Approcci esatti per il job shop
|
|
- Gianpaolo Guglielmi
- 8 anni fa
- Visualizzazioni
Transcript
1 Approcci esatti per il job shop Riferimenti lezione: Carlier, J. (1982) The one-machine sequencing problem, European Journal of Operational Research, Vol. 11, No. 1, pp Carlier, J. & Pinson, E. (1989) An algorithm for solving the job shop problem, Management Science, Vol. 35, No. 2, pp
2 Problema job shop scheduling (JSS) Nel problema di job shop, n jobs devono essere processati su m macchine Il processamento di un job su una macchina è detto operazione i Assunzioni fatte per il problema: Una macchina può processare al più un job alla volta; Un operazione non può essere interrotta (no preemption); Un job consiste al più di n operazioni; L ordine di processamento del job è dato; Il sequenziamento delle operazioni sulle macchine deve essere determinato in modo tale da minimizzare il makespan (i.e., il massimo tempo di competamento Cmax) 2
3 Grafo disgiuntivo Due operazioni i e j non possono essere eseguite contemporaneamente sulla stessa macchina, da cui: [i,j] = {(i,j), (j,i)} Il problema è modellato col grafo disgiuntivo DG = (G, D) dove G = (X,U) è il grafo congiuntivo con X nodi ed U archi, mentre D è il set di disgiunzioni. 2 6 Ogni nodo è denominato dalla 1,1 1,2 coppia (job,macchina) 0 e dal tempo di processamento o * 4 soluzioni alternative a 2,2 2,1 seconda degli orientamenti dei due archi disgiuntivi 5 4 X =6, U =6, D =2 n = 2 e m = 2 3
4 Per ogni operazione i: Notazioni pi è il tempo di processamento, ri è la testa, qi è la coda Un cammino più lungo tra due nodi i e j è detto l(i,j) Da cui si definiscono: ri = l(o,i) e qi = l(i,*) pi Dove o e * sono la sorgente ed il pozzo del grafo G ,1 1,2 o * 2,2 2,1 5 4 Lunghezza l(o,*) = 17 passante per i nodi: o => 1,1 => 1,2 => 2,2 => 2,1 => * o * Supponiamo che il nodo (1,1) sia l operazione 1: r1 = 0, p1 = 2, q1 = l(1,*) p1 = 17 2 = 15 Supponiamo che il nodo (2,1) sia l operazione 4: r4 = 5, p4 = 4, q4 = l(4,*) p4 = 4 4 = 0 l(4,*) = q4 + p4 = = 4 i 4
5 Soluzione al problema JSS Uno schedule su un grafo disgiuntivo DG = (G, D) è un insieme di tempi di inizio processamento tale che: 1. I vincoli congiuntivi sono soddisfatti: 2. I vincoli disgiuntivi sono soddisfatti: Per costruire uno schedule, serve selezionare un sequenziamento su ogni macchina. Si associa un grafo Una selezione A è un insieme di archi disgiuntivi tale che Se allora l operazione i è processata prima di j Uno schedule è dunque una selezione: Completa (tutte le disgiunsioni sono state selezionate) e Consistente (il grafo congiuntivo risultante è aciclico) 5
6 2 6 1,1 1,2 0 o * 2,2 2,1 5 4 Qualità della soluzione La selezione nella figura a sinistra crea una inconsistenza! Ovvero un ciclo nel grafo congiuntivo! La funzione obiettivo è trovare lo schedule che minimizza il tempo massimo di complemento t* - to In altre parole si cerca di minimizzare la lunghezza del cammino l(o,*) nel grafo ammissibile 2 6 1,1 1,2 0 o * 2,2 2,1 5 4 La selezione nella figura a sinistra è ottima con A = {((1,1), (2,1)), ((2,2), (1,2))} Lunghezza l(o,*) = = 11 6
7 Il problema a singola macchina Il problema di job shop è composto da m problemi a singola macchina Affrontiamo il problema a singola macchina proposto da Carlier 1982 (EJOR) La risoluzione di problemi singola macchina avvantaggia gli algoritmi di branch and bound per il problema del job shop perchè: 1. Si trovano dei buoni lower bounds 2. Si aggiustano teste e code delle operazioni 3. Si possono implicare archi disgiuntivi Ora affrontiamo prima il problema a singola macchina e poi studiamo il suo uso combinato con tecniche di branch and bound 7
8 Singola macchina: Definizioni Grafo congiuntivo G = (X, U) con dove I è l insieme delle operazioni (nodi) sulla specifica macchina Arc (o,i) ha peso ri (testa) Arc (i,j) ha peso pi (tempo di processamento) Arc (i,*) ha peso qi (coda) + pi Si assume to=0 e t* = makespan 8
9 Proposition 1 Proposition 1: Per tutti gli insiemi sia H(K) è un lower bound del makespan ottimo del problema a singola macchina Proof. Nel grafo congiuntivo associato con lo schedule ottimo si ha un percorso passante per il nodo o, per ogni operazione di K e che finisce nel nodo *. Il valore del percorso è maggiore o uguale ad H(K) per definizione, ed è minore o uguale allo schedule ottimo. Da cui H(K) non potrà mai superare il valore della soluzione ottima. 9
10 Jackson schedule Regola Most Work Remaining (MWR, Jackson 1955): Si sequenziano le operazioni sulla macchina a partire dal tempo t nel quale almeno un operazione è disponibile, scegliendo l operazione i con massima qi, settando t := t + pi ed iterando finchè tutte le operazioni risultano schedulate. Schrage algorithm per calcolare il Jackson schedule: New Def.: Z1 insieme job schedulati e Z2 insieme altri jobs Step 1) Step 2) Al tempo t, schedula Z2 disponibile con coda max Step 3) Step 4) Z1 Z1 Z2 Z2 Z1 Se Z1 = I allora stop, altrimenti vai allo step 2. Z2 10
