Capitolo 3: Ottimizzazione Discreta. E. Amaldi DEI, Politecnico di Milano

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1 Capitolo 3: Ottimizzazione Discreta E. Amaldi DEI, Politecnico di Milano

2 3.1 Modelli di PLI e PLMI Moltissimi problemi decisionali complessi possono essere formulati come problemi di Programmazione Lineare in cui tutte (alcune) variabili sono vincolate ad assumere valori interi. Programmazione Lineare Intera (PLI): min c t x Ax b x 0 intere dove la matrice A è di dimensione m n, i vettori c e b sono di dimensione n e rispettivamente m. Se tutte le variabili devono assumere valori binari si tratta Programmazione Lineare Binaria (PL0 1) Programmazione Lineare Mista-Intera (PLMI): min c t 1x + c t 2y A 1 x + A 2 y b x 0, y 0 intere dove le matrici A 1 e A 2 sono di dimensione m n 1 e rispettivamente m n 2, i vettori c 1, c 2 e b sono di dimensione n 1, n 2 e rispettivamente m. 1

3 1) Problema di Zaino Binario Knapsack Un azienda deve decidere come investire un capitale b. Sono disponibili n investimenti. Sia a i la somma da investire nel caso si scelga di effettuare l i-esimo investimento, con 1 i n. Sia p i il profitto atteso dell i-esimo investimento. Problema: determinare quali investimenti effettuare in modo da massimizzare il profitto atteso totale. 2

4 1) Problema di Zaino Binario Knapsack Un azienda deve decidere come investire un capitale b. Sono disponibili n investimenti. Sia a i la somma da investire nel caso si scelga di effettuare l i-esimo investimento, con 1 i n. Sia p i il profitto atteso dell i-esimo investimento. Problema: determinare quali investimenti effettuare in modo da massimizzare il profitto atteso totale. Formulazione di PLI Variabili di decisione: x i = 1 se si effettua l i-esimo investimento e x i = 0 altrimenti, con 1 i n max n i=1 p ix i n i=1 a ix i b x i {0, 1} i Svariate applicazioni dirette e indirette (come sotto-problema) 3

5 2) Problema di Assegnamento Assignment Dati n progetti (jobs) e n ingegneri (macchine), supponiamo che ogni progetto possa essere eseguito da qualsiasi ingegnere. Sia c ij il costo se i-esimo progetto è eseguito dal j-esimo ingegnere, con 1 i, j n. Ogni progetto deve essere assegnato esattamente ad un ingegnere e ogni ingegnere deve vedersi assegnare esattamente un progetto. Problema: decidere quale progetto assegnare ad ogni ingegnere in modo da minimizzare il costo totale necessario per completare tutti i progetti. Numero di soluzioni ammissibili = n! 4

6 2) Problema di Assegnamento Assignment Dati n progetti (jobs) e n ingegneri (macchine), supponiamo che ogni progetto possa essere eseguito da qualsiasi ingegnere. Sia c ij il costo se i-esimo progetto è eseguito dal j-esimo ingegnere, con 1 i, j n. Ogni progetto deve essere assegnato esattamente ad un ingegnere e ogni ingegnere deve vedersi assegnare esattamente un progetto. Problema: decidere quale progetto assegnare ad ogni ingegnere in modo da minimizzare il costo totale necessario per completare tutti i progetti. Formulazione di PLI Variabili di decisione: x ij = 1 se i-esimo progetto viene assegnato al j-esimo ingegnere e x ij = 0 altrimenti, con 1 i, j n min n n i=1 j=1 c ijx ij s.v. n i=1 x ij = 1 n j=1 x ij = 1 x ij {0, 1} j i i, j 5

7 3) Problema di Copertura di un Insieme Set Covering Siano M = {1, 2,..., m} un insieme di clienti N = {1, 2,..., n} un insieme di siti nei quali si possono localizzare dei centri di servizio M j M il sottoinsieme di clienti serviti adeguatamente se un centro è localizzato in j, con j N c j il costo di localizzare un centro nel sito j determinare dove localizzare i centri in modo da servire ( coprire ) tutti i clienti a costo totale minimo. 6

