Nome Cognome Matricola Firma Metodi e Modelli di Ottimizzazione Discreta 1 On Line AA Appello del 21 Novembre 2008 Compito A

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1 AA Appello del 21 Novembre 2008 Compito A 1. Un frantoio deve effettuare le consegne dell olio. Non possedendo i furgoni per la consegna, li deve noleggiare. Si può scegliere tra 3 furgoni, il furgone A, il B, e il C, che hanno, rispettivamente, capacità di carico di 1500, 2200, e 1250 kg, e costo di 400, 500, e 380 euro. Il frantoio è predisposto per confezionare l olio nei seguenti modi: confezioni da 12 bottiglie da 1 lt (ognuna pesa 13 kg), confezioni da 6 bottiglie da 1/2 lt (ognuna pesa 4 kg), latta da 5 lt (del peso di 5,5 kg), latta da 10 lt (del peso di 11 kg). Dare una Formulazione a Numeri Interi del problema di minimizzare il costo del noleggio, sapendo che vogliamo consegnare non meno di 42 e non più di 55 confezioni di bottiglie da 1 lt, almeno 120 confezioni di bottiglie da 1/2 lt, che il numero delle confezioni da 10 lt deve essere tra i 2/3 e i 3/4 del numero di quelle da 5 lt., e che se il numero di confezioni da 1/2 lt è superiore o uguale a 150, allora il numero delle latte da 5 lt deve essere almeno 185, altrimenti non deve essere inferiore a Si consideri un problema di Partizione Uniforme di Grafo, dove 2n = Completare la matrice descrittiva di sinistra, calcolando i costi interni ed esterni sapendo che la somma dei pesi degli archi incidenti su un nodo è uguale per tutti i nodi ed è pari a Quale è la partizione < A, B > descritta dalla matrice? 2.3 Quale è il suo costo? 2.4 Descrivere come procederebbe un algoritmo di Ricerca Locale a partire da questa partizione, ed effettuare una iterazione; riempire la matrice di destra di conseguenza (se servono dei dati che non si conoscono e che sono necessari per fare questo passo, dire quali sono e sceglierli a piacere, opportunamente) 2.5 Per quale motivo è conveniente definire i costi interni ed esterni, e come/dove si utilizzano? 2.6 Si scriva la versione decisionale del problema e, sulla base della soluzione appena determinata, si determini il valore da dare a k perché il problema decisionale abbia risposta si I( ) E( ) I( ) E( ) 8/ / 4/ / / / 3/ 6/ / 2/ 1/ 7/ / 4/ 3/ 1/ 5/ 6/ 2/ / / / / 9/ 8/ I( ) E( ) I( ) E( ) 3. Si consideri il problema del Minimo Covering by Nodes per un grafo G = (V, E). 3.1 Definire il problema. 3.2 Calcolarne un Lower Bound e un Upper Bound per il grafo G = (V, E) in cui V = {v 1, v 2,..., v 11 } e E = {(v 1, v 2 ), (v 2, v 3 ), (v 2, v 4 ), (v 2, v 5 ), (v 3, v 6 ), (v 3, v 7 ), (v 4, v 8 ), (v 5, v 9 ), (v 5, v 10 ), (v 5, v 11 )}. 3.3 Quelli calcolati sono Bound di tipo Primale o Duale? Giustificare la risposta. 3.4 Determinare una soluzione ammissibile per il grafo dato. Utilizzando i Bound appena calcoalti, si può dire che è ottima? Perché? 1

2 AA Appello del 21 Novembre 2008 Compito B 1. Una cooperativa di produttori di nocciole lavora le nocciole per produrre diversi tipi di dolci tra i quali: crema di nocciole in cioccolato al latte, in barattoli da 400 gr, in secchielli da 1 kg, oppure in barattoli lavorati da 600 gr; crema di nocciole in cioccolato fondente, negli stessi formati di quella al latte; e olio di nocciole, in bottiglie da 1/2 lt (pesano 1/2 kg l una). In occasione del Natale deve decidere come riempire 4 tipi diversi di scatoloni, A, B, C e D, che possono portare un massimo di 1.2, 1.8, 2, e 2.5 kg, rispettivamente. Sapendo che verranno preparati un ugual numero di scatoloni di ogni tipo, e che essi sono già prenotati da