11 Jackson schedule: Example 7 jobs (machine operations) Schrage algorithm: t6 = to = 0 t1 = 10 t2 = = 15 t3 = = 21 t4 = = 28 t5 = = 32 t7 = = 35 Critical path = 0,1,2,3,4,* t* = makespan = t4 + l(4,*) = = 53 l(o,6)= o l(6,*)=23 11
12 Proposition 2 Jackson preemptive schedule: Variante in cui il processamento di ciascun job può essere interrotto temporaneamente (preemption) per processare altri jobs Schrage algorithm per calcolare il Jackson preemptive schedule: pj può essere interrotto se un job i con qi > qj diventa disponibile Proposition 2: Sia V il valore ottimo del problema a singola macchina con preemption per la k-esima macchina, si dimostra che Dalla Prop. 2 si ha che è un lower bound del makespan del job shop problem 12
13 Proposition 3 Proposition 3: Sia fo il makespan del Jackson schedule (a) Se lo schedule è ottimo, esiste un critical set J tale che (LB=UB): (b) Se lo schedule non è ottimo, r1 r2 rc o c esistono un critical set J ed un critical job c J tale che: q1+p1 q2+p2 qc+pc Allora in uno schedule ottimo, job c deve essere processato prima o dopo tutte le operazioni contenute in J 13
14 Branch and bound sulla singola macchina Albero decisionale: Ogni nodo è un problema a singola macchina per una data sequenza parziale con un lower bound (ottenuto tramite Prop. 1) Branching: Si considera il nodo col più piccolo lower bound e si applica Schrage Se c non esiste abbiamo l ottimo; altrimenti c è processato prima tutte le operazioni in J oppure dopo tutte le operazioni in J Problema completo Sotto Sotto problema 1: problema 2: c prima di J J prima di c Upper bound: Si calcola fo con Schrage Soluzione ottima: Si ha che 14
15 Esempi su singola macchina (1) Schrage (algorithmo per JS): 6 f0 = l(o,1) + p2+p3+p4 + l(4,o) 6 = = 53 da cui c = 1 e J ={2,3,4} Se c prima di J 13 2 H(J) > f0 - pc 6 53 > 48 o Quindi J prima di c 30 4 r1 = r3 + p2+p3+p4 = =
16 Esempi su singola macchina (2) Schrage: f0 = = 50 da cui c = 3 e J ={2} Se c prima di J H(J) = f0 = 50 Se J prima di c H(J) = = 51 Ottimo = 50 (c prima di J) o
17 Nuove definizioni Clique: C = Sottoinsieme di I che contiene almeno due operazioni op. e è input di C se è sequenziata prima di tutte le altre op. op. s è output di C se è sequenziata dopo di tutte le altre op. Lemma: Data una op. k di C se allora k deve essere processata in una qualsiasi soluzione prima o dopo tutte le altre operazioni dell insieme C Proof: Supponiamo le operazioni di C sequenziate in un ordine i1, i2,, ih con i1!= k ed ih!= k (ovvero k!= e!= s) Ed inoltre (f = UB): Segue però con questa ipotesi la contraddizione del lemma: > f 17
18 Come individuare input e output? Introduciamo 3 condizioni (caso semplice C = I ): (c1) (c2) (c3) Da cui seguono tre nuove propositions: Proposition 4: Se (c1) [rispettivamente (c2)] è soddisfatta, k non è un INPUT [rispettivamente un OUTPUT] per C Proposition 6: Se (c1) e (c3) sono soddisfatte, k è un OUTPUT per la clique C in ogni soluzione. Proposition 7: Se (c2) e (c3) sono soddisfatte, k è un INPUT per la clique C in ogni soluzione. 18
19 Implicazioni immediate Proposition 5: Vale nel caso in cui C = 2 Se r h + p h + p g +q g > f e r g + p g + p h +q h < f allora l arco disgiuntivo (g,h) verrà selezionato in ogni soluzione. Proposition 8: Vale per qualsiasi cardinalità della clique C (a) Se e è un input di C, allora gli archi disgiuntivi (e,k) verranno selezionati in ogni soluzione, con (b) Se s è un output di C, allora gli archi disgiuntivi (k,s) verranno selezionati in ogni soluzione, con 19
20 Aggiornamento teste e code Calcolo teste e code per un nodo k : r k q k = max = max j Pr ed ( k ) j Succ( k ) { r { q Tecniche di aggiornamento j j + p j + p } j } rk = l(o,k) ovvero prima del proc. di k qk = l(k,*) pk ovvero dopo del proc. di k Proposition 9: Se k è un input (k = e) della clique C allora q ' max{ q, p + min{ q j C \{ k}}} k = k j C \{ k} Proposition 10: Se k è un output (k = s) della clique C allora r ' = max{ r, min{ r j C \{ k}} p } k k j j j + j C \{ k} j 20
21 Branch and bound per il job shop (1) Bounds LB: si ottiene dalla Proposition 2 (ottimo dei problemi a singola macchina) UB: miglior soluzione conosciuta o si assume, e.g., 110% LB Branching scheme Una selezione A è associata a ciascun nodo N dell albero di ricerca. Il branch (binario) corrisponde alla scelta di una disgiunzione [i,j], ovviamente non ancora selezionata, ed alla creazione di due nodi figli: Figlio 1: Figlio 2: 21
