I Appello Ricerca Operativa 2 bis Compito A

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1 I Appello Ricerca Operativa 2 bis Compito A Cognome e nome:. Esercizio 1. Si consideri il problema del matching di cardinalità massima in un grafo G ed il suo problema di decisione associato: esiste un matching di G di cardinalità L? a) Si fornisca un certificato compatto per la risposta si al problema decisionale associato al seguente grafo, con L = 2. Giustificare la risposta data. b) Si fornisca un certificato compatto per la risposta no al problema decisionale associato al seguente grafo, con L = 4. Giustificare la risposta data a) Un certificato compatto alla risposta si con L = 2 e definito da un qualsiasi matching di G = (V, E) di cardinalità 2. Ad esempio: {{1,2}, {7,8}}. b) Il problema del matching di cardinalità massima può essre formulato come PLI nel seguente modo: max 1 t x tale che A x 1, x {0,1} E, dove A rappresenta la matrice di incidenza nodi-archi del grafo G = (V, E). Vale allora la seguente catena di relazioni: max 1 t x tale che A x 1, x {0,1} E max 1 t x tale che A x 1, 0 x 1 = min 1 t y tale che A t y 1, 0 y 1 max 1 t y tale che A t y 1, 0 y {0,1} V. La prima e la terza di queste maggiorazioni valgono perche la soluzione ottima di un problema di PLI e sempre non migliore di quella di un suo rilassamento lineare. La seconda relazione rappresenta invece il teorema della dualità forte. Se esiste quindi una soluzione dell ultimo dei quattro problemi (che e un problema di node covering) di valore < 4, questa rappresenta un certificato compatto per la risposta no. Tale soluzione e definita dal vettore y = [y 1 = 1, y 2 = 0, y = 0, y 4 = 0, y 5 = 1, y 6 = 0, y 7 = 0, y 8 = 1].

2 Esercizio 2. Si consideri il seguente problema di Knapsack: max 8x 1 +7x 2 +6x +5x 4 + 2x 5 + x 6 tale che: 4x 1 +x 2 +4x +2x 4 + 5x 5 + 4x 6 8 x {0,1} 6 a) Utilizzando come parametro di confronto l utilità relativa di ciascun oggetto, si applichi un algoritmo GREEDY per trovare una soluzione ammissibile del problema. Le utilità relative di ciascun oggetto valgono rispettivamente: u 1 = 2, u 2 = 7/, u = /2, u 4 = 5/2, u 5 = 2/5, u 6 = ¼. Consideriamo ore gli oggetti in ordine decrescente della loro utilità relativa: (4, 2, 1,, 5, 6). Oggetto 4. Decidiamo di inserirlo nello zaino poiché il suo volume è minore di quello disponibile: x 4 = 1, volume disponibile = 8 2 = 6. Oggetto 4. Decidiamo di inserirlo nello zaino poiché il suo volume è minore di quello disponibile: x 2 = 1, volume disponibile = 8 2 = 6. Oggetto 1. Non può essere inserito nello zaino (il suo volume è maggiore di Oggetto. Non può essere inserito nello zaino (il suo volume è maggiore di Oggetto 5. Non può essere inserito nello zaino (il suo volume è maggiore di Oggetto 6. Non può essere inserito nello zaino (il suo volume è maggiore di Soluzione trovata: S 0 = {2,4} di utilità complessiva 12. b) a partire dalla soluzione trovata al punto precedente, si applichi un algoritmo di ricerca locale di tipo tabù search definito dai seguenti parametri: lunghezza massima della lista tabù: 2, criterio di vicinanza tra soluzioni: cancellazione di un elemento, aggiunta di un elemento, scambio 1-1. Si arresti l algoritmo dopo iterazioni e si restituisca la soluzione migliore trovata. Consideriamo tutte le soluzioni nell'intorno di S 0 : {2,1}, = 1; {2,5}, = -5; {4,1}, = ; {4,5}, = -; {2,}, = -1; {2,6}, = -6; {4,}, = 1; {4,6}, = -4; {1}, non ammissibile; {}, non amm.; {5}, non amm.; {6},non amm.;

