: v S (P) = c) Applicare il metodo del Branch and Bound, utilizzando il albero di costo minimo come rilassamento di ogni sottoproblema ed istanziando, nell ordine, le variabili x, x, x.

8 77, P x = 0 x =, P, 77, P, x = 0 x = x = 0 x =,,, 77, P, P, P, P, il albero di costo minimo è il ciclo, x = 0 x = aggiorno v S (P) = x = 0 x =, P, 88, P, 77, P,7 P,8 Esercizio. Trovare massimi e minimi della funzione f(x,x ) = x +x sull insieme {x R : x +x 0, x x + 0}. Soluzioni del sistema LKT Massimo Minimo Sella x λ µ globale locale globale locale ( ), (, 0) NO NO SI SI NO ( ), (, 0) NO NO SI SI NO ( ) (0, ),0 NO NO NO SI NO ( ), (0, ) NO NO NO NO SI ( ), (0, ) NO NO NO NO SI ( (0, ) 0, ) NO SI NO NO NO ( (0, ) 0, ) NO NO NO NO SI (0, ) ( ),0 SI SI NO NO NO Esercizio 0. Si consideri il seguente problema: { min x x x +7 x + x x P dovep è il poliedro di vertici (,), (,), (,) e (, ). Fare una iterazionedel metodo del gradiente proiettato. Punto Matrice M Matrice H Direzione Max spostamento Passo Nuovo punto ( ) ( ) possibile ( / / ), (, ) / /, (, )