AA Prova del 30 Novembre 2011 Compito A

Transcript

1 Metodi e Modelli di Ottimizzazione Discreta (10 cfu), I parte; Metodi e Modelli di Ottimizzazione Discreta 1 (5 cfu); Metodi e Modelli di Ottimizzazione Discreta 1 On Line; Ricerca Operativa 1-2, II parte; Ricerca Operativa 2; Ricerca Operativa 2 On Line Prova del 30 Novembre 2011 Compito A A.1). (14 punti) Un treno che trasporta passeggeri con automobili al seguito deve caricare su degli appositi vagoni tutte le 29 automobili che si sono prenotate, la i-esima della quali ha lunghezza l i e altezza h i. Ci sono tre tipi di vagoni per il trasporto delle auto: T 1, T 2 e T 3. Il tipo T 1 fornisce una lunghezza di carico di 20 mt; il tipo T 2 ha due piani, ciascuno di lunghezza 10 mt, vi si possono caricare solo macchine di altezza non superiore a 1,45 mt; il tipo T 3 fornisce una lunghezza di carico di 25 mt. In deposito ci sono 2 vagoni disponibili per ogni tipo. Scrivere una formulazione per determinare il numero minimo di vagoni necessari per caricare tutte le automobili, sapendo che: le automobili di altezza superiore a 1,45 mt sono le ultime 9; se la macchina 11 va su un vagone di tipo T 2 allora la macchina 15 deve andare su un vagone di tipo T 1 o su uno di tipo T 3 ; se il numero delle macchine sul primo vagone di tipo T 2 è 4 o più, allora sul secondo vagone dello stesso tipo non ci possono essere più di 5 auto. A.2). (9 punti) Si consideri il seguente problema P Scrivere il Rilassamento Lagrangiano R(P) di P. max z = 4x 1 + 6x 2 + 3x 3 + 5x 4 s.t. 2x 1 + 4x 2 + x 3 + 4x 4 5 x 1, x 2, x 3, x 4 {0, 1}. Studiando l andamento della funzione obiettivo di R(P) si determina un Upper Bound o un Lower Bound per la funzione obiettivo del problema dato? Determinare il (corretto) Bound per P, commentando bene ogni passaggio. (facoltativa) Come cambierebbe il Bound se il coefficiente della x 3 nella funzione obiettivo fosse 3 oppure se il coefficiente della x 2 nel vincolo fosse 4? A.3). (7 punti) Sia dato il problema min{cx : Ax 1, x {0, 1} n }, dove c = (2, 6, 4, 2, 5, 3, 9, 10) e A = Scrivere l enunciato del problema nel formato Dato, Trovare, Tale che. Di che problema si tratta? Risolvere il problema con un algoritmo Greedy, dopo aver definito il criterio Greedy di scelta, il criterio di valutazione, e chiarire se si sta applicando un algoritmo statico o dinamico spiegando il motivo.

