Soluzione. 2.1 Pianificazione multiperiodo della produzione energetica

Transcript

1 Soluzione. Pianificazione multiperiodo della produzione energetica a) Diamo una prima formulazione nonlineare del problema. Insiemi T :insiemedeiperiodiditempo S = {,, 3}: insieme degli indici dei range di erogazione, dove [0,l ]prendeindice, [l,l ]indicee[l 3, ) indice 3. Parametri c 4 : costo per MW di potenza acquistata dall estero c s : costo per MW di potenza prodotta in casa, per range s S d t : domanda di potenza per il periodo,doved = 36.4 ed i =.08d i per i T : i> Variabili x t 0: potenza prodotta in casa nel periodo y t 0: potenza acquistata dall estero nel periodo z st {0, }: senelperiodo la potenza prodotta in casa è nel range s S, 0 altrimenti Modello min c 4 y t + t T t T s.t.x t + y t d t, c s z st x t (x + y )0.33 y t, x t l + M( z t ), x t l z t, x t l + M( z t ), x t l z 3t, z st =, x t,y t 0, z st {0, }, s S,, Developed by S. Coniglio 3

2 dove M è un valore sufficientemente grande. Il gruppo centrale di vincoli modellizza le implicazioni z t = x t l z t = l x t l z 3t = x t l Il modello è nonlineare a causa della presenza dei prodotti di x e z. b) Linearizziamo la formulazione introducendo la variabile k st, vincolandola ad assumere valore c s x t quando x t cade nel range s-esimo, ossia quando z st =. Dobbiamo quindi modellizzare la seguente implicazione logica, per ogni s S, : Introduciamo quindi i vincoli z st = k st = c s x t. k st c s x t + M( z st ),s S, k st c s x t M( z st ),s S,. La nuova formulazione di programmazione lineare misto-intera è la seguente: Modello min c 4 y t + t T t T s.t.x t + y t d t, k st (x + y )0.33 y t, x t l + M( z t ), x t l z t, x t l + M( z t ), x t l z 3t, k st c s x t + M( z st ),, k st c s x t M( z st ),, z st =, x t,y t 0, z st {0, }, s S,,.3 Confronto tra formulazioni per il problema dell albero di supporto di costo minimo a) Scriviamo una formulazione coi vincoli (CUT) imponendo che esattamente n lati del grafo figurino nell albero di supporto e che vi sia, per ogni insieme S V, almeno un lato e = {i, j} in δ(s), tale da connettere S a V \ S. Developed by S. Coniglio 4

3 (P CUT ) min s.t. e E x e = n (NUM) x e S V (CUT) x e {0, } e E. b) Sostituendo i vincoli (SEC) ai (CUT), otteniamo: (P SEC ) min s.t. e E x e = n (NUM) e E(S) x e S S V (SEC) x e {0, } e E, La formulazione è corretta dato che, imponendo che ogni sottoinsieme (proprio) S V contenga al più S lati, garantiamo che il sottografo individuato sia aciclico. Ogni sottografo aciclico contenente esattamente n lati è un alberto di supporto del grafo. c) Mostriamo che PSEC 0 P CUT 0 mostrando che una soluzione che soddisfa (NUM) e (SEC) soddisfa anche (CUT). Scegliamo un sottoinsieme S V e scomponiamo l insieme E in E(S) E(V \ S) δ(s). Riscriviamo quindi il vincolo (NUM) come e E(S) x e + e E(V \S) x e + x e = n. Dalle (SEC) abbiamo e E(S) x e S e e E(V \S) x e V \ S. Dato che S V, abbiamo V \ S = V S, con V = n. Otteniamodunque S +n S + x e x e + x e + x e = n e E(S) e E(V \S) da cui abbiamo x e. d) Per mostrare che PSEC 0 P CUT 0 è sufficiente esibire una soluzione che soddisfi (NUM) e (CUT) ma non (SEC). Si consideri l istanza seguente, dove x e = per i lati in nero e x e = per quelli in grigio. Developed by S. Coniglio