tempo, dare una Formulazione a Numeri Interi per il problema di massimizzare il ricavo della cooperativa sapendo che: dalla vendita di una unità di prodotto ricava, rispettivamente, nell ordine con cui sono stati elencati sopra, 1.50, 2, 2, 1.60, 2.10, 2.10, e 3.50 euro; non bisogna eccedere la capacità degli scatoloni; nello scatolone D ci devono essere almeno una confezione di crema di nocciole (indipendentemente dal gusto e dal formato) e non più di quattro, inoltre se sono due o più allora devono essere di gusti diversi; in ogni scatolone ci deve essere non più di una confezione di olio di nocciole e non più di un barattolo lavorato; inoltre se nello scatolone di tipo C ci sono due barattoli da 400 gr di crema (indifferentemente di un gusto o dell altro), allora non ci si può mettere l olio di nocciole. 2. Si consideri un problema di tsp definito su un grafo completo non orientato G = (V, E) di n = 8 nodi e si definiscano i costi degli archi a piacere. 2.1 Applicare il seguente algoritmo al grafo G: a) determinare un albero ricoprente; b) raddoppiarne gli archi; c) determinare un ciclo euleriano su quest ultimo grafo; d) determinare un ciclo hamiltoniano a partire da quello euleriano prendendo i nodi nell ordine della prima apparizione. 2.2 Si è ottenuta una soluzione ammissibile? In generale, si ottiene sempre una soluzione ammissibile? Giustificare la risposta. 2.3 In che cosa l algoritmo descritto differisce dall algoritmo 2-approssimato? 2.4 Si può dire che la soluzione ottenuta è 2-approssimata per il grafo G? Perchè? (ripercorrere i passi della dimostrazione del grado di approssimazione... ) 2.5 Si scriva la versione decisionale del problema e, sulla base della soluzione appena determinata, si determini il valore da dare a k perché il problema decisionale abbia risposta no 3. Si consideri il problema del Massimo Matching per un grafo G = (V, E). 3.1 Definire il problema. 3.2 Calcolarne un Lower Bound e un Upper Bound per il grafo G = (V, E) in cui V = {v 1, v 2,..., v 11 } e E = {(v 1, v 2 ), (v 2, v 3 ), (v 2, v 4 ), (v 2, v 5 ), (v 3, v 6 ), (v 3, v 7 ), (v 4, v 8 ), (v 5, v 9 ), (v 5, v 10 ), (v 5, v 11 )}. 3.3 Quelli calcolati sono Bound di tipo Primale o Duale? Giustificare la risposta. 3.4 Determinare una soluzione ammissibile per il grafo dato. Utilizzando i Bound appena calcoalti, si può dire che è ottima? Perché? 2

3 Metodi e Modelli di Ottimizzazione Discreta 1 Appello del 4 Dicembre ). Sia data la seguente formulazione: max 3x 1 + 5x 2 s.t. x 1 3My 1 x My 1 x 1 x My 1 5x 1 + 4x My 2 5x 1 + 4x 2 35 My 2 x My 2 y 1 + y 2 1 x 1 0 x 2 0 y 1, y 2 {0, 1} 1.1) Che significato hanno le variabili y 1 e y 2?; 1.2) Descrivere i vettori (x 1, x 2, y 1, y 2 ) che rispettano tutti i vincoli della formulazione, ossia descrivere quei vettori che sono ammissibili per la formulazione; e 1.3) Disegnare la regione ammissibile della formulazione 2). Sia data la seguente matrice, in cui il generico elemento d i,j rappresenta la distanza tra il nodo i e il nodo j del grafo in una istanza di tsp simmetrico. 2.1) Descrivere un algoritmo di Ricerca Locale per il problema. 2.2) Partendo da una soluzione scelta a piacere, mostrare le successive due soluzioni ottenute in due iterazioni dell algoritmo proposto. 2.3) Commentare il criterio di arresto dell algoritmo 2.4) Immaginando di far proseguire l algoritmo fino alla sua conclusione, si può dire che la soluzione ottenuta è ottima? la soluzione proposta sarà sempre l ultima soluzione visitata, o no, e perché? 