Soluzione. V : insieme dei nodi del grafo A: insieme degli archi del grafo K: insieme degli indici delle coppie di origine-destinazione (s k,t k )

Transcript

1 Soluzione.1 Progetto di rete con capacità a) Diamo la seguente formulazione del problema: Insiemi V : insieme dei nodi del grafo A: insieme degli archi del grafo K: insieme degli indici delle coppie di origine-destinazione (s k,t k ) Parametri d k : domanda per la coppia k-esima c ij : costo per unità di capacità aggiunta per l arco u ij : quantità massima di capacità installabile sull arco s ij : costo per unità di dati instradata sull arco (i, j) Variabili x k ij 0: quantità di dati relativi alla coppia k-esima instradati sull arco y ij Z + : quantità di capacità installata sull arco Modello min s.t. (i,j) δ + (i) k K (i,j) A x k ij s ij x k ij + (j,i) δ (i) (i,j) A x k ji = x k ij y ij, k K y ij u ij, x k ij 0, y ij Z + c ij y ij d k se i = s k d k se i = t k 0 altrimenti per i V,k K, k K Developed by S. Coniglio, updated by G.Carello 4

2 Per garantire l esistenza di due cammini disgiunti per ogni coppia, introduciamo le variabili z ij {0, 1} per ogni arco (i, j) K e i vincoli y ij z ij, y ij u ij z ij, z ij 2, (i,j) δ(s) z ij {0, 1}, S V : s k S, t k / S, k K Il primo vincolo garantisce che la variabile y ij possa essere > 0 solo se z ij = 1, il secondo (sostituibile al vincolo y ij u ij della formulazione precedente) garantisce che la variabile z ij sia uguale a 1 solo se è installata capacità sull arco corrispondente. In tal modo, abbiamo z ij =1seesolosey ij > 0. È allora immediato introdurre il vincolo (i,j) δ(s) z ij 2, espresso per ogni S V : s k S, t k / S, k K, per garantire l esistenza di due cammini disgiunti da s k a t k. Per osservarne la correttezza, si provi a costruire due cammini non disgiunti (o persino un singolo cammino) da s k a t k e si osservi che esiste sempre almeno un insieme S per cui il vincolo è violato. Chiaramente, la formulazione ha un numero esponenziale di righe proprio a causa del vincolo in questione. b) Modellizziamo l approssimazione lineare a tratti della funzione di costo quadratica. Ne dividiamo il dominio [0,u ij ] in tre sottoinsiemi di uguale misura: [0, u ij ] [ u ij, 2 u ij] [ 2 u ij,u ij ]. L approssimazione lineare a tratti corrisponde alla funzione seguente: ˆf ij (x) = ˆf 1 ij (x ij) ˆf 2 ij (x ij) ( = s uij ) 2 ij u ij x ij = s ij( 2 u ij) 2 ( uij ) 2 s ij u ij ˆf ij (x ij) = s ij(u ij ) 2 s ij( 2 u ij) 2 u ij ( xij u ij ( xij 2 u ) ( ij + 2 sij u ij per 0 x ij u ij ) ( uij ) 2 + sij per u ij x ij 2 u ij ) 2 per 2 u ij x ij u ij Chiaramente, la funzione approssimante ˆf ij (x) è convessa. Si osservi che, in ogni punto x [0,u ij ], tale funzione è pari a max{fij 1 (x),f2 ij (x),f ij (x)}. Dato che ˆf ij (x) prende valori nonnegativi e stiamo affrontando un problema di minimizzazione, possiamo modellizzare max{fij 1 (x),f2 ij (x),f ij (x)} introducendo la variabile e in vincoli η ij : costo totale di instradamento sull arco η ij ˆf 1 ij(x ij )per η ij ˆf 2 ij(x ij )per η ij ˆf ij(x ij )per dove, in luogo di ˆf 1 ij (x ij ), ˆf 2 ij (x ij) e ˆf ij (x ij), riporteremo la corrispondente espressione lineare precedentemente derivata. Sostituiamo quindi al termine (i,j) A s ij ( k K xk ij) 2 in funzione Developed by S. Coniglio, updated by G.Carello 5

3 obiettivo la quantità η ij. (i,j) A La minimizzazione garantisce che ogni soluzione in ogni soluzione in cui η ij non sia pari a max{fij 1 (x),f2 ij (x),f ij (x)} non sia ottima, dato che una soluzione di costo strettamente inferiore sarebbe ottenibile riducendo η ij così da renderlo pari a max{fij 1 (x),f2 ij (x),f ij (x)}..2 Totale unimodularità a) Riportiamo la formulazione di programmazione lineare intera vista a lezione per un caso specifico. Assumiamo che le variabili x 0,...,x 6 Z + denotino il numero di infermieri il cui turno inizia, rispettivamente, Lunedì, Martedì,..., Domenica. Il modello è: min x 0 + x 1 + x 2 + x + x 4 + x 5 + x 6 x 0 + x + x 4 + x 5 + x 6 11 (Lun) x 0 + x 1 + x 4 + x 5 + x 6 9 (Mar) x 0 + x 1 + x 2 x 5 + x 6 7 (Mer) x 0 + x 1 + x 2 + x + x 6 12 (Gio) x 0 + x 1 + x 2 + x + x 4 1 (Ven) x 1 + x 2 + x + x 4 + x 5 8 (Sab) x 2 + x + x 4 + x 5 + x 6 5 (Dom) x 0,x 1,x 2,x,x 4,x 5,x 6 Z + La matrice dei vincoli del problema A = ha determinante pari a 5 ed è chiaramente non unimodulare. b) La nuova formulazione è la seguente, dove le variabili y 0,...,y 6 Z + denotano il numero di infermieri il cui turno inizia, rispettivamente, il primo, secondo,..., settimo giorno. Il modello è: Developed by S. Coniglio, updated by G.Carello 6

