RICERCA OPERATIVA (a.a. 2017/18) Nome: Cognome: Matricola:

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1 o Appello //9 RICERCA OPERATIVA (a.a. 7/) Nome: Cognome: Matricola: ) Si risolva il problema di PL dato applicando l algoritmo del Simplesso Primale, per via algebrica, a partire dalla base B = {, }. Per ogni iterazione si indichino: la base, la matrice di base e la sua inversa, la coppia di soluzioni di base e la loro eventuale degenerazione, l indice uscente, la direzione di crescita, il passo di spostamento e l indice entrante, giustificando le risposte. Al termine si discuta la soluzione ottenuta, sia dal punto di vista del primale che del duale. Infine si discuta come cambierebbero le conclusioni se il vettore dei costi c fosse, invece che,. Giustificare tutte le risposte. it.) B = {, }, A B =, A B = ȳ B = ca B = max x + x x + x x + x x x x x, x = A B b B = = =, ȳ N =, ȳ = La base è primale degenere in quanto esiste almeno un indice i N tale che A i x = b i (in particolare, i = ) ma duale non degenere in quanto ȳ i per ogni i B. h = min{ i B : ȳ i < } = min{, } =, B(h) = ξ = A B u B(h) =, A N ξ = =, J = { i N : A i ξ > } = {,, } it.) B = {, }, A B = it.) B = {, }, A B = λ i = (b i A i x)/a i ξ, λ =, λ =, λ =, λ = min{ λi : i J } = k = min{ i J : λ i = λ } =, A B = ȳ B =, x = cambio di base degenere = =, ȳ = base ovviamente ancora primale degenere e duale non degenere h =, B(h) = ξ =, A N ξ = = J = { }, λ = λ =, k =, A B =, x = = =, ȳ = ȳ B = base primale non degenere e duale non degenere h =, B(h) = ξ =, A N ξ = =, J = STOP ξ è una direzione di crescita illimitata, pertanto il problema primale è superiormente illimitato e di conseguenza il problema duale è vuoto. Se il vettore dei costi c fosse, invece che, si avrebbe cξ =, e pertanto la direzione ξ determinata all ultima iterazione non sarebbe di crescita (e neppure di decrescita). In effetti, poiché = in quel caso l ultima soluzione primale determinata sarebbe ottima per il primale, in quanto la soluzione di base complementare sarebbe ammissibile, e quindi ottima, per il duale.

2 o Appello //9 ) Si risolva graficamente il problema di PL in figura, utilizzando l algoritmo del Simplesso Duale a partire dalla base B = {, }; si noti che c, A ed A sono x A collineari, e separatamente anche A ed A lo sono. Per x c ogni iterazione si indichino: la base, la soluzione primale A x di base (in figura), l indice entrante k, i segni delle componenti dei vettori ȳ B e η B e l indice uscente h, giustificando le risposte. Si discuta inoltre l eventuale degenerazione primale e duale delle soluzioni di base determinate. In caso di ottimo finito si discuta l unicità delle soluzioni A A A primali e duali ottime. Infine, si discuta se tutte le risposte finali ottenute cambierebbero, e come, qualora la funzione obiettivo c fosse collineare al vincolo (con lo stesso verso). it. ): B = {, }. La soluzione primale di base x viola i vincoli e, pertanto k = min{ i N : A i x > b i } = min{, } = regola anticiclo di Bland. ȳ = e ȳ > in quanto c è