22 Branch and bound per il job shop (2) Come si sceglie la coppia disgiuntiva su cui fare il branching? Ecco una possibile scelta euristica proposta da C&P 89: Si definisce una macchina critica m in base al più grande lower bound; Se la macchina critica m non è interamente selezionata, si sceglie una coppia disgiuntiva in un sottoinsieme di cardinalità minima della clique; Altrimenti si sceglie una coppia disgiuntiva che appartiene ad un sottoinsieme di cardinalità minima della clique di un altra macchina; Nel caso in cui vi siano diverse coppie candidate si calcolano le seguenti funzioni di penalità (Bertier e Roy 1965): d ij = Max{0, r i +p i +p j +q j - LB} d ji = Max{0, r j +p j +p i +q i - LB} a ij = Min{d ij, d ji } v ij = d ij - d ji Si sceglie la coppia disgiuntiva [i,j] ={(i,j),(j,i)} per cui v ij è massimo oppure, in caso di parità, quella con a ij massimo. Chiaramente si tratta di una scelta sperimentale 22
Schedulazione di attività in presenza di attività interrompibili
Schedulazione di attività in presenza di attività interrompibili Maria Silvia Pini Resp. accademico: Prof.ssa Francesca Rossi Università di Padova Attività FSE DGR 1102/2010 La gestione dell informazione
Dettagli1. Considerazioni generali
1. Considerazioni generali Modelli di shop scheduling In molti ambienti produttivi l esecuzione di un job richiede l esecuzione non simultanea di un certo numero di operazioni su macchine dedicate. Ogni
DettagliParte 3: Gestione dei progetti, Shop scheduling
Parte : Gestione dei progetti, Shop scheduling Rappresentazione reticolare di un progetto Insieme di attività {,...,n} p i durata (nota e deterministica dell attività i) relazione di precedenza fra attività:
DettagliPROVA FINALE V. AULETTA G. PERSIANO ALGORITMI II - -MAGIS INFO
PROVA FINALE V. AULETTA G. PERSIANO ALGORITMI II - -MAGIS INFO 1. Load Balancing Un istanza del problema del load balancing consiste di una sequenza p 1,..., p n di interi positivi (pesi dei job) e un
DettagliOttimizzazione Multi Obiettivo
Ottimizzazione Multi Obiettivo 1 Ottimizzazione Multi Obiettivo I problemi affrontati fino ad ora erano caratterizzati da una unica (e ben definita) funzione obiettivo. I problemi di ottimizzazione reali
Dettagli1. Classificazione delle risorse
1. Classificazione delle risorse Classificazione delle risorse in base alla disponibilità. - Risorse rinnovabili Sono risorse utilizzate per l esecuzione di una attività per tutta la sua durata, ma sono
DettagliAlgoritmi e Strutture Dati II: Parte B Anno Accademico 2004-2005. Lezione 11
Algoritmi e Strutture Dati II: Parte B Anno Accademico 2004-2005 Docente: Ugo Vaccaro Lezione 11 In questa lezione vedremo alcune applicazioni della tecnica greedy al progetto di algoritmi on-line. Vediamo
DettagliSono casi particolari di MCF : SPT (cammini minimi) non vi sono vincoli di capacità superiore (solo x ij > 0) (i, j) A : c ij, costo di percorrenza
Il problema di flusso di costo minimo (MCF) Dati : grafo orientato G = ( N, A ) i N, deficit del nodo i : b i (i, j) A u ij, capacità superiore (max quantità di flusso che può transitare) c ij, costo di
DettagliMetodi e Modelli per l Ottimizzazione Combinatoria Il problema del flusso di costo minimo
Metodi e Modelli per l Ottimizzazione Combinatoria Il problema del flusso di costo minimo L. De Giovanni G. Zambelli 1 Problema del flusso a costo minimo Il problema del flusso a costo minimo é definito
DettagliUn approccio esatto per il job shop
Un approccio esatto per il ob shop Riferimenti lezione: rucker, P., Jurisch,. & Sievers,. (994) branch and bound algorithm for the ob scheduling shop problem, Discrete pplied Mathematics, Vol. 49, No.
DettagliSequenziamento a minimo costo di commutazione in macchine o celle con costo lineare e posizione home (In generale il metodo di ottimizzazione
Sequenziamento a minimo costo di commutazione in macchine o celle con costo lineare e posizione home (In generale il metodo di ottimizzazione presentato in questo file trova la seq. a costo minimo per
DettagliSeconda Prova di Ricerca Operativa. Cognome Nome Numero Matricola A 1/12 A 2/12
A / A / Seconda Prova di Ricerca Operativa Cognome Nome Numero Matricola Nota: LA RISOLUZIONE CORRETTA DEGLI ESERCIZI CONTRADDISTINTI DA UN ASTERISCO È CONDIZIONE NECESSARIA PER IL RAGGIUNGIMENTO DELLA
DettagliSTRUTTURE NON LINEARI
PR1 Lezione 13: STRUTTURE NON LINEARI Michele Nappi mnappi@unisa.it www.dmi.unisa.it/people/nappi Per la realizzazione della presentazione è stato utilizzato in parte materiale didattico prodotto da Oronzo
DettagliIl Metodo Branch and Bound
Il Laura Galli Dipartimento di Informatica Largo B. Pontecorvo 3, 56127 Pisa laura.galli@unipi.it http://www.di.unipi.it/~galli 4 Novembre 2014 Ricerca Operativa 2 Laurea Magistrale in Ingegneria Gestionale
DettagliLe Macchine di Turing
Le Macchine di Turing Come è fatta una MdT? Una MdT è definita da: un nastro una testina uno stato interno un programma uno stato iniziale Il nastro Il nastro è infinito suddiviso in celle In una cella
DettagliSchedulazione delle attività di un progetto in presenza di multi-calendari
Schedulazione delle attività di un progetto in presenza di multi-calendari Maria Silvia Pini Resp. accademico: Prof.ssa Francesca Rossi Università di Padova Attività FSE DGR 1102/2010 La gestione dell
Dettagli10. Insiemi non misurabili secondo Lebesgue.