2 Metodi e Modelli di Ottimizzazione Discreta (10 cfu), I parte; Metodi e Modelli di Ottimizzazione Discreta 1 (5 cfu); Metodi e Modelli di Ottimizzazione Discreta 1 On Line; Ricerca Operativa 1-2, II parte; Ricerca Operativa 2; Ricerca Operativa 2 On Line Prova del 30 Novembre 2011 Compito B B.1). (14 punti) Un azienda agricola ha in magazzino materiale sufficiente per costruire n serre tutte uguali tra loro, di larghezza fissata e di 30 metri di lunghezza. Le serre vanno montate per poterle destinare a 150 coltivazioni diverse. La i-esima coltivazione occupa la serra in tutta la sua larghezza, e per una lunghezza pari a p i. Scrivere una formulazione per determinare il minimo numero di serre che dovranno essere montate e quali coltivazioni dovranno essere condotte in ogni serra sapendo che: le coltivazioni C 1 e C 3 devono stare in serre diverse; se il numero delle coltivazioni nella serra 2 è 6 o più allora il numero delle coltivazioni nella serra 3 non deve essere superiore a 4; se la coltivazione C 4 è nella serra 1, allora 5 metri della serra 2 non sono più disponibili all uso; se si costruisce la serra 4 allora si deve costruire anche la serra 6. B.2). (9 punti) Si consideri il grafo (non orientato) G = (V, E) dove V = {v 1,..., v 8 }, e E = {(v 1, v 2 ), (v 1, v 6 ), (v 2, v 3 ), (v 2, v 6 ), (v 2, v 8 ), (v 3, v 4 ), (v 3, v 8 ), (v 5, v 6 ), (v 5, v 7 ), (v 5, v 8 ), (v 6, v 7 ), (v 7, v 8 )}. Si consideri il problema P definito come min{ 8 i=1 x i : Ax 1, x {0, 1} 8 }, dove A è la trasposta della matrice di incidenza di G. Di che problema si tratta? Descriverlo nel formato Dato, Trovare, Tale che. Sapendo che il grafo G contiene come sottografi i grafi C 6, P 6, due C 3, due C 4, e P 8, e che il grafo G è un sottografo di K 8, determinare un Lower Bound per il problema P scegliendo i sottografi/supergrafi più adatti, e spiegando il motivo della scelta. Determinare per ispezione visiva una soluzione ammissibile S per il problema. Si può affermare che S è una soluzione ottima? Perché? (facoltativa) Per il calcolo del Lower Bound, può essere di aiuto sapere che i due C 3 che sono sottografi di G non hanno nodi in comune, e che i due C 4 che sono sottografi di G hanno tre nodi in comune? Giustificare la risposta. B.3). (7 punti) Si consideri il seguente problema di Knapsack max{3x 1 + hx 2 + 2x 3 + 8x 4 + 5x 5 : 3x 1 + kx 2 + 4x 3 + 3x 4 + 2x 5 7, x {0, 1} 5 }. Risolverlo all ottimo con l algoritmo di Programmazione Dinamica sapendo che z(r, λ) = 4 per (r, λ) = (2, 1). Commentare bene ogni passaggio.

3 Numero di crediti Metodi e Modelli di Ottimizzazione Discreta (10 cfu), I parte; Metodi e Modelli di Ottimizzazione Discreta 1 (5 cfu); Metodi e Modelli di Ottimizzazione Discreta 1 On Line; Prova del 9 Febbraio 2012 A.1). (14 punti) Si scriva una formulazione per determinare l istante di inizio delle 6 operazioni A, B, C, D, E, F sapendo che: il loro tempo di esecuzione è rispettivamente di 15, 9, 12, 7, 24, e 15 minuti; le operazioni A, B, D, E, F non sono interrompibili e non possono essere eseguite contemporaneamente, mentre l operazione C può esse svolta contemporaneamente a qualsiasi altra; vi sono dei vincoli di precedenza, descritti dal seguente grafo orientato G = (V, E) in cui V = {v A, v B, v C, v D, v E, v F } ed E = {(v B, v A ), (v B, v D ), (v A, v E ), (v A, v F ), (v C, v F ), (v F, v E )} dove il generico arco orientato (v X, v Y ) indica che l operazione X deve terminare prima che l operazione Y incominci; il tempo di attesa dell operazione E deve essere tassativamente 25 o 40 minuti; l operazione B deve essere la seconda tra le operazioni A, B, e D; se B precede F, allora deve precedere anche E. A.2). (9 punti) Si consideri il seguente problema P: max z = 2x 1 + 4x 2 + 3x 3 + 6x 4 + 4x 5 + 8x 6 + 3x 7 + 2x 8 s.t. x 1 3x 2 + 6x 3 4x 4 + 4x 5 + 3x 6 9x 7 + 6x x 1 + 7x 2 + x 3 + 3x 4 7x 5 + 6x 6 7x 7 + 5x x 1 + 4x 2 5x 3 + 6x 4 7x 5 + 6x 6 + 5x 7 + 4x 8 40 x 1,..., x 8 0 e intere Descrivere con precisione tutto ciò che serve per mettere a punto un algoritmo Greedy per risolvere P Applicare a P l algoritmo Greedy del punto precedente e sia S la soluzione ottenuta. S è una soluzione ammissibile? E ottima? A.3). (7 punti) Si hanno a disposizione due calcolatori, A e B, e un algoritmo Alpha che effettua 27n 3 operazioni elementari per la risoluzione di un problema combinatorio sul grafo G di n nodi, e si sa che il calcolatore A è 1000 volte più veloce di B. Sul calcolatore A l algoritmo Alpha sta per essere mandato in esecuzione su un grafo G A con n A = 200 nodi. Sul calcolatore B l algoritmo Alpha deve essere mandato in esecuzione su un grafo G B con n B nodi. Determinare il numero n B che assicuri che i due algoritmi terminino contemporaneamente se vengono fatti partire contemporaneamente.