collineare con A con lo stesso verso (ovviamente, dovendo essere la base duale ammissibile), come mostrato in figura (a); la base è quindi duale degenere, ed è anche primale degenere poiché B I( x ) = {,, } (anche il vincolo è attivo, pur non essendo in base). Poiché cono( A, A ), ed in particolare è interna (si veda ancora la figura (a)), risultano η > e η > ; siccome ȳ =, risulta necessariamente ȳ /η = < ȳ /η : pertanto θ = min{ ȳ i /η i : i B, η i > } = e h = min{ i B : η i >, θ = ȳi /η i } = min{ } =. Un modo diverso di ottenere lo stesso risultato è che la base B = {, } non è duale ammissibile, e quindi non può sicuramente essere visitata dall algoritmo. it. ): B = {, }. La soluzione primale di base x viola il solo vincolo, pertanto k =. ȳ = e ȳ > in quanto c è collineare con A, come all iterazione precedente, come mostrato in figura (b); la base è quindi duale degenere, e rimane anche primale degenere poiché B I( x ) = {,, } (anche il vincolo è attivo, pur non essendo in base). Poiché A è collineare con A risultano η = ed η >, pertanto necessariamente h =. it. ): B = {, }. La soluzione primale di base x non viola alcun vincolo, e pertanto è ottima per il primale, e la corrispondente soluzione duale di base è ottima. a) b) c) c A A = ca A c A A Per discutere l unicità della soluzione esaminiamo la degenerazione della base ottima determinata. Essa risulta duale degenere, in quanto c è collineare con A : pertanto ȳ = e ȳ >. Pertanto la soluzione primale può non essere unica, ed infatti questo accade: tutti i punti del segmento corrispondente alla frontiera del vincolo con un estremo in x e l altro nel vertice corrispondente all intersezione col vincolo sono ammissibili, e poiché hanno lo stesso valore della funzione obiettivo di x sono anche soluzioni ottime. La base è anche primale degenere, poiché B I( x ) = {,, }: anche il vincolo è attivo, pur non essendo in base. La soluzione duale potrebbe quindi non essere unica, ma ció non è in effetti il caso. Infatti, né c né il suo opposto c appartengono al cono finitamente generato da A ed, come mostrato in figura (c). Pertanto, qualsiasi combinazione lineare di A, A ed in cui i coefficienti di A ed siano positivi non può essere uguale a c, il che implica che l unica soluzione ammissibile del duale è quella (di base) in cui sono a zero tutti i coefficienti tranne ȳ. Se la funzione obiettivo c fosse collineare al vincolo (con lo stesso verso), la base B = {, } continuerebbe ad essere primale e duale ammissibile, e quindi ottima per il problema. Si invertirebbero però le condizioni relative all unicità. Infatti, la base resterebbe primale e duale degenere, adesso peró con ȳ > e ȳ =. Si avrebbe che x è l unica soluzione ottima: della frontiera del vincolo, quello è l unico punto ammissibile. Viceversa la soluzione di base duale non sarebbe unica, in quanto B = {, } è parimenti duale ammissibile: c è interna a cono( A, A ), il che significa che esiste una soluzione duale ottima con ȳ > e ȳ >, quindi necessariamente diversa da quella relativa a B = {, }.

