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1 Prova del 2 Dicembre 2013 Compito A A.1). (14 punti) Due elettricisti stanno progettando un nuovo impianto elettrico. Hanno a disposizione 50 componenti, con caratteristiche tecniche diverse, e devono suddividerli in m = 8 linee, L 1, L 2,..., L 8. L i-esimo componente ha un assorbimento di corrente α i, e un costo c i. I requisiti dell impianto sono i seguenti: in ogni linea ci deve essere almeno uno dei componenti 1, 2,..., 5; la corrente totale disponibile sulla linea L h è d h, per h = 1,..., 8, e dei vincoli di sicurezza richiedono che su ogni linea si sfrutti al massimo il 70% della corrente disponibile; se il componente 16 si trova sulla linea L 3, allora la linea L 5 deve contenere i componenti 11 e 24; se una linea contiene il componente 14 allora deve contenere anche il componente 40, e viceversa; si devono utilizzare almeno 28 componenti; è obbligatorio utilizzare i componenti 11 e 14. Scrivere una formulazione per aiutare gli elettricisti a minimizzare il costo di realizzazione dell impianto sapendo che se il componente 13 viene utilizzato allora si deve modificare il progetto e si incorre in un aumento di 100 euro del costo totale. A.2). (10 punti) Si consideri un problema di tsp su un grafo G = (V, E) non orientato di n = 7 nodi, in cui la lunghezza l i,j del generico arco (v i, v j ) E è rappresentata dall elemento in riga i e colonna j della seguente matrice: a b c d e f g a b c d e 22 8 f 10 g Completare opportunamente la matrice. Quante verifiche si devono fare, nel caso peggiore, per concludere che un istanza è metrica? Applicare l algoritmo di Christofides. Possiamo affermare che la soluzione ottenuta è approssimata? Se sì, quanto vale il suo grado di approssimazione? Si sono ottenuti Upper e Lower Bound per il valore di una soluzione ottima? Se sì, quale è il loro valore? A.3). (6 punti) Si consideri il seguente problema max 8x 1 + x 2 + 3x 3 + 5x 4 + 7x 5 s.t. 6x x x x 4 + 9x x i 1 e intera per i = 1,..., 5 Di che problema si tratta? Determinare una soluzione ottima al problema, utilizzando l algoritmo che si ritiene più efficiente e motivandone la scelta.

2 Prova del 2 Dicembre 2013 Compito B B.1). (14 punti) Nel laboratorio di un industria chimica si sta cercando di mettere a punto un nuovo procedimento che permetta di ottenere il composto W. Si hanno a disposizione dei preparati P 1,..., P 8, in quantità q 1,..., q 8 litri, e di costo c 1,..., c 8 al litro (alcuni preparati sono necessari, altri sono solo degli additivi). Si possono applicare due diverse formule, e per ciascuna di esse, la quantità di composto W ottenuto si può ragionevolmente assumere che sia pari alla somma delle quantità dei preparati utilizzati. Si devono però rispettare le seguenti specifiche: la prima formula prevede che per ogni unità di P 1, vi siano 4 unità di P 3 ; la seconda prevede che ogni 2 unità di P 4, vi siano tra 3 e 4 unità di P 2. Se si usano 25 o più litri di P 5, allora non si può usare P 6 nella prima formula. Se si usa il preparato P 3, allora si va incontro a un aumento di spesa di euro. Il numero di litri di P 7 che vengono usati deve essere al più la metà del numero di litri di P 4. La quantità di W ottenuta con la prima formula deve essere almeno il doppio della quantità ottenuta con la seconda formula. Scrivere una formulazione a numeri interi per minimizzare il costo di produzione di litri di W. B.2). (10 punti) Si consideri un problema di tsp su un grafo G = (V, E) non orientato di n = 7 nodi, in cui la lunghezza l i,j del generico arco (v i, v j ) E è rappresentata dall elemento in riga i e colonna j della seguente matrice: a b c d e f g a b c d e 9 4 f 6 g Completare opportunamente la matrice. Scegliere l algoritmo di Ricerca Locale che si ritiene più adatto, motivando la scelta e descrivendo tutto quanto serve per la sua implementazione. Il numero delle operazioni elementari che vengono fatte in ogni iterazione è costante o dipende da n? Applicare l algoritmo scelto per 2-3 iterazioni. Possiamo affermare che la soluzione ottenuta è... ammissibile?... ottima?... approssimata? B.3). (6 punti) Si consideri il seguente problema max 3x 1 + 2x 2 6x 3 + 2x 4 + x 5 s.t. 8x 1 9x 2 5x 3 + 2x 4 + 2x x i 1 e intera per i = 1,..., 5 Determinare un bound applicando un Rilassamento di tipo Lagrangiano. Il Bound determinato è un Lower Bound o un Upper Bound? Perché? Giustificare la risposta Quanti diversi Bound si possono ottenere al variare di u per il problema dato? Quale è il più significativo?

