RICERCA OPERATIVA (a.a. 2008/09) Nome: Cognome: Matricola:

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1 o Appello 09/02/200 RICERCA OPERATIVA (a.a. 2008/09) Nome: Cognome: Matriola: ) Si individui un albero dei ammini minimi di radie 5 sul grafo in figura, utilizzando l algoritmo più appropriato dal punto di vista della omplessità omputazionale e giustifiando la selta effettuata. Per ogni iterazione si fornisano il nodo selezionato u, i vettori dei predeessori e delle etihette, l insieme dei nodi andidati Q. Al termine si disegni l albero dei ammini minimi individuato. La soluzione trovata è unia? Giustifiare la risposta Non essendo presenti arhi di osto negativo e non essendo il grafo ailio, l algoritmo più onveniente dal punto di vista della omplessità omputazionale, tra quelli studiati, è l algoritmo di Dijkstra, ioè l algoritmo SPT.S in ui Q è implementata ome una oda di priorità, he ha omplessità in tempo O(n 2 ). M = (n ) max + = 8 + = 9. it. u p[] p[2] p[] p[] p[5] p[] p[7] d[] d[2] d[] d[] d[5] d[] d[7] Q nil {5} nil {2,, 7} nil {, 2,,, } 5 7 nil {, 2,, } nil {,, } nil {, } 5 2 nil {} nil L albero trovato è mostrato in figura La ondizione di Bellman per l aro (7, ), he non appartiene all albero, è verifiata ome uguaglianza: infatti, d = 0 + = = d. Ciò india la possibilità he la soluzione ottima determinata non sia unia, ome in effetti si verifia: infatti, ponendo p[] = 7 si determina un diverso albero dei ammini minimi.

2 o Appello 09/02/ ) Si onsideri il seguente problema di PL: min y + y 2 + 2y y 2y + 2y 2 y + 2y = y + y 2 + y y = y + y 2 + 2y + y = y, y 2, y, y 0 Utilizzando gli sarti omplementari, si verifihi se la soluzione ȳ = (2, 0, 0, ) sia ottima per il problema. Si individuino inoltre tutte le soluzioni ottime del problema. Giustifiare le risposte. Considerando la oppia asimmetria di problemi duali (P ) max x Ax b (D) min yb ya = y 0 il teorema della dualità forte ed il teorema degli sarti omplementari garantisono la seguente aratterizzazione dell ottimalità duale: Proposizione. Sia ȳ una soluzione ammissibile per (D). Allora, ȳ è ottima se e solo se esiste una soluzione x ammissibile per (P ) omplementare ad ȳ, ovvero tale he x e ȳ verifihino la ondizione degli sarti omplementari ȳ(b A x) = 0. Per l ammissibilità delle soluzioni x e ȳ, la ondizione degli sarti omplementari è equivalente al sistema di equazioni Per il problema in esame si ha: ȳ i (b i A i x) = 0 i =,..., m. (P ) max x x 2 + x 2x + x 2 x 2x + x 2 + x x + x 2 + 2x 2 2x x 2 + x (D) min y + y 2 + 2y y 2y + 2y 2 y + 2y = y + y 2 + y y = y + y 2 + 2y + y = y, y 2, y, y 0 È immediato verifiare he la soluzione ȳ = (2, 0, 0, ) è ammissibile per (D). L insieme degli indii delle variabili duali positive in ȳ è J(ȳ) = {j {,..., m} : ȳ j > 0} = {, }. Di onseguenza, una soluzione primale x he formi on ȳ una oppia di soluzioni omplementari deve soddisfare la ondizione b i A i x = 0 per i =,, ovvero il primo ed il quarto vinolo devono essere attivi. Pertanto, x deve risolvere il sistema { 2x + x 2 x = 2x x 2 + x = Posto x = α, tale sistema ammette infinite soluzioni della forma x(α) = (, + α, α). Tali soluzioni sono ammissibili per (P ) per ogni α 0. Infatti, sia il seondo he il terzo vinolo sono rispettati per α 0. Poihé x(α) soddisfa la ondizione degli sarti omplementari on ȳ ed è ammissibile per α 0, ȳ è una soluzione ottima per (D). Si osservi he ogni soluzione x(α) on α 0 è soluzione ottima di (P ), e he pertanto ogni soluzione ottima di (D) deve soddisfare la ondizione degli sarti omplementari on ogni x(α) per α 0. Per α < 0, l insieme degli indii dei vinoli attivi in x(α) è I(x(α)) = {, }. Di onseguenza una soluzione duale ŷ he formi on x(α) una oppia di soluzioni omplementari deve soddisfare le ondizioni ŷ 2 = ŷ = 0. Affinhé ŷ sia ammissibile per (D), deve soddisfare il seguente sistema 2y + 2y = y y = y + y = y, y 0 la ui unia soluzione è (ŷ, ŷ ) = (2, ). Quindi, ŷ = ȳ = (2, 0, 0, ) è l unia soluzione ottima di (D). Poihé tutti i vinoli sono attivi in x(0) = (,, 0), ogni soluzione ammissibile di (D) è anhe ottima: ȳ è pertanto anhe l unia soluzione ammissibile del problema dato.