8 3) Problema di Copertura di un Insieme Set Covering Siano M = {1, 2,..., m} un insieme di clienti N = {1, 2,..., n} un insieme di siti nei quali si possono localizzare dei centri di servizio M j M il sottoinsieme di clienti serviti adeguatamente se un centro è localizzato in j, con j N c j il costo di localizzare un centro nel sito j determinare dove localizzare i centri in modo da servire ( coprire ) tutti i clienti a costo totale minimo. Formulazione di PLI Variabili di decisione: x j = 1 se si localizza un centro nel sito j e x j = 0 altrimenti, con 1 j n min s.v. n j=1 c jx j j:i M j x j 1 i (1) x j {0, 1} j dove i vincoli (1) sono quelli di copertura 7

9 Set covering : min n c j x j : Ax e, x {0, 1} n j=1 dove A = [a ij ] con a ij = 1 se i M j e a ij = 0 altrimenti, ed e = (1, 1,..., 1) t Set packing : max n c j x j : Ax e, x {0, 1} n j=1 dove i parametri c j rappresentano profitti Set partitioning : min o max n c j x j : Ax = e, x {0, 1} n j=1 dove i parametri c j possono rappresentare sia costi che profitti 8

10 4) Problema del Commesso Viaggiatore (asimmetrico) Asymmetric TSP Dato un grafo orientato G = (V, A), dove V = {1, 2,..., n}, con un costo c ij R associato ad ogni arco (i, j) A, determinare un ciclo che visita esattamente una volta ogni nodo (ciclo Hamiltoniano) di costo totale minimo. 9

11 4) Problema del Commesso Viaggiatore (asimmetrico) Asymmetric TSP Dato un grafo orientato G = (V, A), dove V = {1, 2,..., n}, con un costo c ij R associato ad ogni arco (i, j) A, determinare un ciclo che visita esattamente una volta ogni nodo (ciclo Hamiltoniano) di costo totale minimo. Se il grafo G è completo, il numero di cicli Hamiltoniani = (n 1)! Tipico problema di instradamento Molte varianti (grafo orientato e non orientato) con vincoli di precedenza, vincoli temporali, più veicoli da instradare ( Vehicle Routing Problem ),... Molteplici applicazioni: logistica, sequenziamento di operazioni,... Sito web: 10

12 Una formulazione di PLI Variabili di decisione: x ij = 1 se il ciclo Hamiltoniano contiene l arco (i, j) e x ij = 0 altrimenti, per (i, j) A min s.v. (i,j) A c ijx ij i: (i,j) A x ij = 1 j j: (i,j) A x ij = 1 i (i,j) A: i S, j V \S x ij 1 S V, S (2) x ij {0, 1} (i, j) A dove i vincoli (2) sono i cosiddetti vincoli di taglio ( cut-set inequalities ) 11

13 Una formulazione di PLI Variabili di decisione: x ij = 1 se il ciclo Hamiltoniano contiene l arco (i, j) e x ij = 0 altrimenti, per (i, j) A min (i,j) A c ijx ij s.v. i: (i,j) A x ij = 1 j j: (i,j) A x ij = 1 i (i,j) A: i S, j V \S x ij 1 S V, S (3) x ij {0, 1} (i, j) A dove i vincoli (3) sono i cosiddetti vincoli di taglio ( cut-set inequalities ) Formulazione di PLI alternativa contiene, al posto dei vincoli (3), i cosiddetti vincoli di eliminazione dei sottocicli ( subtour elimination inequalities ): (i,j) A: i,j S x ij S 1 S V, 2 S n 1 (4) NB: I vincoli (3) e (4) sono in numero esponenziale rispetto alla dimensione di G 12

