RICERCA OPERATIVA (a.a. 2018/19) Nome: Cognome: Matricola:

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1 Sesto appello //9 RICERCA OPERATIVA (a.a. 8/9) Nome: Cognome: Matriola: ) Si onsideri il seguente problema di PL: max x + x x + x x + x x x Si verifihi se la soluzione x = [, ] sia ottima per il problema. Inoltre, si speifihi se x sia una soluzione di base, disutendone l eventuale degenerazione. Infine, nel aso x sia ottima, si individui l insieme di tutte le soluzioni ottime del problema duale di quello dato. Giustifiare le risposte. Considerando la oppia asimmetria di problemi duali (P ) max{ x : Ax b } (D) min{ yb : ya =, y } il teorema forte della dualità e il teorema degli sarti omplementari garantisono la seguente aratterizzazione dell ottimalità primale: Proposizione. Sia x una soluzione ammissibile per (P ). x è ottima se e solo se esiste una soluzione ȳ ammissibile per (D) omplementare a x, ovvero tale he x e ȳ verifihino le ondizioni degli sarti omplementari ȳ(b A x) =. Per l ammissibilità delle soluzioni x e ȳ, le ondizioni degli sarti omplementari sono equivalenti al sistema di equazioni Per il problema in esame si ha: ȳ i (b i A i x) = i =,..., m. (P ) max x + x x + x x + x x x (D) min y + y y y y y = y + y y = y, y, y, y È immediato verifiare he la soluzione x = [, ] è ammissibile per (P ). L insieme degli indii dei vinoli attivi in x è I( x) = {i {,..., m} : A i x = b i } = {,, }. Di onseguenza, una soluzione duale ȳ, tale he ȳa =, he formi on x una oppia di soluzioni omplementari deve soddisfare le ondizioni ȳ =. Affinhé ȳ sia ammissibile per (D), essa deve soddisfare il sistema y y = y + y y = y, y, y Posto y = α, il sistema di equazioni ammette infinite soluzioni della forma [α, α, α ]. ȳ(α) = [α, α, α, ] ha omponenti non negative per α /. Pertanto x è soluzione ottima di (P ), e ȳ(α), per α /, è l insieme delle soluzioni ottime di (D). Infine, poihé la sottomatrie dei vinoli attivi in x è di rango, segue he x è una soluzione di base (ammissibile). È degenere in quanto I( x) = >.

2 Sesto appello //9 ) Si risolva geometriamente, per mezzo dell algoritmo del Simplesso Primale, il problema di PL in figura a partire dalla base B = {, }. Si osservi he e A sono ollineari. Per ogni iterazione si fornisano la base, la soluzione di base primale x e la direzione di spostamento ξ (riportandoli direttamente sulla figura), il segno delle variabili duali in base, e gli indii usente ed entrante, giustifiando le risposte. Alla fine, se l algoritmo termina on esito ottimo finito, si disuta l uniità delle soluzioni ottime determinate, sia primale he duale. A A ξ x = x A A A x ξ x ξ A it. ) B = {, }: ȳ < e ȳ < poihé appartiene (è interno) al ono generato da A e A, ome mostrato in a). Quindi h = per la regola antiilo di Bland. Il massimo passo lungo la direzione ξ si ottiene in orrispondenza del solo vinolo, quindi k =. it. ) B = {, }: ȳ > e ȳ < poihé appartiene al ono generato da A ed A, ome mostrato in b), quindi h =. Il massimo passo lungo la direzione ξ si ottiene in orrispondenza dei vinoli, e : quindi k = per la regola antiilo di Bland. it. ) B = {, }: ȳ > e ȳ < poihé appartiene al ono generato da A e A, ome mostrato in ), quindi h =. Il massimo passo lungo la direzione ξ si ottiene in orrispondenza dei vinoli e : quindi k = per la regola antiilo di Bland. Essendo tale passo uguale a zero, si esegue un ambio di base degenere. it. ) B = {, }: ȳ = e ȳ > in quanto e A sono ollineari, quindi l algoritmo termina individuando in x una soluzione ottima del problema primale (si osservi he tale soluzione ottima era già stata individuata all iterazione preedente). -A A a) b) ) -A -A A A -A A A A La soluzione ottima primale è unia, ome si può verifiare per via geometria. Per disutere l uniità della soluzione ottima duale osserviamo he la soluzione ottima primale è degenere. In partiolare, anhe la base B = {, } indue la soluzione di base primale x ed è duale ammissibile. La soluzione di base duale orrispondente a B è quindi anh essa ottima, ed è diversa da quella orrispondente alla base B perhé in quest ultima ȳ = e ȳ >, mentre nella soluzione duale orrispondente a B la prima e la sesta omponente sono positive, mentre la terza omponente è nulla. Pertanto la soluzione ottima duale non è unia.