10. Insiemi non misurabili secondo Lebesgue. Lo scopo principale di questo capitolo è quello di far vedere che esistono sottoinsiemi di R h che non sono misurabili secondo Lebesgue. La costruzione di insiemi
DettagliAlgoritmi e strutture dati. Codici di Huffman
Algoritmi e strutture dati Codici di Huffman Memorizzazione dei dati Quando un file viene memorizzato, esso va memorizzato in qualche formato binario Modo più semplice: memorizzare il codice ASCII per
DettagliMATEMATICA DEL DISCRETO elementi di teoria dei grafi. anno acc. 2009/2010
elementi di teoria dei grafi anno acc. 2009/2010 Grafi semplici Un grafo semplice G è una coppia ordinata (V(G), L(G)), ove V(G) è un insieme finito e non vuoto di elementi detti vertici o nodi di G, mentre
Dettaglib i 1,1,1 1,1,1 0,1,2 0,3,4
V o Appello // RICERCA OPERATIVA - Corso A (a.a. 9/) Nome Cognome: Corso di Laurea: L C6 LS LM Matricola: ) Si consideri il problema di flusso di costo minimo in figura. Si verifichi se il flusso ammissibile
DettagliTSP con eliminazione di sottocicli
TSP con eliminazione di sottocicli Un commesso viaggiatore deve visitare 7 clienti in modo da minimizzare la distanza percorsa. Le distanze (in Km) tra ognuno dei clienti sono come segue: 3 5 7-8 9 57
DettagliEsercizi di Gestione della Produzione Industriale. Tabella 1: tempi di lavorazione di un set di job.
Esercizio 1: schedulazione con il modello di Johnson...2 Soluzione dell esercizio 1 (schedulazione con il modello di Johnson)...2 Esercizio 2: schedulazione con il modello di Hodgson...3 Soluzione dell
DettagliTSP con eliminazione di sottocicli
TSP con eliminazione di sottocicli Un commesso viaggiatore deve visitare 7 clienti in modo da minimizzare la distanza percorsa. Le distanze (in Km) tra ognuno dei clienti sono come segue: 7-8 9 7 9-8 79
DettagliProgetto di Reti di Telecomunicazione Modelli in Programmazione Lineare Problemi di flusso
Progetto di Reti di Telecomunicazione Modelli in Programmazione Lineare Problemi di flusso Flusso di costo minimo È dato un grafo direzionato G = (N, A). Ad ogni arco (i, j) A è associato il costo c ij
Dettagli4. Operazioni elementari per righe e colonne
4. Operazioni elementari per righe e colonne Sia K un campo, e sia A una matrice m n a elementi in K. Una operazione elementare per righe sulla matrice A è una operazione di uno dei seguenti tre tipi:
DettagliAlberi binari. Ilaria Castelli castelli@dii.unisi.it A.A. 2009/2010. Università degli Studi di Siena Dipartimento di Ingegneria dell Informazione
Alberi binari Ilaria Castelli castelli@dii.unisi.it Università degli Studi di Siena Dipartimento di Ingegneria dell Informazione A.A. 2009/2010 I. Castelli Alberi binari, A.A. 2009/2010 1/20 Alberi binari
DettagliOttimizzazione nella gestione dei progetti Capitolo 4: la gestione dei costi (Programmazione multimodale): formulazioni
Ottimizzazione nella gestione dei progetti Capitolo 4: la gestione dei costi (Programmazione multimodale): formulazioni CARLO MANNINO Università di Roma La Sapienza Dipartimento di Informatica e Sistemistica
DettagliRicerca non informata in uno spazio di stati
Università di Bergamo Facoltà di Ingegneria Intelligenza Artificiale Paolo Salvaneschi A5_2 V2.4 Ricerca non informata in uno spazio di stati Il contenuto del documento è liberamente utilizzabile dagli
DettagliRicerca Operativa Branch-and-Bound per problemi di Programmazione Lineare Intera
Ricerca Operativa Branch-and-Bound per problemi di Programmazione Lineare Intera L. De Giovanni AVVERTENZA: le note presentate di seguito non hanno alcuna pretesa di completezza, né hanno lo scopo di sostituirsi
DettagliIL PROBLEMA DELLO SHORTEST SPANNING TREE
IL PROBLEMA DELLO SHORTEST SPANNING TREE n. 1 - Formulazione del problema Consideriamo il seguente problema: Abbiamo un certo numero di città a cui deve essere fornito un servizio, quale può essere l energia
DettagliCapitolo 5: Ottimizzazione Discreta. E. Amaldi DEI, Politecnico di Milano
Capitolo 5: Ottimizzazione Discreta E. Amaldi DEI, Politecnico di Milano 5.1 Modelli di PLI, formulazioni equivalenti ed ideali Il modello matematico di un problema di Ottimizzazione Discreta è molto spesso
DettagliStrumenti della Teoria dei Giochi per l Informatica A.A. 2009/10. Lecture 22: 1 Giugno 2010. Meccanismi Randomizzati
Strumenti della Teoria dei Giochi per l Informatica AA 2009/10 Lecture 22: 1 Giugno 2010 Meccanismi Randomizzati Docente Vincenzo Auletta Note redatte da: Davide Armidoro Abstract In questa lezione descriveremo
DettagliSemantica Assiomatica
Semantica Assiomatica Anche nella semantica assiomatica, così come in quella operazionale, il significato associato ad un comando C viene definito specificando la transizione tra stati (a partire, cioè,
DettagliEsercizi di Ricerca Operativa I
Esercizi di Ricerca Operativa I Dario Bauso, Raffaele Pesenti May 10, 2006 Domande Programmazione lineare intera 1. Gli algoritmi per la programmazione lineare continua possono essere usati per la soluzione
DettagliRicerca Operativa Esercizi sul metodo del simplesso. Luigi De Giovanni, Laura Brentegani
Ricerca Operativa Esercizi sul metodo del simplesso Luigi De Giovanni, Laura Brentegani 1 1) Risolvere il seguente problema di programmazione lineare. ma + + 3 s.t. 2 + + 2 + 2 + 3 5 2 + 2 + 6,, 0 Soluzione.