14 5) Mix produttivo con costi fissi Un azienda deve decidere quali/quanti articoli produrre il prossimo mese in modo da minimizzare i costi di produzione soddisfacendo la domanda. Per ogni articolo i, con 1 i n, siano c i > 0 il costo unitario e f i > 0 il costo fisso (se si produce). Inoltre, sia k i > 0 la quantità massima di i-esimo articolo che può essere prodotta al mese. 13

15 5) Mix produttivo con costi fissi Un azienda deve decidere quali/quanti articoli produrre il prossimo mese in modo da minimizzare i costi di produzione soddisfacendo la domanda. Per ogni articolo i, con 1 i n, siano c i > 0 il costo unitario e f i > 0 il costo fisso (se si produce). Inoltre, sia k i > 0 la quantità massima di i-esimo articolo che può essere prodotta al mese. Formulazione di PLMI: Variabili di decisione: x i = quantità di articolo i prodotta, con 1 i n y i = 1 se x i > 0 e y i = 0 se x i = 0, con 1 i n min n i=1 (c ix i + f i y i ) s.v. x i k i y i i vincoli di domanda... x i 0 i y i {0, 1} i 14

16 5) Mix produttivo con costi fissi Un azienda deve decidere quali/quanti articoli produrre il prossimo mese in modo da minimizzare i costi di produzione soddisfacendo la domanda. Per ogni articolo i, con 1 i n, siano c i > 0 il costo unitario e f i > 0 il costo fisso (se si produce). Inoltre, sia k i > 0 la quantità massima di i-esimo articolo che può essere prodotta al mese. Formulazione di PLMI: Variabili di decisione: x i = quantità di articolo i prodotta, con 1 i n y i = 1 se x i > 0 e y i = 0 se x i = 0, con 1 i n min n i=1 (c ix i + f i y i ) s.v. x i k i y i i vincoli di domanda... x i 0 i y i {0, 1} i NB: La formulazione non è del tutto esatta, la soluzione x i = 0 e y i = 1 per ogni i è ammissibile per il PLMI, anche se non può essere ottima (minimizzazione e costi fissi f i positivi). 15

17 6) Localizzazione ottima senza vincoli di capacità Uncapacitated Facility Location (UFL) Siano N = {1, 2,..., n} un insieme di siti nei quali si possono localizzare dei depositi M = {1, 2,..., m} un insieme di clienti f j il costo fisso di utilizzo del deposito in j c ij il costo di trasporto se tutta la domanda del cliente i è soddisfatta dal deposito j, determinare dove localizzare i depositi in modo da soddisfare la domanda di tutti i clienti minimizzando i costi (costi di trasporto e costi di utilizzo). 16

18 Formulazione di PLMI Variabili di decisione: x ij = frazione della domanda del cliente i soddisfatta dal deposito j, con 1 i m e 1 j n y j = 1 se si utilizza il deposito j e y j = 0 altrimenti, con 1 j n min i M s.v. j N c ijx ij + j N f jy j j N x ij = 1 i M i M x ij my j j N (5) y j {0, 1} j N 0 x ij 1 i M, j N con n vincoli (5) che legano le variabili x ij e y j NB: Se d i indica la domanda del cliente i e k j la capacità del deposito j, gli eventuali vincoli di capacità: d i x ij k j y j j N i M 17

19 7) Pianificazione della produzione Uncapacitated Lot-Sizing (ULS) Un impresa deve pianificare la produzione di un solo tipo di prodotto per i prossimi n mesi. Si suppone che il magazzino sia vuoto all inizio del periodo di pianificazione e che alla fine del periodo debbano rimanere in magazzino 50 unità. Siano f t il costo fisso di produzione durante il periodo t p t il costo unitario di produzione durante il periodo t h t il costo unitario di immagazzinamento durante il periodo t d t domanda per il periodo t determinare un piano di produzione per i prossimi n mesi che permetta di minimizzare i costi (produzione e magazzino) soddisfacendo la domanda ad ogni periodo. Formulare il problema come un PLMI. 18

