ESERCIZIO 1: Punto 1

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1 ESERCIZIO : Punto La seguente matrice è una matrice delle distanze di un istanza del problema del Commesso Viaggiatore Calcolare.Il valore del rilassamento che si ottiene determinando l -albero di costo minimo.

2 ESERCIZIO : Punto Disegniamo il grafo G = (V, E) associato alla matrice delle distanze.

3 ESERCIZIO : Punto Non consideriamo il nodo v = e calcoliamo il minimo albero ricoprente su G utilizzando l algoritmo di Prim. T = {}; V T = {,,,, } c* i = min {c i : i V T} = c = c =

4 ESERCIZIO : Punto Non consideriamo il nodo v = e calcoliamo il minimo albero ricoprente su G utilizzando l algoritmo di Prim. T = {}; V T = {,,,, } c* i = min {c i : i V T} = c = T = {, }; V T = {,,, }

5 ESERCIZIO : Punto Non consideriamo il nodo v = e calcoliamo il minimo albero ricoprente su G utilizzando l algoritmo di Prim. T = {, }; V T = {,,, } c* i = min {c i : i V T} = c = c* i = min {c i : i V T} = c =c = T = {,,}; V T = {,, }

6 ESERCIZIO : Punto Non consideriamo il nodo v = e calcoliamo il minimo albero ricoprente su G utilizzando l algoritmo di Prim. T = {,, }; V T = {,, } c* i = min {c i : i V T} = c = c* i = min {c i : i V T} = c = T = {,,, }; V T = {, } c* i = min {c i : i V T} = c =

7 ESERCIZIO : Punto Non consideriamo il nodo v = e calcoliamo il minimo albero ricoprente su G utilizzando l algoritmo di Prim. T = {,,, }; V T = {, } c* i = min {c i : i V T} = c = c* i = min {c i : i V T} = c = c = T = {,,,, }; V T = {} c* i = min {c i : i V T} = c = c* i = min {c i : i V T} = c = c =

8 A questo punto, l arco che dista meno dal nodo è l arco (,). T = {,,,,, }; V T = Minimo albero ricoprente = {,,,, } ESERCIZIO : Punto

9 Per calcolare l -abero, re-introduciamo il nodo e prendiamo i due archi di costo minimo uscenti da tale nodo. -albero = {,,,,,, } C(-albero) = 9 = LOWER BOUND ESERCIZIO : Punto

10 ESERCIZIO : Punto La seguente matrice è una matrice delle distanze di un istanza del problema del Commesso Viaggiatore Calcolare. Il valore di una soluzione euristica calcolata con l algoritmo Double Tree.

11 ESERCIZIO : Punto Calcoliamo il minimo albero ricoprente sul grafo di partenza G = (V, E) utilizzando l algoritmo di Prim.

12 ESERCIZIO : Punto T = {}; V T = {,,,,, } c* i = min {c i : i V T} = c = T = {, }; V T = {,,,, }

13 ESERCIZIO : Punto c* i = min {c i : i V T} = c = c = c = c = c* i = min {c i : i V T} = c = T = {,, }; V T = {,,, }

14 ESERCIZIO : Punto c* i = min {c i : i V T} = c = c = c = c = c* i = min {c i : i V T} = c = c = c* i = min {c i : i V T} = c = c = T = {,,, }; V T = {,, }

15 ESERCIZIO : Punto c* i = min {c i : i V T} = c = c = c = c = c* i = min {c i : i V T} = c = c = c* i = min {c i : i V T} = c = c* i = min {c i : i V T} = c = T = {,,,, }; V T = {, }

16 ESERCIZIO : Punto c* i = min {c i : i V T} = c = c = c = c = c* i = min {c i : i V T} = c = c = c* i = min {c i : i V T} = c = c* i = min {c i : i V T} = c = c* i = min {c i : i V T} = c = T = {,,,,, }; V T = {}

17 A questo punto, l arco che dista meno dal nodo è l arco (,). T = {,,,,,, }; V T = Minimo albero ricoprente = {,,,,, } ESERCIZIO : Punto

18 ESERCIZIO : Punto Raddoppiamo gli archi dell albero ricoprente Il percorso euleriano sul multigrafo ottenuto è dato da: P E = {,,,,,,,,,,,, } Ricaviamo il cammino hamiltoniano P H = {,,,,,,, } C(P H ) = 9 = UPPER BOUND

19 ESERCIZIO : Punto La seguente matrice è una matrice delle distanze di un istanza del problema del Commesso Viaggiatore Calcolare. Il valore di una soluzione euristica calcolata con l algoritmo di Christofides.

20 ESERCIZIO : Punto Ereditiamo il minimo albero ricoprente dal punto precedente Individuiamo i nodi di grado dispari: V d = {, } Sottografo completo da V d. indotto Matching perfetto sul sottografo indotto: M = {}

21 ESERCIZIO : Punto Consideriamoil grafo euleriano dato da M T Il percorso euleriano sul multigrafo ottenuto è dato da: P E = {,,,,,,, } In questo caso P H = P E. C(P H ) = 9 = UPPER BOUND

22 ESERCIZIO La tabella che segue contiene una lista di progetti che possono essere attivati nel prossimo anno. Il budget totale a disposizione è 0mila euro. Ogni progetto ha un costo a i e un profitto (atteso) p i. Dopo aver formulato il problema di selezionare un sottoinsieme di progetti in modo da massimizzare il profitto finale e rispettare il vincolo di budget, determinare un upper bound per il profitto massimo ottenibile. Progetto 8 Peso 0 0 Profitto

23 ESERCIZIO Il problema può essere formulato come segue: Variabili di decisione: x i = se e solo se il progetto i-esimo è attivato. z* = max (9x + x + 0x + 0x + 0x + 8x + x + 0x 8 ) x + x + 0x + x + 0x + x + x + x 8 < 0 x {0,} 8

24 ESERCIZIO Consideriamo il rilassamento lineare del problema che corrisponde ad un Knapsack continuo z* RL = max (9x + x + 0x + 0x + 0x + 8x + x + 0x 8 ) x + x + 0x + x + 0x + x + x + x 8 < 0 0 < x < Riordiniamo i progetti in modo tale che p a p a... p n a n

25 ESERCIZIO p /a = 9/ = y p /a = / = 0, y p /a = 0/0 =, y p /a = 0/ = 0 y p /a = 0/0 = y p /a = 8/ = y p /a = / =, y 8 p 8 /a 8 = 0/ = 0,9 y z* RL = max (0y + y + 0y + 9y + 0y + 0y + 8y + y 8 ) y + y + y + y + 0y + 0y + y + y 8 < 0 0 < y <

26 ESERCIZIO Individuiamo il progetto h per cui y = j= y = y = y = y = y = a = 0 j= y = y = y = y = a j = 0 j= y = y = y = y = y = a j = 0 j= y = y = y = y = y = y = h j= a j = 0 j= a j >b a j =9 0 y = y = y = y = y = y = y = a j = 0 h = j= a j = 0 j=

27 ESERCIZIO Per il progetto h fissiamo la variabile y h : h b j= y = a h a j = 0 = 8 =0,9 La restante variabile y 8 = 0. Il valore della funzione obiettivo è pari a z* RL = 98, e corrisponde ad un UPPER BOUND per il valore ottimo z* del problema iniziale.