3 Prova del 5 Febbraio ). (14 punti) Un azienda si deve rifornire di m = 8 diverse materie prime da un certo insieme di n = 7 fornitori. Ogni fornitore è in grado di rifornire numerose materie prime all azienda: il generico elemento q i,j di una matrice Q data indica il numero di casse di materia j che il fornitore i deve fornire all azienda; Scrivere una formulazione per determinare il minimo numero di camion necessari per rifornire l azienda di tutte le materie di cui ha bisogno sapendo che q i,j 26 per ogni i e per ogni j, e che: tutte le q i,j casse di una materia prima j di un fornitore i devono viaggiare su uno stesso camion; tutte le materie prime di uno stesso fornitore devono essere assegnate a non più di due camion; in ogni camion non entrano più di 26 casse; la materia prima 2 e la materia prima 5 (qualunque sia il fornitore) non possono stare su uno stesso camion; se la materia prima 6 del fornitore 3 viene assegnata al camion 2, allora la materia prima 4 del fornitore 2 deve essere assegnata al camion 1. 2). (10 punti) Si consideri la seguente formulazione max z = 3x 1 + 2x 2 + 6x 3 4x 4 + x 5 s.t. 2x 1 + 4x 2 + x 3 + 6x 4 + 3x x 1 + 5x 2 7x 3 + 9x 4 + 5x x 2, e intero Definire un algoritmo Greedy per il problema specificando il criterio di scelta e il criterio di valutazione. Applicare l algoritmo appena definito, commentando bene ogni suo passo, e sia x = ( x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ) la soluzione ottenuta. Si può affermare che x è approssimata? Si può affermare che x è ammissibile? Giustificare le risposte. Si può affermare che x è ottima? In caso di risposta negativa, si può affermare che x fornisce dei Bound alla soluzione ottima del problema? Se sì, di che tipo? Giustificare le risposte. 3). (6 punti) Vi siete iscritti a un sito dove è disponibile un software S per la risoluzione del problema del Massimo Matching in forma decisionale. Ogni chiamata dell algoritmo costa 1 euro. Scrivere l enunciato del problema risolto dal software. Dovete determinare un upper bound U e un Lower Bound B alla cardinalità massima M di un matching su un grafo G = (V, E) con V = 35 nodi e E = 63 archi utilizzando S, e in modo tale che U L 4. Il sito a cui vi siete iscritti vi fa un preventivo di spesa di 11 euro. Ritenete che sia conveniente? Perché? Motivare adeguatamente una eventuale risposta negativa.

4 Prova del 26 Febbraio 2014 Compito A A.1). (12 punti) Determinare l istante di inizio di 7 attività nell ottica di voler minimizzare l istante di completamento dell ultima sapendo che: la loro durata, nell ordine, è p = (3, 6, 4, 5, 1, 7, 9); le attività non si devono sovrapporre nel tempo, tranne l attività 3 che può essere svolta in parallelo a qualsiasi altra; la prima attività di ciascuna delle seguenti coppie deve precedere la seconda: (5, 6), (6, 2), (6, 1), (1, 2), (4, 7); l attività 2 deve iniziare all istante 57 oppure 83; l attività 4 deve essere iniziata per seconda tra quelle di indice pari: se l attività 6 precede la 4, allora anche la 3 deve precedere la 4. A.2). (12 punti) Risolvere all ottimo il seguente problema max z = 6x 1 + x 2 s.t. 3x 1 2x x 1 + 6x 2 35 x 1, x 2 0, e intere Quale è l algoritmo più adatto? Perché? Applicare l algoritmo scelto commentando dettagliatamente. A.3). (6 punti) Stabilire se la seguente matrice è totalmente unimodulare, e spiegare perché le matrici con tali proprietà sono importanti

5 Prova del 26 Febbraio 2014 Compito B B.1). (12 punti) Determinare l istante di inizio di 7 attività nell ottica di voler minimizzare l istante di inizio dell ultima sapendo che: la loro durata, nell ordine, è p = (8, 6, 4, 2, 6, 1, 5); le attività non si devono sovrapporre nel tempo, tranne l attività 4 che può essere svolta in parallelo a qualsiasi altra; la prima attività di ciascuna delle seguenti coppie deve precedere la seconda: (2, 1), (1, 5), (1, 6), (6, 5), (7, 3); l attività 5 deve terminare all istante 57 oppure 83; l attività 3 deve essere iniziata per seconda tra quelle di indice dispari: se l attività 1 precede la 3, allora anche la 4 deve precedere la 3. B.2). (12 punti) Risolvere all ottimo il seguente problema max z = x 1 + 6x 2 s.t. 2x 1 + 3x x 1 + 2x 2 35 x 1, x 2 0, e intere Quale è l algoritmo più adatto? Perché? Applicare l algoritmo scelto commentando dettagliatamente. B.3). (6 punti) Stabilire se la seguente matrice è totalmente unimodulare, e spiegare perché le matrici con tali proprietà sono importanti

