RICERCA OPERATIVA (a.a. 2016/17) Nome: Cognome: Matricola:

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1 o Appello // RICERCA OPERATIVA (a.a. /) Nome: Cognome: Matricola: ) Si consideri un generico problema di PL e la sua funzione valore φ(b) = min { cx : Ax b }, ossia la funzione che mappa il lato destro dei vincoli del problema nel valore ottimo dello stesso. Ricordando che una funzione f : R n R è convessa se il suo epigrafo epi(f) = { (v,x) : v f(x) } R n+ è un insieme convesso, si dimostri che φ è una funzione convessa. L epigrafo di φ, per definizione, è epi(φ) = { (v,b) : v φ(b) } = { (v,b) : v min { cx : Ax b }}. Utilizzando la dualità lineare, l insieme si può quindi riscrivere { epi(φ) = (v,b) : v max { yb : ya = c, y }}. Ogni punto (v,b) di epi(φ) deve essere tale v y b, dove y è la soluzione ottima del problema (che dipende da b). Si noti che se il problema primale è vuoto per un certo valore b, allora il duale è illimitato; in entrambe i casi φ( b) =, di conseguenza nessun punto (v, b) appartiene ad epi(φ) ( b non appartiene al dominio di φ)). Da ciò si deduce che a fortiori occorre che v yb per ogni y tale che ya = c, y. In altri termini, è ovviamente possibile riscrivere epi(φ) = { (v,b) : v yb, ya = c, y }, ossia epi(φ) è un poliedro (convesso), e pertanto φ è convessa.

2 o Appello // ) Si risolva graficamente il problema di PL indicato in figura, utilizzando l algoritmo del Simplesso Duale a partire dalla base B = {,}. Per ogni iterazione si indichino: la base, la soluzione primale di base (in figura), l indice entrante k, i segni delle componenti dei vettori y B e η B, l indice uscente h, giustificando le risposte. Si discuta inoltre la degenerazione, sia primale che duale, delle basi visitate dall algoritmo. In caso di ottimo finito si discuta se la soluzione primale ottima individuata sia unica, e nel caso in cui non lo sia si caratterizzino tutte le soluzioni primali ottime, giustificando la risposta. A c A A x x x A A A c=a =A = A it. ) B = {,}. Poiché x viola i vincoli e, k = min{i N : A i x > b i } = min{,} = per la regola anticiclo di Bland. y > e y > in quanto c è interno a cono(a,a ) (non coincide con nessuno dei due generatori), come mostrato in figura (a)). La base è primale degenere in quanto I(x ) = {,,}, ma duale non degenere in quanto y i per ogni i B. Poiché A = c, risultano η = y >, η = y >, θ = min{y i /η i : i B, η i > } = y /η = y /η = ; pertanto, h = min{i B : θ = yi /η i } = min{,} = per la regola anticiclo di Bland. it. ) B = {,}. Poichéx viola i vincoli e, k = min{,} = per la regola anticiclo di Bland. y = e y = > in quanto c = A. La base è primale non degenere, ma duale degenere in quanto y =. Poiché A cono(a, A ), come mostrato in figura (b), risultano η > ed η < ; pertanto, θ = y /η = (iterazione degenere) e h =. it. ) B = {,}, Poiché x viola il solo vincolo, k =. y = e y = in quanto c = A ; la soluzione duale non cambia, infatti il passo precedente è stato degenere. La base è primale non degenere, ma ovviamente ancora duale degenere. Poiché A = A, risultanoη = ed η =. L algoritmo quindi termina in quanto η B : il problema duale è inferiormente illimitato, ed il problema primale è vuoto. c =A c=a A A A (a) A (b) A In quanto non esiste nessuna soluzione primale ottima (non esiste nessuna soluzione primale ammissibile), non ha senso discuterne l unicità.

3 o Appello // ) Si individui un albero dei cammini minimi di radice sul grafo in figura, utilizzando l algoritmo più appropriato dal punto di vista della complessità computazionale e giustificando la scelta effettuata. Per ogni iterazione si forniscano il nodo selezionato, i vettori dei predecessori e delle etichette e l insieme dei nodi candidati Q (se utilizzato). Durante l esecuzione dell algoritmo si esplorino gli archi della stella uscente del nodo selezionato in ordine crescente del nodo testa. Al termine si disegni l albero dei cammini minimi individuato. Si indichi poi come cambierebbero le risposte se l arco (,9) invertisse il suo verso e costo, diventando (9,) di costo. Rinumerando i nodi come segue originale 9 rinumerato 9 - si dimostra che il grafo è aciclico: infatti per ogni arco (i,j) del grafo rinumerato risulta i < j. L algoritmo più conveniente dal punto di vista computazionale risulta quindi essere SPT.Acyclic, che ha complessità in tempo O(m) (anche in presenza di archi di costo negativo). Nello svolgimento si utilizzano i nomi dei nodi dopo la rinumerazione, e si riporta solamente il numero dell iterazione, in quanto all iterazione i-esima viene selezionato il nodo i; inoltre, non viene usata alcuna struttura dati Q. M = (n )max{c ij : (i,j) A}+ = 9 + =. p[ ] d[ ] it L albero dei cammini minimi individuato (sul grafo rinumerato) è Se l arco (9,) invertisse il suo verso diventando (,9), il grafo non sarebbe più aciclico in quanto esisterebbe il ciclo (,,9,). Questo significherebbe che l algoritmo più appropriato dal punto di vista della complessità computazionale diverrebbe SPT.L.Queue, che ha complessità O(mn) anche nel caso di presenza di archi di costo negativo. In particolare, SPT.L.Queue può essere modificato in modo semplice in modo da avere complessità O(mn) anche nel caso di presenza di cicli orientati di costo negativo, come appunto il ciclo (,,9,) che avrebbe costo. In questo caso, quindi, l albero precedentemente determinato non rimarrebbe l albero dei cammini minimi, in quanto il problema sarebbe inferiormente illimitato, cosa che SPT.L.Queue determinerebbe in O(mn).