4 min y 0 + y 1 + y 2 + y + y 4 + y 5 + y 6 y 0 11 (1mo) y 0 y 1 9 (2ndo) y 0 y 1 y 2 7 (rzo) y 0 y 1 y 2 y 12 (4rto) y 0 y 1 y 2 y y 4 1 (5nto) y 1 y 2 y y 4 y 6 8 (6sto) y 2 y y 4 y 6 y 7 8 (7imo) y 0,y 1,y 2,y,y 4,y 5,y 6 Z + La matrice dei vincoli del problema in esame corrisponde a: A = La continuità dei turni sui periodi di tempo garantisce che la matrice A dei vincoli soddisfi la proprietà degli uni consecutivi, ossia che (eventualmente a valle di una permutazione) per ogni colonna di indice j di A, sihachesea ij = a i j per i >i, allora a i j =1per tutti gli i : i<i <i. In altre parole, se la colonna j contiene un 1 in posizione i e i, allora deve contenerne uno anche in tutte le posizioni intermedie i. Ogni matrice con questa proprietà è totalmente unimodulare (TUM). Per mostrarlo, usiamo la condizione necessaria e sufficiente per cui una matrice è TUM se e solo se è possibile partizionarne le righe così che, per ogni colonna, la differenza nel numero di 1 presenti in una e nell altra partizione sia di la più un elemento. Per un problema con m righe, una partizione che soddisfa la condizione è {i =1,...,m: i 2=0} {i =1,...,m: i 2=1}. Developed by S. Coniglio, updated by G.Carello 7

5 . Formulazioni ideali Consideriamo un esempio per M{1, 2, },N = {1, 2} e riportiamo il rilassamento continuo del sottoproblema in forma matriciale: x 11 y 1 0 x 12 y 2 0 x 21 y 1 0 x 22 y 2 0 x 1 y 1 0 x 2 y 2 0 x 11 1 x 12 1 x 21 1 x 22 1 x 1 1 x 2 1 x 11 0 x 12 0 x 21 0 x 22 0 x 1 0 x 2 0 y 1 1 y 2 1 y 1 0 y 2 0 Applichiamo la condizione necessaria e sufficiente. Per farlo, partizioniamo le colonne in due sottoinsiemi, col primo pari all insieme di tutte le colonne e il secondo pari all insieme vuoto. Evidentemente, la differenza per ogni riga tra la somma degli elementi nelle due colonne è 0 o -1, garantendo dunque la totale unimodularità della matrice, la quale, a sua volta, garantisce l integralità del sottoproblema. Purtroppo, questo non ci permette di dire nulla circa l interezza del problema complessivo. Difatti, ci aspettiamo che intersecando il poliedro corrispondente al sottoproblema con gli altri vincoli presenti nel problema originale compaiano nuovi vertici a coordinate frazionarie. Developed by S. Coniglio, updated by G.Carello 8

6 .4 Branch and Bound per TSP a) L albero di branch and bound è riportato in figura. P : 2-albero di costo minimo: {{1, 2}, {1, }, {2, }, {, 4}, {4, 5}}, di costo 105 = z R (P ). La soluzione calcolata con l algoritmo Nearest neighbor fornisce il ciclo , di costo 11 = z H (P ). P 1 : il 2-albero di costo minimo è il ciclo , di costo 11. P 1 viene chiuso. P 2 : il 2-albero di costo minimo è il ciclo , di costo 114. P 2 viene chiuso. P : il 2-albero di costo minimo è {{1, }, {1, 5}, {4, 5}, {1, 2}, {2, }} di costo 109. P 4 : il 2-albero di costo minimo è {{1, }, {1, 5}, {4, 5}, {2, 5}, {2, }} di costo 122. P 5 : il sottoproblema non contiene soluzioni ammissibili (x 1 =1ex 1 = 0). P 6 : il sottoproblema non contiene soluzioni ammissibili (x 2 = 1, x 1 = 1, x 12 = 1). La soluzione ottima è , di costo ,11 P 1 x 1 =0 105,11 P x 2 =0 x 1 =1 114,11 P 2 122,11 P 4 x 4 =0 x 2 =1 x 1 =1 x 12 =0 b) L albero di branch and bound è riportato in figura. 109,11 x 15 =0 P x 1 =1 x 12 =1 x 1 =0 x 12 =1 P 5 P 6 P : la soluzione dell assegnamento è {{1, 2}, {2, 1}, {, 4}, {4, }}, di costo 12. P 1 : la soluzione dell assegnamento è il ciclo , di costo 1. P 1 viene chiuso. P 2 : la soluzione dell assegnamento è il ciclo , di costo 18. P 2 viene chiuso. 12 x 12 =0 P x 21 =0 x 12 =1 1 P 1 P 2 18 Developed by S. Coniglio, updated by G.Carello 9

7 .5 Branch-and-bound L albero di enumerazione è riportato nella seguente figura, con rappresentazioni qualitative delle regioni ammissibili in ogni nodo. Developed by S. Coniglio, updated by G.Carello 10

8 Developed by S. Coniglio, updated by G.Carello 11