4 Numero di crediti Metodi e Modelli di Ottimizzazione Discreta (10 cfu), I parte Metodi e Modelli di Ottimizzazione Discreta 1 (5 cfu) Metodi e Modelli di Ottimizzazione Discreta 1 On Line. Prova del 27 Febbraio 2012 A.1). (14 punti) In un azienda vi sono 90 gruppi di persone, ognuno con una sua specifica funzione. Il gruppo G i è composto da p i persone. L azienda sta cambiando sede e andrà a occupare un edificio di 4 piani. Deve quindi decidere come assegnare i gruppi ai piani dell edificio in modo tale che vengano rispettati i seguenti vincoli: ogni gruppo deve essere assegnato a (esattamente) un piano a ogni piano devono essere assegnate non più di 45 persone al piano 2 non possono essere assegnati gruppi formati da 8 o più persone i gruppi G 12, G 15 e G 56 devono stare sullo stesso piano se il numero dei gruppi sul piano 2 è maggiore o uguale di 9, allora il numero delle persone nello stesso piano deve essere inferiore a 39 i gruppi G 31 e G 48 non devono stare sullo stesso piano Si scriva una formulazione per aiutare l azienda a occupare meno piani possibile nel nuovo edificio. Commentare bene le scelte fatte. A.2). (10 punti) Si consideri la seguente formulazione: max z = 2x 1 + 3x 2 x 3 + 4x 4 s.t. 8x 1 + 5x 2 + 6x 3 2x 4 13 x 1,..., x 4 0 x 1,..., x 4 1 e intere Attraverso il Rilassamento Lagrangiano, determinare un Bound al valore della funzione obiettivo all ottimo. Si tratta di un Upper Bound o di un Lower Bound? Perché? Scegliere un algoritmo esatto tra quelli studiati e risolvere il problema all ottimo. Giustificare le scelte fatte. Determinare il Duality Gap. A.3). (6 punti) G = (V, E) è un grafo di n = 32 nodi. Scrivere il problema del Covering by Nodes in forma decisionale. Quanto valgono l Upper Bound e il Lower Bound alla soluzione ottima che si ottengono applicando un algoritmo di ricerca logaritmica (o binaria, o dicotomica) sapendo che, nell ordine, le risposte ottenute sono si, no, no? Specificare i valori assunto dal parametro k nel corso dell algoritmo.

5 Metodi e Modelli di Ottimizzazione Discreta, I parte; Metodi e Modelli di Ottimizzazione Discreta 1; Metodi e Modelli di Ottimizzazione Discreta 1 On Line Appello del 3 Luglio ). In una fabbrica ci sono due linee parallele di produzione A e B. Si deve decidere su quale linea effettuare la lavorazione di ognuno di 8 semilavorati sapendo che la durata della lavorazione sul semilavorato i, per i = 1,..., 8, dipende dalla linea (vedi tabella che segue); il semilavorato 3 non può essere assegnato alla linea A; il tempo totale di lavorazione di una linea deve essere almeno 54 unità di tempo; se i semilavorati 4 e 6 vengono assegnati entrambi alla linea A, allora il semilavorato 7 deve stare sulla linea B; i semilavorati 5 e 8 devono essere assegnati a linee diverse. linea A linea B Formulare il problema di minimizzare il tempo totale di occupazione della linea maggiormente occupata. Commentare la definizione e il numero delle variabili utilizzate. Che valore `conveniente assegnare all elemento vuoto della tabella per poter trascurare il secondo vincolo dell elenco di sopra? 2). Si consideri il problema F : max = {cx, Ax 1, 0 x 1 e intero }, dove c = (9, 4, 7, 5, 3, 4, 2) e A è indicata di seguito (gli zeri sono indicati da un ) A = Di che problema si tratta? Scrivere con precisione l enunciato del problema nel formato Dato... Trovare... Tale che.... Definire con precisione un Criterio Greedy Dinamico per la selezione e un Meccanismo Di Valutazione. Eseguire sull istanza data l algoritmo Greedy risultante dalle definizioni sopra. Possiamo affermare con certezza che la soluzione ottenuta è ammissibile? E possiamo anche dire che è ottima? Motivare la risposta. 3). Sia dato il seguente problema di Knapsack. max z = 5x 1 + 8x 2 + 2x 3 + 3x 4 s.t. 12x x x x 4 44 x {0, 1} 4 Risolvere il problema utilizzando un algoritmo esatto; Quale è la complessità computazionale dell algoritmo? Calcolare la lunghezza dell input L(X) per il problema dato, ossia il numero di bit che compongono l input; Che relazione lega L(X) alla complessità computazionale dell algoritmo?