4 o Appello // ) Si risolva il problema di flusso di costo minimo relativamente all istanza in figura (gli sbilanciamenti non sono riportati in quanto tutti nulli) utilizzando l algoritmo dei cammini minimi successivi. Per ogni iterazione si mostri lo pseudoflusso corrente con gli sbilanciamenti dei nodi, l albero dei cammini minimi determinato con le relative etichette, il cammino scelto e la quantità di flusso inviata. Al termine, se si è determinata una soluzione ottima se ne discuta l unicità., -, Durante l inizializzazione viene saturato l arco (, ), l unico di costo negativo. Le iterazioni sono mostrate in figura, dall alto in basso. A sinistra è rappresentato lo pseudoflusso (minimale) ed i corrispondenti sbilanciamenti dei nodi (solo quelli non nulli), a destra l albero dei cammini minimi sul grafo residuo(archi tratteggiati) con le relative etichette; il cammino selezionato è quello (l unico) dell albero entrante nel nodo, l unico con sbilanciamento negativo, per il quale viene mostrata con l quantità θ di flusso inviata. L ultima figura a destra riporta lo pseudoflusso minimale al termine della terza iterazione; essendo questo un flusso ammissibile è la soluzione ottima del problema.,,, i, c ij, u ij,,,, j,9 - θ = θ = θ = La soluzione non è unica. Ciò si evince chiaramente dal fatto che, nell albero dei cammini minimi dell ultima iterazione, l arco (, ) ( sorella nel grafo residuo dell arco (, ) soddisfa le condizioni di Bellman come uguaglianza. Pertanto, il ciclo orientato (,, ) sul grafo residuo ha costo nullo. Siccome tale ciclo non è interessato dall ultimo cammino aumentante utilizzato, esso esiste sicuramente ancora nel grafo residuo relativo alla soluzione ottima, e corrisponde quindi ad un ciclo aumentante di costo nullo rispetto alla soluzione ottima determinata. Inviando flusso lungo tale ciclo si possono costruire soluzioni ottime alternative.