6 Prova del 2 Luglio ). (12 punti) La nave cargo i ha a disposizione un serbatoio di capacità c i,j litri per il trasporto del prodotto j, per j = 1,..., 7. Si devono trasportare in totale p j migliaia di litri di prodotto j, per j = 1,..., 7, dove p = (30, 45, 92, 63, 103, 40, 16). Stabilire quanti litri di prodotto j caricare su ogni nave cargo che effettuerà il servizio, nell ottica di minimizzare il numero delle navi utilizzate. Limitazioni dovute alla conformazione della nave 3 impongono che se il numero di litri di prodotto 1 trasportati da questa nave è 4500 o più, allora il numero di litri di prodotto 5 trasportati dalla stessa nave non deve superare i litri. Inoltre, se si utilizza la nave cargo 5, allora si deve utilizzare anche la nave cargo 2. Formulare il problema come problema di pli. 2). (9 punti) Si consideri il seguente problema max z = 6x 1 + 4x 2 + 8x 3 + 8x 4 + 3x 5 + 9x 6 s.t. 3x 1 + 5x 2 + 5x 3 + 7x 4 + 3x 5 + 4x x 1,..., x 6 1, e intere Di che problema si tratta? Quale è l algoritmo più adatto per risolvere il problema all ottimo? Perché? Applicare l algoritmo scelto commentando dettagliatamente, e siano X O la soluzione ottima ottenuta, e z O il suo valore. Quante operazioni elementari effettua l algoritmo? (9 punti) Con riferimento al problema del punto precedente, Scegliere un algoritmo euristico E, motivando la scelta, e spiegando le eventuali strutture che si ha la necessità di definire per poterlo applicare. Applicare l algoritmo E, e siano X E la soluzione ottima ottenuta, e z E il suo valore. Confrontare z E con z O : spiegare il motivo per cui tali valori sono uguali o diversi. In generale, per un problema come quello in esame, ma non considerando l istanza data, possiamo affermare che se il valore di una soluzione euristica è uguale la valore di una soluzione ottima, allora anche il numero di elementi nelle due soluzioni è uguale? Giustificare la risposta, e, se possibile, costruire degli esempi numerici a prova della risposta.

7 , prova del 15 Luglio 2014 ATTENZIONE Per vedere i compiti e per eventuali orali: Mercoledì 23 Luglio alle 9:30, nello studio del docente 1). (12 punti) Scrivere una formulazione per aiutare un imprenditore a sequenziare le 7 attività A,..., G di un suo progetto sapendo che la loro durata, nell ordine, è di 11, 35, 6, 21, 52, 17, 9 giorni. La programmazione delle attività deve fare in modo che le attività non vengano svolte in parallelo, ad eccezione della C; rispettare le seguenti precedenze {(A, B), (B, C), (B, E), (C, F ), (G, C), (E, D)}, dove la notazione (i, j) indica che l attività i deve essere terminata prima che l attività j incominci; fare in modo che l attività G sia la quarta o la quinta nell ordine; fare in modo che l inizio dell attività E avvenga non prima del dodicesimo giorno successivo all inizio dell attività F fare in modo che l attività B incominci solo al 10 o, 20 o, 30 o,... giorno. fare in modo che l attività D inizi dopo la G se l attività G inizia prima della A; rendere minima la durata dell intero progetto (ossia la differenza tra il giorno in cui tutte la attività sono completate e il giorno in cui la prima attività ha inizio). 2). (10 punti) Si consideri il problema dove min z = 6x 1 + 4x 2 + 7x 3 + 5x 4 + 8x 5 + 3x x 7 + 8x 8 s.t. Ax 1 0 x 1 e intero 0 A = C A Di che problema si tratta? Quale algoritmo di complessità polinomiale applichereste per risolvere il problema nel miglior modo possibile? Giustificare la risposta. Applicare l algoritmo scelto commentando dettagliatamente il procedimento, e siano X la soluzione ottenuta, e z il suo valore. Possiamo affermare con certezza che X è una soluzione ottima? In caso di risposta negativa scrivere una disequazione che leghi z al valore z di una soluzione ottima per il problema. 3). (8 punti) Si consideri un problema P di massimizzazione in cui il valore della funzione obiettivo è compreso tra i valori 146 e 234. Sapendo che la funzione obiettivo assume sempre valori interi, valutare il minimo numero di passi di un algoritmo di Ricerca Binaria che servono perché la funzione obiettivo sia compresa tra due valori a e b tali che 0 < b a 4. Spiegare bene il ragionamento seguito