2.5) Si scriva la versione decisionale del problema e, sulla base della soluzione appena determinata, si determini il valore da dare a k perché il problema decisionale abbia risposta si v 1 v 2 v 3 v 4 v 5 v 6 v v v v v v ). Si consideri il problema del Massimo Matching per un grafo G = (V, E). 3.1) Definire il problema. 3.2) Calcolarne un Lower Bound e un Upper Bound per il grafo G = (V, E) in cui V = {v 1, v 2,..., v 11 } e E = {(v 1, v 2 ), (v 2, v 3 ), (v 2, v 4 ), (v 2, v 5 ), (v 3, v 6 ), (v 3, v 7 ), (v 4, v 8 ), (v 5, v 9 ), (v 5, v 10 ), (v 5, v 11 )}. 3.3) Determinare una soluzione ammissibile per il grafo dato. Utilizzando i Bound appena calcoalti, si può dire che è ottima? Perché? 3

4 Metodi e Modelli di Ottimizzazione Discreta 1 Appello del 5 Febbraio ). Si formuli come PLI il seguente problema. Si tratta di organizzare una gita di 348 persone, suddivise in h gruppi, G 1, G 2,..., G h. Del gruppo G i fanno parte g i persone. L organizzatore deve noleggiare dei pullman. I pullman disponibili sono k, P 1, P 2,..., P k. Il pullman P j può portare non più di m j persone, e il suo noleggio costa c j euro. Scrivere una formulazione per decidere quali dei k pullman noleggiare, nell ottica di minimizzare il costo totale di noleggio per il trasporto di tutte le 348 persone più il costo di una penale nel caso in cui il gruppo G 4 sia sul pullman P 3, e sapendo che: i) il gruppo G 1 deve andare sullo stesso pullman del gruppo G 2 ; ii) i gruppi G 3 e G 4 devono stare in pullman diversi; iii) se i gruppi G 3 e G 5 sono entrambi nel pullman P 2 allora il gruppo G 2 non può stare su uno stesso pullman con il gruppo G 6. 2). Enunciare la Condizione Necessaria e Sufficiente e la Condizione Sufficiente affinché A sia tum, e mostrare in che modo vengono applicati per verificare se la seguente matrice A è o non è tum (i. indicano un zero) 0 A= Infine, si considerino le seguenti formulazioni (in cui A è la matrice scritta sopra). 1 C A P : min cx Ax b x 0 e intero Q : min cx Ax b x 0 Quale/i di queste affermazioni è/sono vera/e? Giustificare la/le risposta/e le formulazioni forniscono soluzioni uguali, e uguale valore della funzione obiettivo; le formulazioni forniscono soluzioni diverse, ma con uguale valore della funzione obiettivo; le formulazioni forniscono soluzioni diverse, a cui corrispondono diversi valore della funzione obiettivo (in questo caso quale è la migliore delle due?). 3). Sia dato il seguente problema di Knapsack. max 3x 1 + 2x 2 + 4x 3 + x 4 + 2x 5 10x x x x x 5 60 x {0, 1} 5 Risolvere il problema utilizzando un algoritmo esatto; Analizzare la complessità computazionale dell algoritmo; Calcolare la lunghezza dell input L(X) per il problema dato, ossia il numero di bit che compongono l input; Che relazione lega L(X) alla complessità computazionale dell algoritmo? 4

5 Metodi e Modelli di Ottimizzazione Discreta 1 Appello del 20 Febbraio ). Si formuli come PLI il problema di minimizzare la funzione { 3x1 + 4x f(x) = se x 1 3 3x 1 + 4x 2 altrimenti sapendo che i punti (x 1, x 2 ) ammissibili sono tutti e soli quelli appartenenti alla regione A B C, dove A = {(x 1, x 2 ) : 1 x 1 6, 1 x 2 3}, B = {(x 1, x 2 ) : 0 x 1 4, 3 x 2 7}, e C = {(x 1, x 2 ) : 7 x 1 10, x 2 3, x 1 + x 2 13}. Commentare bene la scelta delle variabili, e il ragionamento seguito. Come cambierebbero la regione ammissibile e la formulazione se aggiungessimo la condizione se x 1 è compreso tra 4 e 6 (inclusi gli estremi), allora x 2 deve verificare 1 x 2 2? 