3 o Appello //9 ) Si individui un albero dei cammini minimi di radice sul grafo in figura, utilizzando l algoritmo più appropriato dal punto di vista della complessità computazionale in tempo, e giustificando la scelta effettuata. Per ogni iterazione si forniscano il nodo selezionato u, i vettori dei predecessori e delle etichette, e l insieme dei nodi candidati Q. Si esaminino gli archi di ogni stella uscente in ordine crescente dei rispettivi nodi testa. Al termine si disegni l albero dei cammini minimi individuato. Si consideri quindi il caso in cui il costo dell arco (, 7 ) sia un parametro reale ɛ, invece di valere, e si discuta l ottimalità e l unicità dell albero determinato al variare di ɛ. Giustificare tutte le risposte. Il grafo contiene cicli orientati (ad esempio (,, )) ed archi di costo negativo (ad esempio (, )): pertanto, l algoritmo più conveniente dal punto di vista della complessità computazionale in tempo è SPT.L in cui Q è implementato come una coda, ovvero l algoritmo di Bellman, che ha complessità in tempo O(mn). M = (n )c max + = + =. it. u p p p p p p p7 d d d d d d d7 Q { } {,, } {,, 7 } {, 7,, } { 7,,, } 7 {,, } {,, 7 } 7 {, 7 } { 7,, } 9 7 {, } {, 7 } { 7 } 7 L albero trovato è mostrato in figura: Se il costo dell arco (, 7 ) fosse un parametro reale ɛ, l etichetta del nodo 7 diverrebbe d7 = + ɛ. L albero individuato continuerebbe ad essere un albero dei cammini minimi di radice per tutti e soli i valori di ɛ per cui le condizioni di Bellman continuano a valere. Ovvero, si considerino gli archi non nell albero incidenti il nodo 7: per (, 7 ) si deve avere che d + c 7 = + d7 = + ɛ, ossia ɛ, mentre per (, 7 ) si deve avere che d + c 7 = + d7 = + ɛ, ossia ɛ 9. Pertanto, per ɛ = l arco (, 7 ) potrebbe sostituire (, 7 ), ottenendo un albero ottimo alternativo. Comunque anche per ɛ < l albero individuato non è l unico albero dei cammini minimi di radice, in quanto già l arco (, ), fuori dall albero, rispetta le condizioni di Bellman all uguaglianza, e potrebbe essere utilizzato per costruire un diverso cammino ottimo fino al nodo.

4 o Appello //9 ) Si individui un flusso massimo dalla sorgente al pozzo sulla rete in figura, utilizzando l algoritmo di Edmonds e Karp a partire dal flusso indicato di valore v =. Nella visita degli archi di una stella uscente si utilizzi l ordinamento crescente dei rispettivi nodi testa (ad esempio, (, ) è visitato prima di (, )). Ad ogni iterazione si fornisca l albero della visita, il cammino aumentante individuato con la relativa capacità, ed il flusso ottenuto con il relativo valore. Al termine, si indichi il taglio (N s, N t ) restituito dall algoritmo e la sua capacità, giustificando la risposta. Si discuta infine come cambierebbero le risposte finali qualora l arco (, ) cambiasse verso, ossia divenisse (, ).,,, 9,, i, u ij, x ij Le iterazioni sono rappresentate di seguito, dall alto in basso. Per ogni iterazione, a sinistra è mostrato l albero della visita ed il cammino aumentante P individuato (archi evidenziati); a destra viene invece indicato il flusso ottenuto in seguito all invio, lungo P, di una quantità di flusso pari alla capacità θ(p, x), con il relativo valore v. Al termine è riportato il taglio ( N s, N t ) = ( { }, {,,,, } ) determinato dall algoritmo; i nodi in N s sono quelli raggiunti durante l ultima visita del grafo residuo (ovvero, la visita in cui si dimostra la non esistenza di un cammino aumentante). Il relativo albero della visita è illustrato nell ultima figura in basso a sinistra (non ha archi, in quanto la visita si ferma immediatamente non appena estratto da Q il nodo, che non ha archi uscenti nel grafo residuo). Il taglio è di capacità minima: infatti u( N s, N t ) = u + u = + = = v.,,, j,, it. ) θ(p, x) = v = it. ) θ(p, x) = v = it. ) θ(p, x) = v = it. ) θ(p, x) = v = it. ) Se l arco (, ) cambiasse verso, ossia divenisse (, ), il flusso ottimo non cambierebbe, ma il taglio di capacità minima si. Infatti in questo caso l algoritmo, all ultima iterazione, determinerebbe il taglio ( N s, N t ) = ( {,,,, }, { } ) che ha capacità u( N s, N t ) = u + u = + = = v. Ciò, incidentalmente, mostra che il taglio ( N s, N t ) originariamente determinato non era l unico di capacità minima.