6 Metodi e Modelli di Ottimizzazione Discreta, I parte; Metodi e Modelli di Ottimizzazione Discreta 1; Metodi e Modelli di Ottimizzazione Discreta 1 On Line Appello del 16 Luglio ). Formulare come pli il seguente problema. Si considerino 7 attività a 1,... a 7, di durata rispettivamente 6, 7, 9, 4, 2, 5, 5. Si tratta di decidere l istante di inizio delle 7 attività date in modo tale da completare tutte le attività il prima possibile rispettando seguenti vincoli: le attività di indice dispari devono essere completate prima che quelle con indice pari incomincino; solo le attività 1 e 3 possono essere eseguite in parallelo; l attività a 5 deve essere l ultima tra le attività con indice dispari; ulteriori vincoli di precedenza, oltre a quelli descritti sopra, sono dati dal grafo G = (V, E) dove V = {v 1,... v 7 }, e E = {(v 1, v 7 ), (v 3, v 7 ), (v 4, v 2 ), (v 4, v 6 )} (il generico arco (v h, v k ) indica che l attività a h deve essere completata prima che a k incominci). 2). Si considerino i seguenti 3 punti dello spazio R 3 : A = (1, 0, 3), B = (3, 6, 4), e C = (5, 2, 2). Che cosa è la convex hull dell insieme dei tre punti dati? Scrivere la relazione che descrive l insieme di tutti i punti che formano la convex hull dei 3 punti dati; Si può affermare con certezza che la convex hull dei tre punti dati contiene (almeno) un punto intero? Giustificare con precisione la risposta. Analizzare se il punto D = (5, 3, 4) fa parte della convex hull dei tre punti dati, ed esporre con chiarezza il risultato Scegliere a piacere un numero k {1,..., 10} e determinare le coordinate di un punto che si trovi sul segmento congiungente due (a piacere) dei tre punti dati, e a distanza 1/k da un suo estremo. Tale punto è unico? Spiegare perché. 3). Si consideri la matrice A indicata di seguito. A = Completare la matrice scegliendo a piacere gli elementi mancanti in modo tale che la matrice non risulti simmetrica. Enunciare il problema del tsp nel formato Dato... Trovare... Tale Che.... Si consideri ora l istanza di tsp in cui la distanza tra due nodi v i e v j è data dall elemento a i,j della matrice indicata sopra. Si può applicare l algoritmo di Christofides a tale istanza? Se sì, quali sono le caratteristiche che la soluzione ha con certezza? Se possibile, applicare l algoritmo di Christofides a tale istanza, partendo da un albero ricoprente non necessariamente di lunghezza minima, e sia S la soluzione determinata e c(s) il suo costo. Si può affermare che S è una soluzione approssimata? Perchè? E possibile determinare due funzioni di c(s) che siano un Lower e un Upper Bound per una soluzione ottima S? Giustificare la risposta, e, se possibile, calcolare tali valori.