3 o Appello 09/02/200 ) Si risolva geometriamente, per mezzo dell algoritmo del Simplesso Primale, il problema di PL in figura a partire dalla base B = {, 2}. Per ogni iterazione si fornisano la base, la soluzione primale di base x e la direzione di spostamento ξ (riportandoli direttamente sulla figura), il segno delle variabili duali in base, e gli indii usente ed entrante, giustifiando le risposte. Si disuta inoltre la degenerazione, sia primale he duale, delle basi visitate dall algoritmo. A5!! 2 x 2 =x =x! A x A 2 A A it.) B = {, 2}, y < 0 e y 2 > 0 poihé appartiene al ono generato da A e A 2, ome mostrato in figura (a); quindi, risulta h =. La base è sia primale (I(x ) = B) he duale non degenere (y, y 2 0). Il massimo passo lungo la direzione ξ si ottiene in orrispondenza ai vinoli, e 5: quindi k = min{,, 5} = per la regola antiilo di Bland. it.2) B = {2, }, y 2 < 0 e y > 0 poihé appartiene al ono generato da A 2 e A, ome mostrato in figura (b); quindi, risulta h = 2. La base è primale degenere (I(x 2 ) = {2,,, 5}), ma duale non degenere (y 2, y 0). Il massimo passo lungo la direzione ξ 2 si ottiene in orrispondenza ai vinoli e 5, attivi ma non in base: si esegue quindi un ambio di base degenere selezionando k = min{, 5} = per la regola antiilo di Bland. it.) B = {, }, y < 0 e y > 0 poihé appartiene al ono generato da A e A, ome mostrato in figura (); quindi, risulta h =. La base è duale non degenere (y, y 0), ma è primale degenere (I(x ) = {2,,, 5}). Il massimo passo lungo la direzione ξ si ottiene in orrispondenza al vinolo 5, attivo ma non in base: si esegue quindi un altro ambio di base degenere selezionando k = 5. it.) B = {, 5}, y > 0 e y 5 > 0 poihé appartiene al ono generato da A e A 5, ome mostrato in figura (d); quindi, la base è duale ammissibile e l algoritmo termina, avendo determinato la soluzione ottima primale x. La base è primale degenere (I(x ) = {2,,, 5}) ma duale non degenere (y, y 5 0).!A! A 2 A A A 2! A A A A 2 (a) (b) () (d) A 5 A

4 o Appello 09/02/200 ) Si onsideri la seguente formulazione { max min ix i : i=,...,n } n a i x i b, x i {0, 5, 7, 2}, i =,..., n i= dove b e a i, on i =,..., n, sono dati di input. Si modifihi la formulazione in modo tale he il modello risultante sia espresso in termini di PLI, giustifiando le risposte. Ogni variabile a valori disreti x i può essere modellata in termini di PLI introduendo tre variabili binarie y i, y2 i e y i per indiare l attribuzione a x i del valore 5, 7, 2, rispettivamente. I vinoli non lineari x i {0, 5, 7, 2}, i =,..., n possono pertanto essere modellati mediante: x i = 5y i + 7y2 i + 2y i y i + y2 i + y i i =,..., n i =,..., n y i, y2 i, y i {0, } i =,..., n Nel aso in ui siano y i = y2 i = y i = 0, il primo vinolo attribuise alla variabile x i il valore 0. La funzione obiettivo non lineare min i=,...,n ix i può invee essere modellata in termini di PLI introduendo una variabile di soglia w, he stimi per difetto il minimo dei valori i x i, e formulando max min ix i i=,...,n mediante max { w : i x i w i =,..., n }. La formulazione iniziale può essere quindi onvertita in termini di PLI nel modo seguente: max w i x i w n a i x i b i= x i = 5y i + 7y2 i + 2y i yi + y2 i + y i yi, y2 i, y i {0, } i =,..., n i =,..., n i =,..., n i =,..., n Si osservi he il problema potrebbe essere formulato utilizzando eslusivamente le variabili yi h (i =,..., n e h =, 2, ). Infatti, il terzo bloo di vinoli potrebbe venir utilizzato per eliminare le variabili x i dai primi due.