5 o Appello //9 ) La Befana (B), data l età ormai avanzata ed il costante aumento della domanda di regali conseguente all edonismo dilagante, ha deciso di aggiornare il suo approccio alla logistica distributiva. Per questo ha equipaggiato la sua fidata scopa con due droni a guida completamente autonoma; quando la B si ferma ad un camino, i due droni possono essere fatti partire per consegnare automaticamente i regali ai due camini più vicini, e poi tornare a quello di partenza dove la B deve attenderli. La B dispone di una mappa della città di Napoli sotto forma di un grafo non orientato completo G = ( V, E ), nel quale il vertice s V rappresenta la casa della B sulle pendici del Vesuvio, e tutti gli altri i camini a cui distribuire i regali. Per ogni lato { i, j } E sono dati i tempi t ij e t ij per spostarsi tra i due vertici (simmetrico, trattandosi di volo) rispettivamente per la scopa ed i droni. Il tempo δ di consegna dei regali una volta raggiunto il camino è uguale per la B e per i droni. Date le proprietà magiche del sacco della B, la dimensione (peso/volume) dei regali è irrilevante. Si aiuti la B a continuare a compiere la sua benemerita opera al servizio di tutti i bambini buoni scrivendo come PLI il problema di determinare la sequenza di camini che deve visitare, e per ciascun camino se deve oppure no utilizzare i droni, in modo da terminare la consegna di tutti i regali nel più breve tempo possibile. Per formulare il problema introduciamo le classiche variabili binarie x ij {, } per ogni { i, j } E che indicano se la B si sposta con la scopa direttamente da i a j o viceversa. Considerando il classico grafo orientato G = ( V, A ) in cui A contiene entrambi gli archi ( i, j ) e ( j, i ) per ogni lato { i, j } E, introduciamo le tipiche variabili di flusso f ij per ogni ( i, j ) A. Per ogni i V = V \ { s } possiamo calcolare staticamente i due camini h(i) e k(i) più vicini ad i, ossia per cui i tempi di volo t ih(i) e t ik(i) sono i due minimi tra tutti i t ij ; da ciò definiamo il tempo t i = max{ t ih(i), t ik(i) } che la B deve attendere affinché i droni vadano e tornino. Si noti che B impiega δ a consegnare come i droni, quindi il termine δ non deve essere aggiunto al tempo di attesa (perché per quel tempo la B sta consegnando e non attendendo). Inoltre, definiamo V (i) come l insieme (possibilmente vuoto) dei camini vicini ad i, ossia tutti i j V tali che i = h(j) oppure i = k(j). Quindi, per ogni i V definiamo anche le variabili binarie v i {, } che indicano se il camino i viene visitato direttamente dalla B, e d i {, } che indicano se i droni sono rilasciati in i. Con tali variabili, un modello PLI del problema è il seguente: min { i, j } E t ijx ij + δ i V v i + i V t id i () { i = s x ij = v i i s i V () { i, j } E ( j, i ) A f ji ( i, j ) A { f ij = h V v h v i i = s i s i V () f ij + f ji V x ij { i, j } E () d i v i i V () v i + h V (i) d h = i V () x ij {, } { i, j } E (7) f ij ( i, j ) A () v i {, } i V (9) d i {, } i V () La funzione obiettivo () minimizza il tempo totale, dato dal tempo di volo della scopa (primo termine), il tempo di consegna (secondo termine) ed il tempo di attesa (terzo termine). I vincoli () garantiscono che ogni camino visitato direttamente dalla B abbia esattamente due lati incidenti, e che questo accada sicuramente per l origine s. I vincoli () garantiscono che sul sottografo di G comprendente tutti gli archi ( i, j ) tali che f ij > esistano cammini tra s ed ogni nodo indicato come visitato (con v i = ), ed i vincoli () garantiscono che x ij = per ogni lato tale per cui f ij > oppure f ji >, il che garantisce che il sottografo di G indicato dalle x ij sia connesso, e quindi per via di () un ciclo Hamiltoniano sui vertici indicati dalle v i. I vincoli () garantiscono che i droni possano essere rilasciati solamente per camini che sono visitati dalla B, ed i vincoli () garantiscono che ogni camino i sia visitato o direttamente dalla B, oppure da un drone rilasciato da un camino h vicino ad i che sia visitato direttamente; ovviamente, se V (i) = la variabile v i è fissata ad e quindi può essere eliminata modificando () e () in modo opportuno (ed eliminando () in quanto inutile). Gli ultimi vincoli (7)-() sono quelli di integralità e segno/bounds sulle variabili.