5 o Appello // ) Tommaso, accanito giocatore di Piante Contro Bombi, sta pianificando un livello particolarmente difficile in modalità prepara le tue difese e sconfiggi i Bombi. Si gioca su una scacchiera cartesiana con righe e 9 colonne: in ogni cella (i,j) si può piantare una pianta, tipicamente da sinistra a destra (j =,,...) perché gli insetti arrivano da destra a sinistra. Sono disponibili tre tipi di piante offensive: Sparapiselli (P), Lillamerang (L) e Melonpulta (M), di costo rispettivamente, e Soli (S), e di potenza rispettivamente,. e.9 Semi Equivalenti (SE). Mentre P ed L sparano solamente sulla loro fila, M colpiscono le tre file adiacenti centrate su quella in cui sono piantati (senza rientro in alto ed in basso). Inoltre sono disponibili due tipi di piante difensive: Noce (N) e Durone (D), di costo rispettivamente e S. Tommaso ha a disposizione un budget di S. Se la potenza di fuoco su una fila è inferiore a. SE, però, i bombi possono entrare in contatto con le piante e divorarle; per questo è necessario piazzare (subito a destra delle altre piante) in quella fila una N. Se la potenza di fuoco è addirittura inferiore a.9 SE, occorre invece piazzare un D, più resistente (e costoso). Si formuli come PLI il problema di decidere quali piante piantare in ogni fila per massimizzare la minima potenza di fuoco complessiva tra tutte le file (dato che il gioco è perso se anche un solo insetto riesce ad attraversare tutta la scacchiera). Per modellare il problema introduciamo le variabili x p i, per p P = { P, L, M, N, D } ed i I = {,...,} che indicanoil numerodi piantedi tipo p chevengonopiantate sullafila i; in generalenon èimportante saperein che ordine vengono piantate, ossia in quali specifiche caselle della fila, sapendo che saranno piantate a sinistra e che l eventuale N/D sarà la piante più a destra di tutte. Definiamo in modo ovvio le costanti c p per p P che rappresentano il costo in S della pianta di tipo p, e, per le sole piante offensive p O = { P, L, M, } P, f p che rappresentano la potenza di fuoco della pianta in SE. Per comodità introduciamo anche le variabili y i che rappresentano la potenza di fuoco complessiva sulla fila i I, e la variabile di soglia z che ne rappresenta il minimo. Una formulazione del problema è quindi: max z z y i i I () p P xp i 9 i I () i I p P cp x p i () y = p O fp x p +fm x M () y i = p O fp x p i +fm (x M i +xm i+ ) i =,, () y = p O fp x p +fm x M () y i..9x N i.x D i i I () x N i +x D i i I (9) x p i N i I, p P () y i N i I () La funzione obiettivo () massimizza z, che i vincoli () costringono ad essere una valutazione inferiore su tutte le y i ; di conseguenza si sta massimizzando la minima y i. Il vincolo () quasi sicuramente ridondante impone che non si piantino più di 9 piante per riga. Il vincolo () è quello del budget sui Soli. I vincoli (), () e () definiscono le variabili y i ; occorre trattare in modo particolare i = perché non ha una fila sotto ed i = perché non ha una fila sopra, mentre le tre file centrali le hanno entrambe. Si noti che si potrebbe fare a meno delle variabili y i, sostituendole ovunque con il lato destro di questi vincoli. Il vincolo () impone che y i sia maggiore od uguale di. a meno che non si pianti una N sulla fila, nel qual caso deve essere solamente maggiore di.9, oppure non si pianti un D, nel qual caso può essere qualsiasi numero non-negativo. Il vincolo (9) garantisce su ogni fila si pianti al massimo una tra una N o un D; ciò serve ad impedire che si piantino, ad esempio, N invece di un D se y i è inferiore a (il che costerebbe meno, ma non è previsto dal testo). Si noti che questo implica che x N i e x D i sono variabili binarie, anche se ciò non viene esplicitamente dichiarato negli ultimi vincoli, che sono quelli di integralità (e segno, quindi bounds) sulle variabili. ()

6 o Appello // ) Si applichi all istanza di TSP in figura un algoritmo di B&B che usa MST come rilassamento, nessuna euristica, ed effettua il branching selezionando il nodo col più piccolo valore r > di lati dell MST in esso incidenti (a parità di tale valore, quello con indice minimo) e creando r(r )/ figli corrispondenti a tutti i modi possibili per fissare a zero la variabile corrispondente a r di tali lati. Si visiti breadth-first 9 l albero delle decisioni, ossia si implementi Q come una fila, e si inseriscano in coda i figli di ogni nodo in ordine lessicografico crescente dell insieme di lati fissati a zero. Si esegua l algoritmo fino al momento in cui si possa certificare di avere ottenuto una soluzione con un errore assoluto pari al massimo ad, sfruttando questa condizione, ove possibile, per velocizzare l algoritmo. Per ogni nodo dell albero si riportino la soluzione ottenuta dal rilassamento con la corrispondente valutazione inferiore; si indichi poi se, e come, viene effettuato branching o se il nodo viene chiuso e perché. Alla fine si commenti la soluzione ottenuta, giustificando il fatto che abbia in effetti un errore assoluto pari al massimo ad. Indichiamo con z la valutazione inferiore ottenuta ad ogni nodo e con z la migliore delle valutazioni superiori determinate (inizialmente z = + ). La coda Q viene inizializzata inserendovi il solo nodo radice dell albero delle decisioni, corrispondente a non aver fissato alcuna variabile. Si pone inoltre ε = il massimo errore ammesso. Nodo radice L MST, con z =, è mostrato in (a). Poichè non è un ciclo Hamiltoniano, non si è determinata alcuna soluzione ammissibile; pertanto z = < z ε = + ed occorre procedere col branching. Ciò corrisponde a selezionare il nodo, che ha tre lati incidenti e creare i ( )/ = figli, inseriti in Q in quest ordine, in cui si fissano a zero rispettivamente i lati {,}, {,} e {,}. x = Poiché il nodo ha un solo lato incidente nel grafo è ovviamente impossibile costruire un ciclo Hamiltoniano: il nodo viene quindi chiuso per inammissibilità. x = Poiché il nodo ha un solo lato incidente nel grafo è ovviamente impossibile costruire un ciclo Hamiltoniano: il nodo viene quindi chiuso per inammissibilità. x = Poiché il nodo ha un solo lato incidente nel grafo è ovviamente impossibile costruire un ciclo Hamiltoniano: il nodo viene quindi chiuso per inammissibilità. Poiché Q è vuota, l algoritmo termina. Siccome z = +, si è determinato che non esiste alcune soluzione ammissibile per il problema, come in effetti è facile verificare. In questo caso, quindi, l errore massimo ε = non è entrato in gioco: il problema è stato risolto in modo esatto, ossia z = + è in effetti il valore ottimo del problema. a)