5 o Appello 09/02/ ) Teuri ed Ahei si battono furiosamente sotto le mura di Ilio. Guidati da Ares ed Afrodite, i figli di Priamo stanno avendo la meglio, e sono arrivati viino alle nere navi dei Danai; se riusissero a bruiarle, per gli Argivi non i sarebbe più ritorno sul mare olore del vino. Per questo Atena, dea della saggezza ed alleata dei Grei, spinge il re Agamennone ad organizzare un ontrattao on i ohi per fermare l avanzata nemia. Il figlio di Atreo ha a disposizione n Eroi (E), m Cohi (C) trainati da foose pariglie di avalli e k Aurighi (A) per ondurli. Ogni Eroe può usire in battaglia a piedi, oppure su un Cohio; in questo aso ha bisogno di un Auriga he lo ondua, ma questo ompito può anhe essere svolto da un altro Eroe (he in questo aso non ombatte). Per ogni tripla (e,, a) on e E, C e a A E (ovviamente e a), i vatiini della dea on lo sguardo sintillante fornisono le misure f e ed f e,,a della forza he avrebbe in battaglia l Eroe e da solo, oppure montato sul Cohio ed aompagnato dall Auriga a. Alune delle triple (e, a, ) sono invise a Zeus, he interverrebbe immediatamente dando la vittoria ai disendenti di Teuro se anhe una sola di esse si mostrasse in battaglia; la dea onose bene le debolezze di suo padre, e segnala questo ponendo f e,,a =. Il re di Miene hiede aiuto all astuto Ulisse per determinare ome dispiegare gli eroi in battaglia in nodo da massimizzare la loro forza totale. Aiutate Odisseo a ompiere il volere del Fato srivendo il modello di PLI del orrispondente problema. Definiamo T ome l insieme di tutte le triple (e,, a) on e E, C, a A E \ {e} tali he f e,,a > ; definiamo per ogni e E, a A e C gli insiemi T (e) = { (e,, a) T } { (e,, e) T } T (a) = { (e,, a) T } T () = { (e,, a) T }. Introduiamo inoltre per ogni (e,, a) T la variabile binaria { se l Eroe e viene mandato in battaglia montato sul Cohio ed aompagnato dall Auriga a x e,,a = 0 altrimenti e per ogni e E la variabile binaria { se l Eroe e viene mandato in battaglia a piedi x e = 0 altrimenti. Una formulazione del problema è la seguente: max f e,,a x e,,a + f e x e e E (e,,a) T (e,,a) T (e) (e,,a) T () (e,,a) T (a) x e,,a {0, } x e {0, } x e,,a + x e x e,,a x e,,a e E C a A (e,, a) T e E Il primo bloo di vinoli garantise he iasun Eroe e E senda in battaglia al più una volta: a piedi, ome ombattente su di un Cohio o ome Auriga di un Cohio (per ovvi motivi il vinolo potrebbe essere posto ome uguaglianza). Il seondo e terzo bloo di vinoli garantisono he iasun Cohio C e iasun Auriga a A sendano in battaglia al più una volta. I tre blohi di vinoli insieme garantisono he iasuno dei possibili Eroi, Cohi ed Aurighi sia oinvolto in una sola tripla, ferma restando la possibilità per gli Eroi di ombattere da soli. Infine la funzione obiettivo, da massimizzare, rappresenta la forza totale degli Eroi nelle onfigurazioni preselte.