3 Sesto appello //9 ) Si individui un albero dei ammini minimi di radie, sul grafo in figura, utilizzando l algoritmo più appropriato dal punto di vista della omplessità omputazionale in tempo e giustifiando la selta effettuata. Per ogni iterazione si indihino il nodo selezionato u, i vettori dei predeessori e delle etihette, e l insieme dei nodi andidati Q (se utilizzato). Si esaminino gli arhi della stella usente in ordine resente del nodo testa. Al termine si disegni l albero dei ammini minimi individuato. La soluzione ottima ottenuta è unia? Giustifiare la risposta Poihé il grafo presenta ili (es. (,,, )) ed arhi di osto negativo, l algoritmo più onveniente dal punto di vista della omplessità omputazionale in tempo risulta essere SPT.L.Queue, he ha omplessità in tempo O(mn). M = (n ) max{ ij : (i, j) A} + = 8 + =. p[ ] d[ ] it. u 8 8 Q nil () nil (,, ) nil (, ) nil (,, ) nil (,, ) nil (,,, 8) nil (,, 8) nil 9 (, 8, ) 8 nil 9 (8, ) 9 8 nil 9 () nil 9 () nil 9 () nil 9 (8) 8 nil 9 L albero dei ammini minimi individuato è: 8 - La soluzione ottima è unia. Infatti ogni aro non appartenente all albero individuato soddisfa le ondizioni di Bellman in forma di disuguaglianza stretta.

4 Sesto appello //9 ) Si risolva il problema di flusso di osto minimo per l istanza in figura utilizzando l algoritmo di anellazione dei ili a partire dal flusso indiato, di osto x =. Per ogni iterazione si mostri il ilo individuato on il suo verso, osto e apaità, e la soluzione ottenuta dopo l appliazione dell operazione di omposizione, on il suo osto. Al termine si dimostri he la soluzione ottenuta è ottima.,, -,,,,,, -,,,, -,,,,,,,,9 9 b i i ij, u ij, x ij b j j L algoritmo esegue tre iterazioni, illustrate dalle prime tre figure (da sinistra a destra, dall alto in basso): in ogni figura è mostrato il ilo C utilizzato (arhi tratteggiati) on il suo verso (freia tratteggiata) e la sua apaità θ, nonhé il flusso x al termine dell iterazione, ossia dopo l appliazione dell operazione di omposizione on C, on il relativo osto x. La quarta figura, in basso a destra, mostra il grafo residuo relativo all ultima soluzione e il orrispondente albero dei ammini minimi (arhi tratteggiati) di radie fittizia r (non mostrata in figura). Tale albero è ottimo, ome dimostrano le etihette assoiate ai nodi, he soddisfano le ondizioni di Bellman. L esistenza di un albero dei ammini minimi dimostra he non esistono ili orientati di osto negativo nel grafo residuo, ovvero non esistono ili aumentanti di osto negativo rispetto all ultimo flusso determinato x, he è quindi un flusso di osto minimo. 9 θ=, (C) = -, x = θ =, (C) = -, x = θ=, (C)= -, x =

