Un esempio di applicazione della programmazione lineare intera al progetto di una rete stradale con vincoli di network survivability

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1 Un esempio di applicazione della programmazione lineare intera al progetto di una rete stradale con vincoli di network survivability Corso di Ricerca Operativa per il Corso di Laurea Magistrale in Ingegneria della Sicurezza: Trasporti e Sistemi Territoriali AA Prof. Marcello Sanguineti Autore: Giorgio Gnecco Università di Genova Via Opera Pia, Genova, Italy 1 / 20

2 Progetto di una rete stradale con un vincolo di network survivability Problema: date alcune città, si vuole progettare una rete stradale che le colleghi in modo tale da minimizzare il costo totale di costruzione della rete, e garantire al tempo stesso il soddisfacimento di un vincolo di network survivability della rete. Esempio di vincolo di network survivability : si vuole garantire che la rete rimanga connessa anche nel caso di inagibilità temporanea di una strada (ad esempio, in caso di neve o frana). Problemi simili si manifestano, ad esempio, nel progetto delle reti di telecomunicazioni. 2 / 20

3 Per ogni coppia di città i e j, è noto il costo di costruzione c i,j > 0 di una strada che le colleghi direttamente. Se c i,j = +, non è possibile costruire la strada (ad esempio, a causa di vincoli territoriali). Nel seguito, supporremo che tutti i c i,j siano finiti, ed approssimeremo la condizione c i,j = + con c i,j molto grande, ma finito. In pratica, il problema consiste nel decidere quali strade costruire tra quelle con c i,j < +. In termini di teoria dei grafi, dati i nodi (città) di un grafo non orientato, si tratta di decidere quali archi non orientati (strade) aggiungere al grafo in modo che il costo di costruzione del grafo (somma dei pesi degli archi aggiunti) sia il più piccolo possibile, compatibilmente ad un vincolo opportuno sulla topologia del grafo. 3 / 20

4 Strategia divide et impera Per semplificare il problema, è possibile scomporlo in due fasi. Nella prima fase, impiegando un criterio opportuno, si suddividono i nodi in due gruppi: nodi normali e nodi concentratori. A questo punto, si costruisce una prima sottorete, che collega ogni nodo normale i (norm) al nodo concentratore j (conc) più vicino, cioè quello che minimizza il costo c i (norm),j(conc) (purchè tale nodo non sia troppo carico, altrimenti si passa al noco concentratore successivo). In pratica, la rete è costituita da tante stelle quanti sono i nodi concentratori (centri delle stelle). Nel seguito, il criterio opportuno di definizione dei due gruppi di nodi consiste nella minimizzazione del costo totale dei pesi degli archi di tutte le stelle individuate da una tale suddivisione dei nodi, limitando al tempo stesso il numero di nodi concentratori. 4 / 20

5 In una seconda fase, si collegano i soli nodi concentratori con una sottorete, in modo da minimizzare il costo di costruzione di tale sottorete, e garantire un dato vincolo di network survivability per la sola sottorete. Nel seguito, il vincolo di network survivability consiste nel richiedere che la sottorete sia connessa, e resti connessa in seguito all eventuale rimozione di un arco non orientato dalla sottorete stessa. Nel seguito, si mostra che entrambi i sottoproblemi possono essere formulati come problemi di programmazione lineare intera (PLI). 5 / 20

6 Esempio di rete di trasporto a più livelli In un certo senso, i nodi normali corrispondono a città di piccole dimensioni, mentre i nodi concentratori corrispondono alle grandi città. Le grandi città sono collegate tra loro da autostrade o strade statali, mentre ogni città di piccole dimensioni è collegata ad una grande da una strada provinciale. 6 / 20

7 Primo sottoproblema Dati del problema: N: numero di nodi (città); c i,j = c j,i (per i j): costo di un arco non orientato (strada) che collega l i-esimo ed il j-esimo nodo; c i,i = 0; β i : costo da pagare per rendere l i-esimo nodo un nodo concentratore (dovuto, ad esempio, all incremento del traffico che caratterizza un tale tipo di nodo); K: numero massimo di nodi che possono essere assegnati ad uno stesso nodo concentratore (compreso se stesso). 7 / 20

8 Variabili decisionali: y i {0,1}: uguale a 1 se e solo se l i-esimo nodo è selezionato come nodo concentratore, altrimenti uguale a 0; x i,j {0,1} (per i j): uguale a 1 se e solo se i è selezionato come nodo normale, j è selezionato come nodo concentratore, e si decide di collegare i due nodi con un arco non orientato, altrimenti uguale a 0; x i,i {0,1}: uguale a 1 se e solo se i è selezionato come nodo concentratore, altrimenti uguale a 0. c è ridondanza di variabili (y i = x i,i ), ma tale ridondanza permette di semplificare l espressione di alcuni vincoli (slide successive). 8 / 20