2). Si consideri una istanza di tsp definito su un grafo completo di 11 nodi, in cui la lunghezza del generico arco (i, j) è d i,j = i+j 2 1. Risolvere tale istanza utilizzando l algoritmo 3 2 -approssimato. Spiegando e giustificando adeguatemente le scelte fatte a ogni passo dell algoritmo. Si consideri poi l albero ricoprente T formato dai seguenti archi {(1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5), (3, 6), (6, 7), (7, 8), (3, 9), (9, 10), (10, 11)}. Se scegliessimo T come albero ricoprente otterremmo una soluzione 3 2-approssimata? (Non è necessario applicare l algoritmo) Giustificare la risposta. Infine, scrivere l enunciato del problema in forma decisionale, fissando k = 40, e calcolare la lunghezza dell input. 3). Si consideri un problema P definito su un grafo con n nodi, per la cui risoluzione si ha a disposizione un algoritmo A di complessità O(n 4 ). Si supponga inoltre di avere a disposizione un calcolatore che effettua di operazioni elementari al secondo. Se lanciamo il nostro algoritmo alle 17:00 siamo sicuri di ottenere la soluzione al problema P per un grafo con n = 300 nodi entro le 20:00? Giustificare adeguatamente la risposta. 5

6 Metodi e Modelli di Ottimizzazione Discreta, I parte Ricerca Operativa 2 Ricerca Operativa 1-2, II parte Ricerca Operativa 2 On Line Appello del 14 Luglio ). Una fabbrica produce pezzi di lamiera di 4 forme diverse, A, B, C, e D. In particolare, prende delle lastre di lamiera di dimensioni fissate e le taglia secondo l uno o l altro di due modelli, chiamati taglio 1 e taglio 2. Dal taglio 1 si ricavano 3 pezzi di tipo A, 2 di tipo B, e 5 di tipo C. Dal taglio 2 si ricavano 3 pezzi di tipo B, 4 di tipo C, e 6 di tipo D. Nel corso della prossima settimana si devono ottenere almeno 36 pezzi di tipo A, non più di 24 di tipo B, e il numero di pezzi di tipo C deve essere compreso tra 1 3 e 4 3 del numero di pezzi di tipo D. Per bilanciare il lavoro delle due macchine tagliatrici, le lamiere tagliate con il modello 1 devono essere almeno il doppio di quelle tagliate con il modello 2. La logistica della fabbrica fa sì che la differenza tra il numero di lamiere tagliate secondo il modello 1 e il numero di quelli tagliate secondo il modello 2 non ecceda le 9 unità. Dalla vendita di ogni pezzo di tipo A, B, C, D si ricavano, rispettivamente, 3, 2, 6, e 1 euro. Tuttavia, se il numero di pezzi di A prodotti nella settimana è maggiore o uguale a 31 si paga una penalità di 15 euro. Sapendo che si vogliono massimizzare gli utili, formulare il problema come PLI, commentando adeguatamente. 2). Si consideri un grafo G = (V, E) in cui V = 7 e E = {(1, 2), (1, 5), (2, 5), (2, 4), (3, 4), (3, 5), (4, 6), (4, 7), (6, 7)}. Scrivere una formulazione F per il probema del Massimo Matching su G, e calcolare un Upper Bound, utilizzando un opportuno supergrafo di G (quale?). Scrivere il duale di F: che problema rappresenta? Calcolare un Lower Bound, sapendo che G ha come sottografi indotti, tra gli altri, i seguenti: 2 cicli di 3 nodi ciascuno, un ciclo di 4 nodi, uno di 5, una stella con 4 nodi, e un cammino con 7 nodi. Calcolare il valore del Duality Gap. 3). Si consideri un grafo completo G = (V, E), non orientato, con 10 nodi, pesato sugli archi con pesi l i,j = i + 3j, per ogni arco (i, j) E, con i < j, e si consideri l algoritmo 3 2 -approssimato. Verificare se sono rispettate le condizioni che garantiscono l approssimazione. Se le condizioni di cui sopra non sono verificate, l algoritmo potrebbe essere applicato ugualmente? Se sì, possiamo affermare con certezza che la soluzione ottenuta è ammissibile o ottima? Applicare l algoritmo. Verificare se la soluzione ottenuta è effettivamente 3 2-approssimata ripercorrendo i passi della dimostrazione del grado di approssimazione. Calcolare Upper e Lower Bound per una soluzione ottima del problema, a partire dalla soluzione ottenuta dall algoritmo. 6