4 Si osservi che tutti i tagli del grafo hanno valore maggiore o uguale a (si sfruttino le simmetrie del grafo per evitare di enumerarli tutti). L insieme di nodi S = {,, } ha valore totale x + x + x =. S =3 =. La soluzione è quindi ammissibile per P 0 CUT, ma non per P 0 SEC..4 Confronto tra formulazioni direzionate e non direzionate per il problema dell albero Steiner di costo minimo a) Analogamente al caso dell albero di supporto, scriviamo una formulazione coi vincoli (CUT) imponendo che vi sia, per ogni insieme S V tale che un terminale sia contenuto sia in S che in V \ S, almeno un lato e = {i, j} in δ(s), tale da connettere S a V \ S. min x e S V : S T > 0, (V \ S) T > 0 (CUT) x e {0, } e E Si noti la differenza, rispetto al caso dell albero di supporto, della condizione di esistenza dell insieme S. b) Sia r T un nodo terminale arbitrario, usato come radice dell arborescenza Steiner. Abbiamo la formulazione min (i,j) A c ijy ij (i,j) δ + (S) y ij S V : S T > 0, (V \ S) T > 0,r S (CUT) y ij {0, } (i, j) A È intuibile che, per ogni (i, j) A, in ogni soluzione ottima valga la relazione y ij + y ji. Volendo dubitare della correttezza dell intuizione, potremmo costruire un argomento più formale come segue. Si ricordi che un arborescenza di radice r è una collezione di cammini radicati in r. Per assurdo, supponiamo che (i, j) A : y ij + y ji > e supponiamo che esista un cammino da r a i che non contiene j. Questo implica che il cammino da r a j contenga (i, j) come ultimo arco. Mostriamo che tale soluzione non è ottima, mostrando che, imponendo y ji = 0, otteniamo una soluzione ammissibile di valore non maggiore. Dato che j è raggiungibile da i, tutti i cammini che contengono l arco (j, i) contengono anche l arco (i, j) e, in particolare, il sottocammino ((i, j), (j, i)). Supponendo che c ji 0, ognuno di questi cammini può essere ridotto rimuovendo il lato (j, i) senza farne crescere il costo, rimuovendo cioè il ciclo ((i, j), (j, i)). Possiamo allora imporre x e = y ij + y ji, deducendo una soluzione corrispondente per il problema non direzionato. Per convincersi che ad ogni soluzione non direzionata ne corrisponde una direzionata di costo equivalente e viceversa, si provi a costruire un piccolo esempio. Developed by S. Coniglio 6

5 c) Le due formulazioni sono definite su spazi diversi (variabili di lato nel primo caso, di arco nel secondo). Modifichiamo la seconda formulazione (quella direzionata), reintroducendo le variabili di lato e i vincoli x e = y ij + y ji, (i, j) =e E. Mostriamo ora che a una soluzione nelle variabili y ij che soddisfi i vincoli (CUT) nella versione direzionata è associata una soluzione nelle variabili x e che soddisfi gli stessi vincoli nella versione non direzionata. Prendiamo dunque un vincolo (CUT) (i,j) δ + (S) y ij, per un qualche S V : S T > 0, (V \S) T > 0,r S. Addizionandogli i vincoli y ji 0 per ogni (j, i) δ (S), abbiamo (i,j) δ + (S) y ij+ (j,i) δ (S) y ji = (i,j) δ + (S) (y ij+y ji ). Sfruttando x e = y ij + y ji, otteniamo x e. d) Cerchiamo una soluzione direzionata inammissibile a cui corrisponda una soluzione ammissibile non direzionata. Si consideri il grafo nelle figure seguenti, dove i nodi in grigio rappresentano i terminali. Poniamo r =. Gli archi (lati) in grigio corrispondono a x ij = (x e = ), quelli in nero a x ij =(x e = ). Nella figura a sinistra è riportata una soluzione inammissibile per la formulazione direzionata, in cui il taglio indotto dall insieme S = {,, 4, } (entrante nel nodo 3) ha valore <. Ad esso corrisponde quindi una disuguaglianza (CUT) violata (si osservi che è l unico caso). La soluzione non direzionata corrispondente, a destra, è però ammissibile, dato che in essa il taglio relativo allo stesso insieme ha peso. Developed by S. Coniglio 7