6 o Appello 09/02/200 ) Si applihi alla seguente istanza del problema dello zaino max 8x +x 2 +7x +2x +x 5 x +2x 2 +x +x +2x 5 8 x, x 2, x, x, x 5 {0, } l algoritmo Branh&Bound he usa il rilassamento ontinuo per determinare la valutazione superiore, l euristia Greedy CUD per determinare la valutazione inferiore, esegue il branhing sulla variabile frazionaria, visita l albero di enumerazione in modo breadth-first e, tra i figli di uno stesso nodo, visita per primo quello orrispondente a fissare la variabile frazionaria a 0. Per ogni nodo dell albero si riportino le soluzioni ottenute dal rilassamento e dall euristia (se eseguiti) on le orrispondenti valutazioni superiore ed inferiore. Si indihi se, e ome, viene effettuato branhing o se il nodo viene hiuso e perhé. Si termini l esplorazione nel momento in ui la differenza tra la miglior valutazione superiore e la miglior valutazione inferiore disponibili diviene minore di 2. Indihiamo on x la soluzione ottenuta dal rilassamento e on x quella ottenuta dall euristia. Indihiamo inoltre on z la valutazione superiore ottenuta ad ogni nodo (ossia z = x ), on z la valutazione inferiore ottenuta ad ogni nodo (ossia z = x), on z la migliore delle valutazioni inferiori determinate e on z il valore della miglior valutazione superiore disponibile (ovvero la massima valutazione superiore assoiata ai nodi he hanno figli in Q). Le variabili sono già ordinate per Costo Unitario Deresente. Inizializzazione: La oda Q viene inizializzata inserendovi il solo nodo radie dell albero delle deisioni, orrispondente a non aver fissato aluna variabile; inoltre, si pone z =, z = +. Nodo radie Risolvendo il rilassamento ontinuo si ottiene x = [,, /, 0, 0], z = z = 7 + /, mentre l euristia Greedy CUD determina x = [,, 0,, 0], z =. Poihé z > z =, si ha z =. Il gap assoluto vale quindi z z = 7 + / = / > 2, e l algoritmo prosegue. Siome z > z, si esegue il branhing sulla variabile frazionaria x. x = 0 x = [,, 0,, 0], z =. Poihé la soluzione del rilassamento ontinuo è intera, essa oinide on quella dell euristia CUD. Si ha quindi z =. Dato he z = z, il nodo viene hiuso per ottimalità. x = x = [, /2,, 0, 0], z = 7 (quindi z = 7), x = [, 0,, 0, 0], z = 5. Poihé z = 5 > z si pone z = 5. Valendo z z = 7 5 = 2, l algoritmo prosegue. Poihé z > z, si esegue il branhing sulla variabile frazionaria x 2. x =, x 2 = 0 x = [, 0,, /, 0], z = 5 + 2/, x = [, 0,, 0, 0], z = 5. Siome z > z si esegue il branhing sulla variabile frazionaria x. x =, x 2 = x = [2/,,, 0, 0], z = + /. z = max{5 + 2/, + /} = + /. Quindi il gap assoluto vale z z = + / 5 = / < 2, e l esplorazione dell albero delle deisioni può essere interrotta. È faile verifiare he [, 0,, 0, 0] è effettivamente una soluzione ottima del problema; nel momento in ui è interrotto, tuttavia, l algoritmo riese solamente a dimostrare he l errore assoluto ompiuto risulta < 2.