7 Metodi e Modelli di Ottimizzazione Discreta, I parte Ricerca Operativa 1-2, II parte Ricerca Operativa 2 Ricerca Operativa 2 On Line Appello dell 8 Settembre ). Scrivere a parole nel formato Dati..., Trovare..., Tale Che... il testo del problema di scheduling che corrisponde alla seguente formulazione, disegnando il grafo delle precedenze (si ricordi che un arco orientato da v h a v k indica che il lavoro corrispondente al nodo v h deve essere terminato prima che il lavoro corrispondente al nodo v k incominci) min t f s.t. t f t i per ogni i = 1,..., 6 t t 2 + M(1 y 1,2 ) t t 4 t t 1 + My 1,2 t t 5 + M(1 y 2,5 ) t t 3 t t 2 + My 2,5 t t 4 + M(1 y 1,4 ) t t 6 t t 1 + My 1,4 t t 2 t t 5 + M(1 y 1,5 ) t t 4 t t 1 + My 1,2 t t 5 t t 6 + M(1 y 1,6 ) t t 6 t t 1 + My 1,6 t t 5 t t 6 + M(1 y 4,6 ) t 4 20 t t 4 + My 4,6 t 5 t 2 15 t t 6 y 2,3 + y 2,4 + y 2,5 + y 2,6 y 1,2 = 0 t i 0 per ogni i = 1,..., 6 t f 0 y i,j {0, 1} per (i, j) {(1, 2), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 5), (4, 6)} 2). Sia dato il seguente problema max 3x 1 + 2x 2 + 4x 3 + 2x 4, s.t. 5x 1 + 4x 2 + 6x 3 + x 4 12 x 1 + 3x 2 + 7x 3 + 4x 4 4 x B 4. Tra gli algoritmi greedy studiati, sceglierne uno che possa essere facilmente adattato per risolvere il problema; giustificare la scelta; applicarlo per risolvere il problema dato; commentare le caratteristiche della soluzione ottenuta. 3). Siano dati i punti (5, 3), (13, 6), (7, 9). Che cosa si intende per combinazione convessa? Verificare analiticamente se il punto (9, 8) si può ottenere come combinazione convessa dei punti dati; in caso di risposta positiva, dire quanti sono i parametri λ i da determinare e quale è il valore di ciascuno di essi 7

8 Metodi e Modelli di Ottimizzazione Discreta, I parte Ricerca Operativa 1-2, II parte Ricerca Operativa 2 Ricerca Operativa 2 On Line Appello del 18 Settembre ). Sia T = A B dove A = {(x 1, x 2 ) R 2 + : x 1 2; x 2 6; x 1 + 2x 2 4}, B = {(x 1, x 2 ) R 2 + : x 1 8; x 1 13; x 2 2; x 2 5} {(x 1, x 2 ) R 2 + : x 1 9; x 1 12; x 2 3; x 2 7}. Scrivere una formulazione per trovare il massimo della funzione z(x) = x 1 + 4x 2, commentando bene le scelte; Risolvere graficamente il problema: quanto vale la funzione obiettivo all ottimo? L ottimo è unico o no? 2). Sia data una istanza di tsp definita su un grafo completo di 8 nodi, in cui la lunghezza l i,j del generico arco (i, j) è riportata nella seguente matrice L L = Descrivere dettagliatamente l algoritmo di Ricerca Locale più appropriato per il problema, definendo formalmente tutto ciò che serve. Quante soluzioni fanno parte dell intorno? Eún numero costante al procedere dell algoritmo oppure è un numero che varia? Di quante iterazioni si ha bisogno per terminare l algoritmo? Applicare l algoritmo effettuando almeno 2 iterazioni (oppure dimostrare che 1 iterazione era sufficiente... ) La soluzione determinata è ottima o no? Giustificare adeguatamente la risposta 3). Siano 40 e 0 un upper e un lower bound, rispettivamente, al valore della funzione obiettivo del I esercizio. Si scriva il problema dell esercizio 1 in forma di decisione. Scrivere i valori che assume k, nell ordine, supponendo che le prime tre risposte al problema di decisione siano, nell ordine, si, si, no. Completare la ricerca dell ottimo attraverso la risoluzione dei problemi di decisione, supponendo che la funzione obiettivo assuma solo valori interi. 8