5 Sesto appello //9 ) Si onsideri un problema di ottimizzazione della forma Si onsideri inoltre il problema (P ) z(p ) = min { (x) : x F }. () ( P ) z( P ) = min { (x) : x F }. () Si speifihi quali proprietà deve soddisfare ( P ) per poter essere definito un rilassamento del problema (P ). Data una soluzione ottima x di ( P ), si indihino inoltre ondizioni he garantisono he x sia pure soluzione ottima di (P ), dimostrando quanto affermato. Per definizione, ( P ) è un rilassamento del problema (P ) se soddisfa le seguenti proprietà:. F F ;. (x) (x) per ogni x F. In altre parole, ( P ) è un rilassamento di (P ) se ammette tutte le soluzioni di (P ) ome ammissibili e se, sull insieme F, la sua funzione obiettivo è un approssimazione inferiore della funzione obiettivo di (P ). È immediato verifiare he il valore ottimo di ( P ) fornise una valutazione inferiore del valore ottimo di (P ), ossia z( P ) z(p ). Sotto alune ondizioni, il rilassamento ( P ) permette di risolvere il problema (P ). Questo aade in partiolare se la soluzione ottima x di ( P ) è tale he x F e (x ) = (x ), ossia x è ammissibile per il problema (P ) e la funzione obiettivo ha in x lo stesso valore della funzione obiettivo. In questo aso, infatti, x è pure soluzione ottima di (P ) in quanto (x ) = z( P ) z(p ) (x ) = (x ), ossia x fornise sia una valutazione inferiore he una valutazione superiore del valore ottimo z(p ), e le due oinidono.

6 Sesto appello //9 ) Si applihi alla seguente istanza del problema dello zaino max x +9x +x +x +x +x x +x +x +x +x +x x, x, x, x, x, x {, } l algoritmo Branh and Bound he utilizza il rilassamento ontinuo per determinare la valutazione superiore, l euristia Greedy CUD per determinare la valutazione inferiore, esegue il branhing sulla variabile frazionaria, visita l albero di enumerazione in modo breadth-first e, tra i figli di uno stesso nodo, visita per primo quello in ui la variabile frazionaria è fissata a. Per ogni nodo dell albero si riportino le soluzioni ottenute dal rilassamento e dall euristia (se vengono eseguiti) on le orrispondenti valutazioni superiore e inferiore; si indihi poi se viene effettuato il branhing, e ome, o se il nodo viene hiuso e perhé. Indihiamo on x la soluzione ottenuta dal rilassamento e on x quella ottenuta dall euristia. Indihiamo inoltre on z la valutazione superiore ottenuta ad ogni nodo (ossia z = x ), on z la valutazione inferiore ottenuta ad ogni nodo (ossia z = x) e on z la migliore delle valutazioni inferiori determinate. Le variabili sono già ordinate per Costo Unitario Deresente. Inizializzazione La oda Q viene inizializzata inserendovi il solo nodo radie dell albero delle deisioni, orrispondente a non aver fissato aluna variabile; inoltre, si pone z =. Nodo radie x = [,,, /,, ], z = + /, x = [,,,,, ], z =. Poihé z > z =, si aggiorna z =. Siome z = + / > = z, si esegue il branhing sulla variabile frazionaria x. x = x = [,,,, /, ], z =. x = [,,,,, ], z =. Poihé z = = z, z non ambia. Poihé z = > = z, si esegue il branhing sulla variabile frazionaria x. x = x = [,, /,,, ], z =. x = [,,,,, ], z =. Poihe z = > z, z =. Poihé z = > = z, si esegue il branhing sulla variabile frazionaria x. x = x = x = [,,,,, /], z = + /. Si noti he si può porre z = in quanto tutti i osti sono interi, e quindi anhe il valore ottimo è intero. Poihé z = = z, il nodo viene hiuso dalla valutazione superiore. x =, x = x = [,, /,,, ], z = + /. Analogamente a prima, si può porre z =. Poihé z = = z, il nodo viene hiuso dalla valutazione superiore. x =, x = x = [,,,,, ], z = z =. Poihé la soluzione ottima del rilassamento ontinuo è intera, il nodo viene hiuso per ottimalità. Poihé z = = z, potrebbe essere hiuso anhe dalla valutazione superiore. x =, x = x = [, /,,,, ], z =. Poihé z = = z, il nodo viene hiuso dalla valutazione superiore. Poihé Q è vuota, l algoritmo Branh and Bound termina, restituendo la soluzione ottima [,,,,, ], di osto.