DettagliSchedulazione delle attività di un progetto in presenza di multi-calendari e di vincoli sulle risorse
Schedulazione delle attività di un progetto in presenza di multi-calendari e di vincoli sulle risorse Maria Silvia Pini Resp. accademico: Prof.ssa Francesca Rossi Università di Padova Attività FSE DGR
DettagliMetodi Computazionali
Metodi Computazionali Elisabetta Fersini fersini@disco.unimib.it A.A. 2009/2010 Catene di Markov Applicazioni: Fisica dinamica dei sistemi Web simulazione del comportamento utente Biologia evoluzione delle
DettagliSistemi Operativi mod. B. Sistemi Operativi mod. B A B C A B C P 1 2 0 0 P 1 1 2 2 3 3 2 P 2 3 0 2 P 2 6 0 0 P 3 2 1 1 P 3 0 1 1 < P 1, >
Algoritmo del banchiere Permette di gestire istanze multiple di una risorsa (a differenza dell algoritmo con grafo di allocazione risorse). Ciascun processo deve dichiarare a priori il massimo impiego
DettagliCASE STUDY 2. Fabbricazione dell acciaio. Un problema di pianificazione: Minimizzazione dei costi di carica del forno. Dati. Formulazione del problema
CASE STUDY 2 Fabbricazione dell acciaio Gestione delle risorse produttive nell industria siderurgica Un problema di pianificazione: Minimizzazione dei costi di carica del forno Magazzini materie prime
DettagliProgetto di Reti di Telecomunicazione Modelli in Programmazione Lineare Problemi di Localizzazione
Progetto di Reti di Telecomunicazione Modelli in Programmazione Lineare Problemi di Localizzazione Posizionamento di antenne È dato un insieme A di possibili siti in cui installare antenne, a ciascuno
Dettagli3 CENNI DI TEORIA DELLA COMPLESSITA COMPUTAZIONALE. E. Amaldi Fondamenti di R.O. Politecnico di Milano 1
3 CENNI DI TEORIA DELLA COMPLESSITA COMPUTAZIONALE E. Amaldi Fondamenti di R.O. Politecnico di Milano 1 Scopo: Stimare l onere computazionale per risolvere problemi di ottimizzazione e di altra natura
DettagliLuigi Piroddi piroddi@elet.polimi.it
Automazione industriale dispense del corso 10. Reti di Petri: analisi strutturale Luigi Piroddi piroddi@elet.polimi.it Analisi strutturale Un alternativa all analisi esaustiva basata sul grafo di raggiungibilità,
Dettagli2.3.4 Pianificazione di progetti
.. Pianificazione di progetti Un progetto è costituito da un insieme di attività i, con i =,..., m, ciascuna di durata d i. stima Tra alcune coppie di attività esistono relazioni di precedenza del tipo
DettagliProgetto di Reti di Telecomunicazione Modelli in Programmazione Lineare Problemi di Network design
Progetto di Reti di Telecomunicazione Modelli in Programmazione Lineare Problemi di Network design Network Design È data una rete rappresentata su da un grafo G = (V, A) e un insieme di domande K, ciascuna
Dettagli1. PRIME PROPRIETÀ 2
RELAZIONI 1. Prime proprietà Il significato comune del concetto di relazione è facilmente intuibile: due elementi sono in relazione se c è un legame tra loro descritto da una certa proprietà; ad esempio,
DettagliMassimo Paolucci (paolucci@dist.unige.it) DIST Università di Genova. Metodi per supportare le decisioni relative alla gestione di progetti
Project Management Massimo Paolucci (paolucci@dist.unige.it) DIST Università di Genova Project Management 2 Metodi per supportare le decisioni relative alla gestione di progetti esempi sono progetti nell
DettagliMinimo Albero Ricoprente
Minimo lbero Ricoprente Pag. 1/20 Minimo lbero Ricoprente Il problema della definizione di un Minimo lbero Ricoprente trova applicazione pratica in diverse aree di studio, quali ad esempio la progettazione
DettagliMacchine sequenziali
Corso di Calcolatori Elettronici I A.A. 2010-2011 Macchine sequenziali Lezione 14 Università degli Studi di Napoli Federico II Facoltà di Ingegneria Automa a Stati Finiti (ASF) E una prima astrazione di
DettagliIntroduzione Ordini parziali e Reticoli Punti fissi
Introduzione Ordini parziali e Reticoli Punti fissi By Giulia Costantini (819048) & Giuseppe Maggiore (819050) Table of Contents ORDINE PARZIALE... 3 Insieme parzialmente ordinato... 3 Diagramma di Hasse...