20 Formulazione di PLMI Variabili di decisione: x t = quantità prodotta durante il periodo t, con 1 t n s t = quantità in magazzino alla fine del periodo t, con 0 t n y t = 1 se si attiva la produzione durante il periodo t e y j = 0 altrimenti, con 1 t n min n t=1 p tx t + n t=1 h ts t + n t=1 f ty t s.v. s t = s t 1 + x t d t t x t My t s 0 = 0, s n = 50, s t, x t 0 y t {0, 1} dove M > 0 un limite superiore sulla massima quantità prodotta durante ogni periodo. NB: Se s n = 0, anche x t ( n t d t)y t. Inoltre è possibile sostituire s t = t i x i t i d i t t t 19

21 3.2 Formulazioni alternative ed ideali In Programmazione Lineare (PL) le migliori formulazioni sono le più compatte (con il minor numero di variabili/vincoli) visto che la complessità computazionale dei problemi cresce polinomialmente con n e m. La scelta della formulazione non determina la possibilità di risolvere o meno il problema. La situazione è molto diversa per i problemi di PLI e PLMI: estese campagne computazionali indicano che la scelta della formulazione è cruciale. Per capire cosa caratterizza le buone formulazioni, partiamo dal concetto di rilassamento continuo (lineare) di un PLI o PLMI. 20

22 Definizione: Dato un qualsiasi problema di PLMI (PLI) z P LMI = min c t 1x + c t 2y s.v. A 1 x + A 2 y b (6) x 0, y 0 intere (7) il suo rilassamento continuo (lineare) è il seguente problema di PL: z P L = min c t 1 + c t 2y s.v. A 1 x + A 2 y b (8) x 0, y 0 (9) dove il vincolo di interezza sulle variabili y j è omesso. Se una variabile intera y j nel PLMI è tale che 0 y j u j, nel rilassamento continuo y j [0, u j ]. Sia X P LMI la regione ammissibile del PLMI definita da (6)-(7) e X P L quella del rilassamento continuo definita da (8)-(9). Conseguenze: Poiché X P LMI X P L e i problemi sono di minimizzazione, abbiamo: z P L z P LMI, ovvero z P L è un limite inferiore rispetto a z P LMI ; se una soluzione ottima x P L del rilassamento continuo è ammissibile per il PLI/PLMI di partenza, è anche ottima per quest ultimo. Se il PLMI è di massimizzazione, chiaramente z P LMI z P L. 21

23 Qualsiasi problema di PLI/PLMI ammette un numero infinito di formulazioni corrette alternative con regioni ammissibili del rilassamento continuo diverse. Definizione: Un poliedro P R n+p (sottoinsieme definito da un numero finito di vincoli lineari) è una formulazione di un insieme X R n Z p se e solo se X = P (R n Z p ). NB: Nel caso dei costi fissi, non abbiamo considerato l insieme X = {(0, 0), (x i, 1) per 0 < x k i } ma X {(0, 1)}. Esempi: 1) Due formulazioni alternative per il TSP con vincoli di taglio o di eliminazione di sotto-cicli. 2) Formulazione di PLMI alternativa per il problema UFL: min i M j N c ijx ij + j N f jy j s.v. j N x ij = 1 i M x ij y j i M, j N (10) y j {0, 1} j N 0 x ij 1 i M, j N con mn vincoli (10) che legano le variabili x ij e y j. 22

24 Le formulazioni alternative possono adoperare variabili aggiuntive o variabili diverse. Nel primo caso si parla di formulazioni estese. Esempio: Formulazione di PLMI estesa per il problema ULS Variabili di decisione: w it = quantità prodotta durante il periodo i e venduta durante il periodo t, con 1 i t n y t = 1 se si attiva la produzione durante il periodo t e y j = 0 altrimenti, con 1 t n min n n i=1 t=i c itw it + n t=1 f ty t s.v. t i=1 w it = d t t w it d t y i i, t, i t x i = n t=i w it i (11) w it 0 i, t, i t y t {0, 1} t con i costi aggregati (produzione e magazzino) c it = p i + h i h t 1. NB: I vincoli (12) esprimono le vecchie variabili x i in funzione delle nuove w it. 23