6 o Appello //9 ) Si applichi all istanza di TSP in figura un algoritmo di B&B che usa MST come rilassamento, nessuna euristica, ed effettua il branching selezionando il nodo col più piccolo valore r > di lati dell MST in esso incidenti (a parità di tale valore, quello con indice minimo) e creando r(r )/ figli corrispondenti a tutti i modi possibili per fissare a zero la variabile corrispondente a r di tali lati. Per ogni nodo dell albero si riportino la soluzione ottenuta dal rilassamento con la corrispondente valutazione inferiore; si indichi poi se, e come, viene effettuato branching o se il nodo viene chiuso e perché. Si visiti breadth-first l albero delle decisioni, ossia si implementi Q come 7 una fila, e si inseriscano in coda i figli di ogni nodo in ordine lessicografico crescente dell insieme di lati fissati a zero. Si visitino solamente i primi nodi dell albero delle decisioni, compresa la radice; al termine si indichino la miglior valutazione superiore ed inferiore determinata sul valore ottimo del problema, giustificando tutte le risposte. Indichiamo con z la valutazione inferiore ottenuta ad ogni nodo e con z la migliore delle valutazioni superiori determinate (inizialmente z = + ). La coda Q viene inizializzata inserendovi il solo nodo radice dell albero delle decisioni, corrispondente a non aver fissato alcuna variabile. Nodo radice L MST, con z =, è mostrato in (a). Poichè non è un ciclo Hamiltoniano, non si è determinata alcuna soluzione ammissibile; pertanto z = < z = + ed occorre procedere col branching. Ciò corrisponde a selezionare il nodo, che ha tre lati incidenti e creare i ( )/ = figli, inseriti in Q in quest ordine, in cui si fissano a zero rispettivamente i lati {, }, {, } e {, }. x = L MST, con z =, è mostrato in (b). Poichè z = < z = +, occorre procedere col branching. Ciò corrisponde a selezionare il nodo, che ha tre lati incidenti, e creare i tre figli, inseriti in Q in quest ordine, in cui si fissano a zero rispettivamente i lati {, }, {, } e {, }. x = L MST, con z =, è mostrato in (c). Poiché si tratta di un ciclo Hamiltoniano, e < z = +, si pone z = ; inoltre il nodo viene chiuso per ottimalità. In altri termini, poiché z = z =, il nodo viene chiuso dalla valutazione inferiore. x = L MST, con z =, è mostrato in (d). Poiché z = > z =, il nodo viene chiuso dalla valutazione inferiore. x = x = L MST, con z =, è mostrato in (e). Poiché z = > z =, il nodo viene chiuso dalla valutazione inferiore. x = x = Poiché il nodo ha solamente un arco incidente non può esistere alcun ciclo Hamiltoniano nel sottografo, e quindi il nodo viene chiuso per inammissibilità. Poiché è stato esplorato il massimo numero di nodi, l algoritmo termina. L analisi dell algoritmo B&B assicura che la valutazione inferiore globale è pari a min{ z, min { z(p ) : P Q } }, dove Q è l insieme dei predecessori immediati dei nodi in Q. Poiché Q contiene il singolo nodo x = x =, la valutazione inferiore globale a terminazione è data dalla valutazione inferiore del padre (il nodo x = ), ossia z =. Con la miglior valutazione superiore disponibile z =, ciò corrisponde ad un gap pari a (z z)/z = / =.%. a) b) c) d) e)