9 Vincoli: Ogni nodo è collegato ad un nodo concentratore (oppure è esso stesso un nodo concentratore): i {1,...,N}, N x i,j = 1. Ogni nodo concentratore è collegato al massimo ad altri K nodi (compreso se stesso): Vincoli di interezza: j {1,...,N}, j=1 N x i,j Ky j. i=1 i,j {1,...,N},x i,j {0,1}, i {1,...,N},y i {0,1}. 9 / 20

10 Funzione obiettivo: z = N N i=1 j=1 c i,jx i,j + N i=1 β iy i. La funzione obiettivo z va minimizzata, rispettando i vincoli appena illustrati. La presenza dei termini β i evita la soluzione ottima banale del primo sottoproblema in cui tutti i nodi sono scelti come nodi concentratori. In pratica, il numero di nodi concentratori nella soluzione ottima del primo sottoproblema dipende da quanto valgono i termini β i rispetto ai costi c i,j. 10 / 20

11 Formulazione del primo sottoproblema come problema di PLI N N N min z = c i,j x i,j + β i y i i=1 j=1 i=1 N s.t. i {1,...,N}, x i,j = 1, j=1 N j {1,...,N}, x i,j Ky j, i=1 i,j {1,...,N},x i,j {0,1}, i {1,...,N},y i {0,1}. 11 / 20

12 Esempio Esempio: N = 5, K = 3, β i = 10 per ogni i, c i,j distanza euclidea in figura: 12 / 20

13 Soluzione ottima: x 1,1 = x 2,4 = x 3,1 = x 4,4 = x 5,4 = 1, y 1 = y 4 = 1. Costo ottimo corrispondente alla soluzione otttima: z = Rappresentazione grafica della soluzione ottima (sono evidenziati i nodi concentratori e gli archi non orientati selezionati): 13 / 20

14 Secondo sottoproblema Supponendo di aver individuato i nodi concentratori ottimi dopo aver risolto in primo sottoproblema, si vuole ora collegarli con una seconda sottorete in modo da ottimizzare un dato criterio. N : numero di nodi concentratori (individuati risolvendo il primo sottoproblema); c i,j = c j,i (per i j): costo di un arco non orientato che collega l i-esimo nodo concentratore ed il j-esimo nodo concentratore (ottenuti per ispezione dalla matrice dei costi del primo sottoproblema); c i,i = 0; P(N ) : insieme di tutti i sottoinsiemi di {1,...,N }. 14 / 20

15 Variabili decisionali: x i,j {0,1} (per i j): uguale a 1 se e solo se si decide di collegare l i-esimo nodo concentratore con il j-esimo nodo concentratore, altrimenti uguale a 0; x i,i = 1 (variabile decisionale ridondante, si potrebbe anche non inserire nel modello, ma semplifica l espressione dei vincoli). 15 / 20

16 Vincoli: Vincoli di connessione dopo l eventuale rimozione di un qualunque arco non orientato (vincolo di network survivability ): equivalenti a S P(N ) con S, {1,...,N }, x i,j 2. i S j {1,...,N }\S Nota: l equivalenza dell insieme di vincoli precedenti con il vincolo di network survivability deriva, ad esempio, dall applicazione del teorema di Menger di teoria dei grafi. Vincoli di interezza: i,j {1,...,N },x i,j {0,1}. 16 / 20

17 Funzione obiettivo: z = N N i=1 j=1 c i,j x i,j. La funzione obiettivo z va minimizzata, rispettando i vincoli appena illustrati. 17 / 20

18 Formulazione del secondo sottoproblema come problema di PLI min z = N N i=1 j=1 c i,jx i,j s.t. S P(N ) con S, {1,...,N }, x i,j 2, i S j {1,...,N }\S i,j {1,...,N },x i,j {0,1}. 18 / 20

19 Commenti Il fatto di aver scomposto il problema in due sottoproblemi fa sì che la network survivability sia imposta solo a livello della sottorete dei nodi concentratori, che sono in un certo senso i nodi più importanti. Al tempo stesso, ciò rende più facilmente trattabile il problema, anche per reti di grandi dimensioni, quando il numero di nodi concentratori è piccolo rispetto al numero totale di nodi. Se nel secondo sottoproblema si sostituisce il vincolo di network survivability (contenente un 2 a secondo membro) con S P(N ) con S, x i,j 1, i S j {1,...,N }\S il problema diventa quello del minimum cost spanning tree, risolubile, ad esempio, con gli algoritmi di Kruskal e di Prim-Dijkstra. 19 / 20

20 Bibliografia Progetto di una rete di trasporto con vincoli di network survivability : P. Saengudomlert: Optimization for Communications and Networks, CRC Press, 2012, pp / 20