25 Definizione: Dato un insieme convesso C R n, x C è un un punto estremo se non può essere espresso come combinazione convessa di due punti distinti di C. Sia X = {x 1,..., x k } l insieme delle soluzioni ammissibili di un PLI. Supponiamo che X sia limitato e quindi un insieme finito. Teorema: conv(x) è un poliedro e i punti estremi di conv(x) appartengono a X. Questo risultato, che vale anche per insiemi X illimitati di punti interi e di punti misti interi, implica: min{c t x : x X} = min{c t x : x conv(x)} In teoria, il problema di PLI/PLMI si può ricondurre ad un singolo problema di PL! In pratica, anche per X limitato, la formulazione ideale è spesso di dimensione esponenziale o difficile da determinare. Chiaramente la regione ammissibile P di qualsiasi rilassamento continuo soddisfa: conv(x) P. Definizione: La formulazione ideale di un insieme X R n è il poliedro conv(x). Dato un insieme X R n e due formulazioni P 1 e P 2 di X, la formulazione P 1 domina (è più stringente di) quella P 2 se P 1 P 2. 24

26 1) Localizzazione ottima senza vincoli di capacità Uncapacitated Facility Location (UFL) Proprietà: Il rilassamento continuo della formulazione di PLMI alternativa (con i vincoli x ij y j ) domina quello della prima formulazione di PLMI (con i vincoli aggregati i M x ij my j ). Siano P 1 = e P 2 = { (x, y) R nm+n : { (x, y) R nm+n : } j N x ij = 1 i, x ij y j i, j, 0 x ij 1 i, j, 0 y j 1 j j N x ij = 1 i, } i M x ij my j j, 0 x ij 1 i, j, 0 y j 1 j, chiaramente P 1 P 2 (sommando gli m vincoli x ij y j per un dato j si ottiene i M x ij my j per quel j). Inoltre è facile esibire un (x, y) che appartiene a P 2 ma non appartiene a P 1 2) TSP simmetrico Confronto tra le due formulazioni alternative nella prima serie di esercizi 25

27 Confronto tra formulazioni con variabili diverse Consideriamo una prima formulazione con tutte variabili intere (PLI) min{c t x : x P 1 Z n 1 } con P 1 R n 1, e una formulazione estesa min{c t (x, w) : (x, w) P 2 (Z n 1 R n 2 )} con P 2 R n 1 R n 2. Definizione: Dato un insieme convesso P R n 1 R n 2, la proiezione di P sul sottospazio R n 1 è Π x (P ) = {(x R n 1 : (x, w) P per qualche w R n 2 } Per confrontare una formulazione P 1 R n 1 e una formulazione estesa P 2 R n 1 R n 2, si confrontando quindi P e Π x (P 2 ). 26

28 Come determinare le proiezioni dei poliedri sui sottospazi di R n? Metodo di eliminazione di Fourier-Motzkin (inizio 800): Prima procedura per risolvere sistemi di disuguaglianze lineari Descrizione Ad ogni iterazione viene eliminata una variable, combinando in tutti i modi possibili le disuguaglianze correnti (complessità esponenziale). Esempio 27

29 Confronto con formulazione estesa: Pianificazione della produzione (ULS) Confrontiamo la formulazione P 1 descritta da e Π x,s,y (P 2 ), con P 2 descritto da s t = s t 1 + x t d t x t My t s 0 = 0, s t, x t 0 t t t 0 y t 1 t t i=1 w it = d t t w it d t y i i, t, i t x i = n t=i w it i (12) w it 0 i, t, i t 0 y t 1 t E facile verificare che Π x,s,y (P 2 ) P 1. Ad esempio, il punto x t = d t, y t = d t /M per ogni t è un punto estremo di P 1 che non appartiene a Π x,s,y (P 2 ). Inoltre P 2 è la formulazione ideale, ovvero descrive il guscio convesso di tutte le soluzioni ammissibili di ULS. 28