DettagliCPM - PERT CPM - PERT. Rappresentazione di un progetto. Gestione di un progetto. Critical Path Method Project Evaluation and Review Technique
CPM - PERT CPM - PERT CPM e PERT sono metodologie per la gestione di progetti composti da più attività in cui esistano relazioni di precedenza. Critical Path Method Project Evaluation and Review Technique
Dettagli2 Formulazione dello shortest path come problema di flusso
Strumenti della Teoria dei Giochi per l Informatica A.A. 2009/10 Lecture 20: 28 Maggio 2010 Cycle Monotonicity Docente: Vincenzo Auletta Note redatte da: Annibale Panichella Abstract In questa lezione
DettagliEsercizi Capitolo 6 - Alberi binari di ricerca
Esercizi Capitolo 6 - Alberi binari di ricerca Alberto Montresor 23 settembre 200 Alcuni degli esercizi che seguono sono associati alle rispettive soluzioni. Se il vostro lettore PDF lo consente, è possibile
DettagliEsercizio su MT. Svolgimento
Esercizio su MT Definire una macchina di Turing deterministica M a nastro singolo e i concetti di configurazione e di transizione. Sintetizzare una macchina di Turing trasduttore che trasformi un numero
DettagliPROBABILITÀ - SCHEDA N. 2 LE VARIABILI ALEATORIE
Matematica e statistica: dai dati ai modelli alle scelte www.dima.unige/pls_statistica Responsabili scientifici M.P. Rogantin e E. Sasso (Dipartimento di Matematica Università di Genova) PROBABILITÀ -
DettagliInformatica. appunti dalle lezioni del 20/09/2011 e del 27/09/2011
Informatica appunti dalle lezioni del 20/09/2011 e del 27/09/2011 Definizioni Informatica: scienza per lʼelaborazione automatica dellʼinformazione Informatica = Informazione + Automatica Informazione:
DettagliTesting: basato su analisi dinamica del codice. Metodi Formali: basato su analisi statica del codice.
Convalida: attività volta ad assicurare che il SW sia conforme ai requisiti dell utente. Verifica: attività volta ad assicurare che il SW sia conforme alle specifiche dell analista. Goal: determinare malfunzionamenti/anomalie/errori
DettagliProblema del Job Shop
Problema del Job Shop Job Shop n job, m macchine iascun job j è composto da una sequenza di task (t j (),,t j (r j )) ogni task t j (k) deve essere eseguito su una specifica macchina i = m j (k) (richiedendo
DettagliRicerca Operativa e Logistica
Ricerca Operativa e Logistica Dott. F.Carrabs e Dott.ssa M.Gentili A.A. 2011/2012 Lezione 10: Variabili e vincoli logici Variabili logiche Spesso nei problemi reali che dobbiamo affrontare ci sono dei
DettagliRicerca Operativa A.A. 2007/2008
Ricerca Operativa A.A. 2007/2008 9. Cenni su euristiche e metaeuristiche per ottimizzazione combinatoria Motivazioni L applicazione di metodi esatti non è sempre possibile a causa della complessità del
DettagliCorso di Algoritmi e Strutture Dati Informatica per il Management Prova Scritta, 25/6/2015
Corso di Algoritmi e Strutture Dati Informatica per il Management Prova Scritta, 25/6/2015 Chi deve recuperare il progetto del modulo 1 ha 1 ora e 30 minuti per svolgere gli esercizi 1, 2, 3 Chi deve recuperare
DettagliModelli di Programmazione Lineare. PRTLC - Modelli
Modelli di Programmazione Lineare PRTLC - Modelli Schema delle esercitazioni Come ricavare la soluzione ottima Modelli Solver commerciali Come ricavare una stima dell ottimo Rilassamento continuo - generazione
DettagliCorso Sistemi Informativi Aziendali, Tecnologie dell Informazione applicate ai processi aziendali. Sistemi informativi aziendali
Corso Sistemi Informativi Aziendali,. Sistemi informativi aziendali di Simone Cavalli (simone.cavalli@unibg.it) Bergamo, Febbraio - Marzo 2009 Produzione (cenni) Pagina 2 Produzione La produzione, in termini
DettagliNote su quicksort per ASD 2010-11 (DRAFT)
Note su quicksort per ASD 010-11 (DRAFT) Nicola Rebagliati 7 dicembre 010 1 Quicksort L algoritmo di quicksort è uno degli algoritmi più veloci in pratica per il riordinamento basato su confronti. L idea
DettagliAlgebra e Geometria. Ingegneria Meccanica e dei Materiali Sez (2) Ingegneria dell Automazione Industriale Sez (2)
Algebra e Geometria Ingegneria Meccanica e dei Materiali Sez (2) Ingegneria dell Automazione Industriale Sez (2) Traccia delle lezioni che saranno svolte nell anno accademico 2012/13 I seguenti appunti
DettagliEsame di Ricerca Operativa del 20/12/13. Esercizio 1. Completare la seguente tabella considerando il problema di programmazione lineare:
Esame di Ricerca Operativa del 0// (Cognome) (Nome) (Corso di laurea) Esercizio. Completare la seguente tabella considerando il problema di programmazione lineare: max x x x + x x +x x x x x x x 0 x x
Dettaglie-dva - eni-depth Velocity Analysis
Lo scopo dell Analisi di Velocità di Migrazione (MVA) è quello di ottenere un modello della velocità nel sottosuolo che abbia dei tempi di riflessione compatibili con quelli osservati nei dati. Ciò significa
DettagliProgrammazione della produzione MT MT
Programmazione della produzione Architettura gerarchica del processo di programmazione M P S livello 1 - livello di fabbrica orizzonte temporale lungo (12-24 mesi) Master Production Schedule n settimane
DettagliEsame di Ricerca Operativa del 19/01/2016
Esame di Ricerca Operativa del 19/01/201 (Cognome) (Nome) (Matricola) Esercizio 1. Una banca offre ai suoi clienti diversi tipi di prestito: mutuo casa, credito auto, credito famiglia, che rendono un interesse
DettagliSVM. Veronica Piccialli. Roma 11 gennaio 2010. Università degli Studi di Roma Tor Vergata 1 / 14
SVM Veronica Piccialli Roma 11 gennaio 2010 Università degli Studi di Roma Tor Vergata 1 / 14 SVM Le Support Vector Machines (SVM) sono una classe di macchine di che derivano da concetti riguardanti la
DettagliScheduling della CPU:
Coda dei processi pronti (ready( queue): Scheduling della CPU primo ultimo PCB i PCB j PCB k contiene i descrittori ( process control block, PCB) dei processi pronti. la strategia di gestione della ready
DettagliA i è un aperto in E. i=1
Proposizione 1. A è aperto se e solo se A c è chiuso. Dimostrazione. = : se x o A c, allora x o A = A o e quindi esiste r > 0 tale che B(x o, r) A; allora x o non può essere di accumulazione per A c. Dunque
DettagliProf. Ing. Michele Marra - Appunti delle Lezioni di Ricerca Operativa Sequenze CAPITOLO II
CAPITOLO II 2. - PROBLEMI DI SEQUENZA I problemi di sequenza si presentano ogni qualvolta vi sono delle attività che richiedono delle risorse limitate ed indivisibili e bisogna definire l'ordine secondo
DettagliModelli di Programmazione Lineare e Programmazione Lineare Intera
Modelli di Programmazione Lineare e Programmazione Lineare Intera 1 Azienda Dolciaria Un azienda di cioccolatini deve pianificare la produzione per i prossimi m mesi. In ogni mese l azienda ha a disposizione
DettagliProbabilità discreta
Probabilità discreta Daniele A. Gewurz 1 Che probabilità c è che succeda...? Una delle applicazioni della combinatoria è nel calcolo di probabilità discrete. Quando abbiamo a che fare con un fenomeno che
DettagliEsame di Ricerca Operativa del 19/01/2016
Esame di Ricerca Operativa del 9/0/06 (Cognome) (Nome) (Matricola) Esercizio. Una banca offre ai suoi clienti diversi tipi di prestito: mutuo casa, credito auto, credito famiglia, che rendono un interesse
Dettagli1) Descrivere dettagliatamente a quale problema di scheduling corrisponde il problema.
Un veicolo viene utilizzato da una società di trasporti per trasportare beni a partire da un unico deposito verso prefissate località di destinazione. Si supponga che occorre trasportare singolarmente
DettagliSistemi Organizzativi
Sistemi Organizzativi Lezione 12/12/2004 Introduzione al corso e definizioni di base Informazioni generali Pre-requisiti: lassi di complessità Metodi enumerativi: - programmazione dinamica - branch-and-bound
DettagliAlgoritmi e Strutture Dati
Elementi di Programmazione Dinamica Maria Rita Di Berardini, Emanuela Merelli 1 1 Dipartimento di Matematica e Informatica Università di Camerino Il problema La CMC produce automobili in uno stabilimento
DettagliProof. Dimostrazione per assurdo. Consideriamo l insieme complementare di P nell insieme
G Pareschi Principio di induzione Il Principio di Induzione (che dovreste anche avere incontrato nel Corso di Analisi I) consente di dimostrare Proposizioni il cui enunciato è in funzione di un numero
Dettagliregola(1,[e,f],b) regola(2,[m,f],e) regola(3,[m],f) regola(4,[b,f],g) regola(5,[b,g],c) regola(6,[g,q],a)
ESERCIZIO1 PREMESSA Per risolvere problemi spesso esistono delle regole che, dai dati del problema, permettono di calcolare o dedurre la soluzione. Questa situazione si può descrivere col termine regola(,
DettagliReti sequenziali sincrone
Reti sequenziali sincrone Un approccio strutturato (7.1-7.3, 7.5-7.6) Modelli di reti sincrone Analisi di reti sincrone Descrizioni e sintesi di reti sequenziali sincrone Sintesi con flip-flop D, DE, T
Dettagli1. Sia dato un poliedro. Dire quali delle seguenti affermazioni sono corrette.