7 Metodi e Modelli di Ottimizzazione Discreta, I parte; Metodi e Modelli di Ottimizzazione Discreta 1; Metodi e Modelli di Ottimizzazione Discreta 1 On Line Appello del 10 Settembre ). (10 punti) In una pasticceria devono cuocere 14 ciambelloni, 25 crostate, 21 pandispagna, e 35 teglie di biscotti da thè. La forma e le dimensioni del forno permettono di infornare insieme 4 ciambelloni, 2 crostate, 3 pandispagna e 6 teglie di biscotti (schema 1), oppure 6 ciambelloni, 4 crostate, 1 pandispagna, e 5 teglie di biscotti (schema 2), oppure 5 crostate, 5 pandispagna, e 3 teglie di biscotti (schema 3). Si sa inoltre che ogni infornata richiede 3 quarti d ora e che se si utllizza lo schema 2, allora occorre tenere a riposo il forno per 25 minuti una tantum. Scrivere una formulazione per determinare in che modo procedere a infornare i vari prodotti per completare il lavoro nel minor tempo possibile. (Facoltativa) Supponiamo ora di avere risolto all ottimo il problema, e sia x una soluzione ottima. Ritenete che sia possibile sapere, a partire dalla sola conoscenza di x, se si può cuocere un ciambellone in più rispetto a quanto previsto sopra? Se sì, come? 2). (12 punti) Risolvere all ottimo il seguente problema scegliendo il metodo più adatto (se di aiuto, utilizzare il metodo grafico). Motivare la scelta, e commentare ogni passaggio. max z = x 1 + 2x 2 2/3x 1 x 2 4 x 1 + 6x x 1 x 2 8 2x 1 9 x 1, x 2 0 e intere 3). (8 punti) Si consideri il seguente grafo G = (V, E) dove V = {v 1,..., v 11 } e E = {(v 1, v 2 ), (v 1, v 6 ), (v 1, v 4 ), (v 2, v 3 ), (v 2, v 6 ), (v 4, v 5 ), (v 4, v 6 ), (v 5, v 6 ), (v 5, v 8 ), (v 6, v 7 ), (v 6, v 11 ), (v 8, v 10 ), (v 9, v 10 )}. Individuare tre sottografi di G utili per calcolare un Lower Bound per il problema di Minimo Covering by Nodes su G, e un un supergrafo di G che sia di aiuto per calcolare un Upper Bound per il problema del Massimo Matching su G.

8 Metodi e Modelli di Ottimizzazione Discreta, I parte; Metodi e Modelli di Ottimizzazione Discreta 1; Metodi e Modelli di Ottimizzazione Discreta 1 On Line Appello del 25 Settembre ). (13 punti) Giovanni sta spostando il suo ufficio in una nuova sede. Ha sistemato tutte le sue cose in 14 scatoloni cubici di l 1,..., l 14 cm di lato. Tre dei suoi amici si sono offerti di aiutarlo mettendo a disposizione i loro camioncini, tutti di modelli diversi. Il primo ha una pianale di carico di dimensioni (in cm) , il secondo di Il terzo amico ha due camioncini, uno con pianale di dimensioni , l altro con pianale di dimensioni Scrivere una formulazione per aiutare Giovanni a organizzare il trasloco, nell ottica di minimizzare il numero di viaggi sapendo che ogni camioncino non può fare più di un viaggio, che Giovanni potrà eventualmente chiedere al terzo amico uno solo dei due camioncini, che lo scatolone 11 e lo scatolone 3 devono stare sullo stesso camioncino, e che se si usa il primo camioncino allora si deve per forza usare anche il più grande dei due camioncini del terzo amico.(attenzione: per semplificare il problema, scrivere i vincoli sulle dimensioni del camion considerando le aree della superficie di appoggio degli scatoloni e le aree dei pianali dei camion). 2). (11 punti) Si consideri il seguente problema max z = 3x 1 + 8x 2 + 4x 3 5x 4 + 4x 5 4x 1 + 2x 2 + 3x 3 + 5x 4 + 6x 5 14 x 1,..., x 5 0 e intere x 1,..., x 5 1 Utilizzando il Rilassamento Lagrangiano, calcolare un Upper Bound per il problema Successivamente applicare l algoritmo di Programmazione Dinamica studiato per il problema di Knapsack e determinare una soluzione x = ( x 1,..., x 5 ). Che cosa si osserva a proposito dell elemento corrispondente alla variabile x 4 durante lo svolgimento dell algoritmo? Si può affermare che la soluzione x è ammissibile? Giustificare la risposta. Si può affermare che la soluzione x è ottima? Giustificare la risposta. 3). (6 punti) Si consideri il problema del Covering by Nodes su un grafo G con 32 nodi. Scrivere l enunciato del problema in forma di decisione. Fissare il valore di un Lower Bound LB e di un Upper Bound UB. Effettuare 3 passi dell algoritmo di Ricerca Logaritmica e determinare l intervallo dei valori tra i quali si trova la soluzione ottima al problema sapendo che le risposte, nell ordine, sono state no, no, e si.