Politecnico di Milano. Reti Wireless. Seminari didattici. Introduzione all ottimizzazione. Ilario Filippini

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1 Politecnico di Milano Reti Wireless Seminari didattici Introduzione all ottimizzazione Ilario Filippini

2 2 Esempio 1!

3 3 Esempio 1!!

4 4 Esempio 2!!?

5 5 Ottimizzazione!!!!!! Ottimizzazione

6 6 Approccio matematico all ottimizzazione max min s.t. f (x) x! X

7 7 Ottimizzazione discreta!!!! Ottimizzazione

8 8 Esempi di ottimizzazione combinatoria!!!

9 9 Esempi di ottimizzazione combinatoria!!!

10 10 Esempi di ottimizzazione combinatoria!!!

11 11 Esempi di ottimizzazione combinatoria!!!!

12 12 Esempi di ottimizzazione combinatoria!!!!!

13 13 Approccio a forza bruta!!!!!! Nodi MST TSP Zaino secondi 0.36 millisec. 0.1 microsec giorni 2.17 minuti 3.27 microsec anni 7.7 anni 0.1 millisec trilioni di anni 49 milioni di anni 3.35 millisec.!!!! 1000!! 4 milioni di anni

14 14 Modello generale di Programmazione Matematica max min s.t. f (x) x! X Ottimizzazione max min s.t. f (x) g i (x)!,=," b i i =1,.., m

15 15 Tassonomia dei modelli!!!!!!!!!!!!!!!!

16 16 Modello generale MIP max min n! j=1 n c j x j s.t.! a x ",=,# b $i =1,.., m ij j i j=1 l j # x j # u j $j =1,.., k l j # x j # u j, x j % & $j = k +1,.., n

17 17 Dalla realtà al modello!!!!!!

18 18 Fondamenti di LP! max c T x s.t. Ax = b x! 0!!!!!! max s.t. n! j=1 n c j x j! a ij x j = b i "i =1,.., m j=1 x # 0

19 19 Risolvere LP!!!!

20 20 Esempio in 2 dimensioni max 30x x 2 s.t. 2x 1 + x 2!100 x 1 + x 2! 80 x 1! 40 x 1, x 2 " 0 max 30x x 2 s.t. 2x 1 + x 2 + s 1 =100 x 1 + x 2 + s 2 = 80 x 1 + s 3 = 40 x 1, x 2, s 1, s 2, s 3! 0!!!

21 21 Risolvere MIP max min Ottimizzazione n! j=1 n c j x j s.t.! a ij x j ",=,# b i $i =1,.., m j=1 l j # x j # u j $j =1,.., k!! l j # x j # u j, x j % & $j = k +1,.., n!!!

22 22 Convex Hull!!!!

23 23 Convex Hull!!!

24 24 Unimodularità! max min s.t. ct x Ax! b x " 0, intero!!!!

25 25 Metodi di soluzione per MIP!!!!!! Ottimizzazione

26 26 Piani di taglio!!!!!!!

27 Metodi dei piani di taglio 27!!!!!!!

28 28 Branch and Bound!!!!!!!

29 29 Albero di Branch and Bound!!!!!!!!!

30 30 Albero di Branch and Bound

31 31 Efficienza Branch and Bound!!!!!!!!!!!!!!

32 32 Problemi facili e problemi difficili!!!!!!!!!!!!

33 33 Classe dei problemi NP!!!!!!! Ottimizzazione

34 34 Classe dei problemi P!!!!!!!

35 35 Classe dei problemi NP-completi!!!!!

36 36 Esempi di problemi NP-C!!!!!!!!!!!

37 37 Allora, P = NP o P! NP?!!!!!!

38 38 Classe dei problemi NP-hard!!!!!

39 39 Come interpretare la complessità?!!!!

40 40 Come interpretare la complessità?!!! Ottimizzazione

41 41 La risposta alla nostra domanda!!!!!! Ottimizzazione

42 42 Complessità e rappresentazione!!!!