. Sia dato un poliedro. (a) Un vettore x R n è un vertice di P se soddisfa alla seguenti condizioni: x P e comunque presi due punti distinti x, x 2 P tali che x x e x x 2 si ha x = ( β)x + βx 2 con β [0,
DettagliRiassunto di Sistemi in Tempo Reale LS
Riassunto di Sistemi in Tempo Reale LS Silvia Cereda July 10, 2007 1 Schedulazione di processi periodici Condizione necessaria (ma non sufficiente) affinché un insieme di N processi sia schedulabile è
DettagliVC-dimension: Esempio
VC-dimension: Esempio Quale è la VC-dimension di. y b = 0 f() = 1 f() = 1 iperpiano 20? VC-dimension: Esempio Quale è la VC-dimension di? banale. Vediamo cosa succede con 2 punti: 21 VC-dimension: Esempio
Dettagli40 Algoritmi sui Grafi
Università degli Studi di Napoli Parthenope Corso di Laurea in Informatica A.A 2014/15 PROGETTO PROGRAMMAZIONE III 40 Algoritmi sui Grafi Relatore: Prof. Raffaele Montella Studente: Diego Parlato Matricola:
DettagliA intervalli regolari ogni router manda la sua tabella a tutti i vicini, e riceve quelle dei vicini.
Algoritmi di routing dinamici (pag.89) UdA2_L5 Nelle moderne reti si usano algoritmi dinamici, che si adattano automaticamente ai cambiamenti della rete. Questi algoritmi non sono eseguiti solo all'avvio
DettagliLaboratorio di Programmazione II Corso di Laurea in Bioinformatica Dipartimento di Informatica - Università di Verona
e e Laboratorio di Programmazione II Corso di Laurea in Bioinformatica Dipartimento di Informatica - Università di Verona Sommario e ed implementazione in Java Visita di un grafo e e Concetti di base Struttura
DettagliRicerca Operativa e Logistica
Ricerca Operativa e Logistica Dott. F.Carrabs e Dott.ssa M.Gentili A.A. 20/202 Lezione 6-8 Rappresentazione di funzioni non lineari: - Costi fissi - Funzioni lineari a tratti Funzioni obiettivo non lineari:
DettagliIl Modello Relazionale
Il Modello Relazionale Il modello relazionale 1 Il modello relazionale Proposto da E. F. Codd nel 1970 per favorire l indipendenza dei dati e reso disponibile come modello logico in DBMS reali nel 1981
DettagliIntelligenza Artificiale
Intelligenza Artificiale Esercizi e Domande di Esame Tecniche di Ricerca e Pianificazione Esercizi Griglia Si consideri un ambiente costituito da una griglia n n in cui si muove un agente che può spostarsi
DettagliCAPITOLO 6 La programmazione operativa (operations scheduling)
CAPITOLO 6 La programmazione operativa (operations scheduling) Contenuti Le funzioni della PO Gli obiettivi della PO Il job loading Il metodo dell assegnazione Il job sequencing Regole e tecniche di priorità
Dettaglimese 1 2 3 4 5 richiesta 6000 7000 8000 9500 11000
1.7 Servizi informatici. Un negozio di servizi informatici stima la richiesta di ore di manutenzione/consulenza per i prossimi cinque mesi: mese 1 2 3 4 5 richiesta 6000 7000 8000 9500 11000 All inizio
DettagliEsempi di modelli di programmazione lineare (intera) 2014
Esempi di modelli di programmazione lineare (intera) 2014 1) Combinando risorse Una ditta produce due tipi di prodotto, A e B, combinando e lavorando opportunamente tre risorse, R, S e T. In dettaglio:
DettagliPolitecnico di Milano Facoltà di Ingegneria dell Informazione AGENTI AUTONOMI E SISTEMI MULTIAGENTE Appello COGNOME E NOME
Politecnico di Milano Facoltà di Ingegneria dell Informazione AGENTI AUTONOMI E SISTEMI MULTIAGENTE Appello COGNOME E NOME 5 luglio 2006 RIGA COLONNA MATRICOLA Il presente plico pinzato, composto di quattro
DettagliDimensionamento dei lotti di produzione: il caso con variabilità nota
Dimensionamento dei lotti di produzione: il caso con variabilità nota A. Agnetis In questi appunti studieremo alcuni modelli per il problema del lot sizing, vale a dire il problema di programmare la dimensione
DettagliRicerca Automatica. Esercitazione 3. Ascensore. Ascensore. Ascensore
Ascensore Ricerca Automatica Esercitazione In un grattacielo ci sono coppie formate da marito e moglie. Il cancello delle scale viene chiuso e l unico modo per scendere è con l ascensore che può portare
DettagliScheduling. Sistemi Operativi e Distribuiti A.A. 2004-2005 Bellettini - Maggiorini. Concetti di base
Scheduling Sistemi Operativi e Distribuiti A.A. 2-25 Bellettini - Maggiorini Concetti di base Il massimo utilizzo della CPU si ottiene mediante la multiprogrammazione Ogni processo si alterna su due fasi
DettagliCALCOLATORI ELETTRONICI A cura di Luca Orrù. Lezione n.6. Unità di controllo microprogrammata
Lezione n.6 Unità di controllo microprogrammata 1 Sommario Unità di controllo microprogrammata Ottimizzazione, per ottimizzare lo spazio di memoria occupato Il moltiplicatore binario Esempio di architettura
DettagliEsercizi per il corso di Algoritmi e Strutture Dati
1 Esercizi per il corso di Algoritmi e Strutture Dati Esercizi sulla Tecnica Divide et Impera N.B. Tutti gli algoritmi vanno scritti in pseudocodice (non in Java, né in C++, etc. ). Di tutti gli algoritmi
DettagliLa programmazione con vincoli in breve. La programmazione con vincoli in breve
Obbiettivi Introdurre la nozione di equivalenza di CSP. Dare una introduzione intuitiva dei metodi generali per la programmazione con vincoli. Introdurre il framework di base per la programmazione con
Dettagli