8 , prova del 10 Settembre ). (12 punti) Dovete traslocare, e dovete far trasportare 105 scatoloni, l i-esimo dei quali occupa un volume v i, per i = 1,..., 105. Noleggiate un furgone con due facchini: ogni viaggio del furgone vi costa 55 euro. Scrivere una formulazione che minimizzi il costo totale del trasloco, sapendo che: la capacità di carico del furgone è V max = 5000 lt; gli scatoloni dal 35 e 36 devono essere trasportati insieme (n.b. sia assuma che ci sia spazio a sufficienza per farli entrare tutti e due nel furgone); almeno due tra gli scatoloni 70, 71, 72, e 73 devono essere trasportati nel primo viaggio (n.b. sia assuma che ci sia spazio a sufficienza per farli entrare tutti nel furgone); il trasporto dello scatolone 20 nel terzo viaggio del furgone impedisce il trasporto dello scatolone 100 nel secondo viaggio; gli scatoloni 16 e 21 non possono viaggiare sullo stesso furgone. 2). (12 punti) Si consideri un problema di tsp in cui la distanza tra il nodo v i e il nodo v j, per ogni i e j è l elemento d i,j della matrice qua sotto D = B A Attraverso un algoritmo euristico avete determinato la soluzione S che attraversa, nell ordine, i nodi v 7, v 4, v 3, v 2, v 6, v 5, v 9, v 1, e v 8 per poi ritornare in v 7. Ha senso provare a migliorarla? Perché? Quale algoritmo ritenete sia conveniente applicare? Giustificare la risposta. Applicare l algoritmo scelto e portare a termine un intera iterazione, sia S la soluzione ottenuta. Che relazione lega il costo di S al costo di S? Che cosa si può dire circa l ammissibilità di S? E possibile continuare ad applicare l algoritimo scelto? Nel momento in cui non è più possibile andare avanti, possiamo affermare che abbiamo ottenuto una soluzione ottima? Giustificare adeguatament le risposte date. 3). (6 punti) Il vostro computer portatile esegue 10 9 operazioni elementari al secondo. Avete a disposizione un programma che esegue un algoritmo euristico per il calcolo del massimo insieme indipendente su un grafo di n nodi. La complessità dell algoritmo è O(n 3 ). Quale è il numero massimo di nodi che può avere un grafo perché l algoritmo termini entro 10 minuti?

9 , prova del 24 Settembre ). (14 punti) Oggi, per voi, è una mattina impegnatissima: dovete fare tantissime commissioni in luoghi diversi della città, e avete paura che il tempo non vi basti.... Scrivere una formulazione F che vi aiuti a minimizzare il tempo impiegato per fare tutte le 9 commissioni, sapendo che i minuti di trasferimento dal luogo della commissione i a quello della commissione j sono quelli riportati nell elemento d i,j della matrice indicata più avanti, e sapendo che contate di tornare a casa solo alla fine di tutte (il tempo dedicato allo svolgimento della singola commissione è trascurabile). Sia z il valore della funzione obiettivo della formulazione F appena scritta. Supponendo di avere a disposizione 3 ore per lo svolgimento di tutte le commissioni nella giornata di oggi, come facciamo a sapere se riusciremo a svolgerle tutte utilizzando z? (facoltativo: si può aggiungere un vincolo alla formulazione in modo che ci fornisca solo una soluzione di durata inferiore alle 3 ore, ammesso che esista?) D = ). (10 punti) Interpretare la matrice D indicata sopra come la matrice delle distanze per un problema di tsp. Applicare l algoritmo di Christofides, commentando bene ogni passaggio, e indicare con x la soluzione trovata. Si può affermare con certezza che x è una soluzione ammissibile? E che è una soluzione approssimata? Avrebbe senso, secondo voi, applicare una algoritmo di Ricerca Locale a partire dalla soluzione x? Perché? Giustificare adeguatamente la risposta. 3). (6 punti) Scrivere l enunciato del problema di Knapsack Binario in forma decisionale, e calcolare la lunghezza dell input per un istanza del problema con 10 elementi, sapendo che l utilità di ogni oggetto è 30, che il peso di ogni oggetto è 15 e che la capacità dello zaino è 100.