3 {2}, = -7; {4}, = -5; La mossa migliore e' lo scambio {4,1} S 1 = {1,2}, utilità 15. TL = {{4,1}}. Consideriamo tutte le soluzioni nell'intorno di S 1 : {2,4}, = -2; {2,5}, = -5; {1,4}, TABU'; {1,5}, = -6; {2,}, = -1; {2,6}, = -6; {1,}, = -2; {1,6}, = -7; {4}, non ammissibile; {}, non amm.; {5}, non amm.; {6}, non amm.; {2}, = -7; {1}, = -8; La mossa migliore e' lo scambio {2,} S 2 = {1,}, utilità 14. TL = {{4,1}, {2,}}. Consideriamo tutte le soluzioni nell'intorno di S2: {,4}, = -1; {,5}, non amm.;{1,4}, TABU'; {1,5}, non amm.; {,2}, TABU'; {,6}, = -5; {1,2}, = -1; {1,6}, = -7; {4}, non ammissibile; {2}, non amm.; {5}, non amm.; {6}, non ammissibile; {}, = -6; {1}, = -8; La mossa migliore e' lo scambio {1,2} S = {2,}, utilità 1. TL = {{1,2}, {2,}}. La soluzione migliore trovata al termine dell'algoritmo di ricerca locale di Tabù Search e' S 1 = {1,2} di utilità pari a 15.

4 Esercizio. Si consideri il seguente problema di assegnamento: occorre completare 5 lavori; ciascun lavoro deve assegnato ad un operaio di 6 disponibili; ciascun operaio può svolgere al più un lavoro. Deve essere minimizzato il costo totale dell assegnamento; i costi di ciascun singolo assegnamento sono riportati in tabella a) Si formuli il problema come PLI. Min i = 1,..,5; j = 1,,6 c ij x ij Tale che j = 1,,6 x ij = 1, i = 1,,5; i = 1,,5 x ij 1, j = 1,,6; x ij {0,1} 0. b) Si trovi un Upper Bound al valore della soluzione ottima del problema. Giustificare la risposta. Poiche il problema di ottimizzazione e di minimo, un Upper Bound al valore della sua soluzione ottima e definito dal costo di una qualsiasi soluzione ammissibile. Ad esempio: x = [x 11 = 1, x 12 = 0, x 1 = 0, x 14 = 0, x 15 = 0, x 16 = 0, x 21 = 0, x 22 = 1, x 2 = 0, x 24 = 0, x 25 = 0, x 26 = 0, x 1 = 0, x 2 = 0, x = 1, x 4 = 0, x 5 = 0, x 6 = 0, x 41 = 0, x 42 = 0, x 4 = 0, x 44 = 1, x 45 = 0, x 46 = 0, x 51 = 0, x 52 = 0, x 5 = 0, x 54 = 0, x 55 = 1, x 56 = 0] di costo 22.

5 Esercizio 4.. a) La matrice di incidenza nodi-archi del seguente grafo diretto e totalmente unimodulare? Giustificare la risposta data Teorema: Una matrice A a coefficienti {0, 1, -1}, tale che: ciascuna colonna di A contenga al più due elementi diversi da zero; e' possibile bipartizionare le righe di A in due insiemi A 1 ed A 2 tali che, per ciascuna colonna di A che abbia due elementi diversi da zero di segno opposto, questi abbiano indice di riga nello stesso sottoinsieme A 1 o A 2 ; per ogni colonna di A che contenga due elementi diversi da zero dello stesso segno, questi devono invece avere indici di riga appartenenti a due sottoinsiemi diversi della bipartizione. e' totalmente unimodulare (condizione sufficiente). La matrice di incidenza nodi-archi di un grafo diretto soddisfa sempre le condizioni del teorema precedente (basta definire A1 come l'insieme di tutti gli indici di riga di A ed A 2 vuoto) ed e' quindi totalmente unimodulare. b) La matrice di incidenza nodi-archi del seguente grafo non diretto e totalmente unimodulare? Giustificare la risposta data La matrice di incidenza nodi-archi del grafo non e' totalmenteunimodulare. Si consideri infatti la sua sottomatrice definita dai nodi {1,2,} e dagli archi {{1,2},{1,},{2,}}: il suo determinante e' pari a 2.