2.1 Pianificazione multiperiodo della produzione energetica. 2.2 Confronto tra formulazioni per il problema dell albero di supporto di costo minimo

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1 . Pianificazione multiperiodo della produzione energetica Consideriamo il problema di approvvigionamento energetico dell Italia su un orizzonte di T = 0 anni. Sia d t il consumo di potenza elettrica stimato (costante) per ogni anno. È nota la richiesta per l anno 009 (t = ) pari a 36.4 GW e si ipotizza una crescita annua dell.8%. Il profilo del costo di produzione in-house di energia, mediato sulle diverse fonti disponibili (idrica, termica, geotermica, eolica e fotovoltaica), è assimilabile, per ogni MW erogato, a c Euro per un erogazione da 0 a l MW, si riduce a c < c per erogazioni da l a l MW, e sale, in conseguenza di minor efficienza dovuta a fenomeni di saturazione, a c 3 > c Euro per erogazioni superiori a l MW. Nonostante il paese sia teoricamente autosufficiente, una parte del fabbisogno può essere soddisfatta importando energia dall estero (per l 80% da Francia e Svizzera), ad un costo medio, per MW, di c 4 Euro. Si richiede che la quantità di energia importata non sia superiore al valore medio di 3.3% attestato dell energia totale, prodotta o importata, nell anno 009. a) Si dia una prima formulazione di programmazione non lineare misto intera per il problema di minimizzazione del costo totale di approvvigionamento energetico. Suggerimento: si utilizzi una variabile 0- per indicare il livello di erogazione corrispondete al valore della variabile di produzione energetica e lo si sfrutti per selezionare, in funzione obiettivo, il costo corrispondente. b) Come possiamo modificare la formulazione precedente rimuovendone le non linearità?. Confronto tra formulazioni per il problema dell albero di supporto di costo minimo Dato un grafo non direzionato G = (V,E) e una funzione di costo c : E R +, il problema di trovare un albero di supporto di costo minimo (Minimum Spanning Tree, o MST) consiste nel trovare un sottografo aciclico di G che copra tutti i vertici in V a costo totale minimo. a) Si dia una formulazione di programmazione lineare intera per il problema usando i vincoli CUT, opportunamente modificati (in questo caso, è sufficiente garantire che ogni sottoinsieme proprio S di V sia connesso a V \S da almeno un lato, dato che cerchiamo un albero e non un ciclo). b) Si sostituiscano ora i vincoli SEC ai vincoli CUT. Si motivi la correttezza della nuova formulazione. c) SianoP 0 SEC ep0 CUT ipoliedricorrispondentiairilassamenticontinuidelledueformulazioni. Si mostri che P 0 SEC P0 CUT. d) Si mostri che l inclusione è stretta, esibendo una soluzione (rilassata) contenuta in P 0 CUT ma non in P 0 SEC. Documento preparato da S. Coniglio

2 .3 Confronto tra formulazioni direzionate e non direzionate per il problema dell albero Steiner di costo minimo Dato un grafo non direzionato G = (V,E), una funzione di costo c : E R + e un insieme di nodi T V detti terminali, il problema dell albero Steiner di costo minimo (min Steiner Tree) consiste nel trovare un sottografo aciclico di G (albero) di costo totale minimo che copra tutti i nodi in T, eventualmente, ma non necessariamente, coprendo anche nodi in V \T. a) Si dia una formulazione del problema. b) Sia G = (V,A) il grafo direzionato corrispondente a G dove ad ogni lato e = {i,j} si è sostituita la coppia di archi (i,j),(j,i), con costo c e = c ij = c ji. Si dia una formulazione per il problema di trovare un arborescenza (albero direzionato) Steiner di costo minimo su G. Si mostri che ad ogni sua soluzione s del problema direzionato corrisponde una soluzione s per il problema non direzionato dello stesso costo, mostrando come derivare s da s. c) Si mostri che il poliedro corrispondente al rilassamento continuo della formulazione direzionata è contenuto in quello della formulazione non direzionata. d) Si mostri che l inclusione è stretta. Documento preparato da S. Coniglio

3 Soluzione. Pianificazione multiperiodo della produzione energetica a) Diamo una prima formulazione nonlineare del problema. Insiemi T: insieme dei periodi di tempo S = {,,3}: insieme degli indici dei range di erogazione, dove [0,l ] prende indice, [l,l ] indice e [l 3, ) indice 3. Parametri c 4 : costo per MW di potenza acquistata dall estero c s : costo per MW di potenza prodotta in casa, per range s S d t : domanda di potenza per il periodo, dove d = 36.4 e d i = d i 0.8 per i T : i > Variabili x t 0: potenza prodotta in casa nel periodo y t 0: potenza acquistata dall estero nel periodo z st {0,}: se nel periodo la potenza prodotta in casa è nel range s S, 0 altrimenti Modello min c 4 y t + t T t T s.t.x t +y t d t, c s z st x t (x +y )0.33 y t, x t l +M( z t ), x t l z t, x t l +M( z t ), x t l z 3t, z st =, x t,y t 0, z st {0,}, s S,, Documento preparato da S. Coniglio 3

4 dove M è un valore sufficientemente grande. Il gruppo centrale di vincoli modellizza le implicazioni z t = x t l z t = l x t l z 3t = x t l Il modello è nonlineare a causa della presenza dei prodotti di x e z. b) Linearizziamo la formulazione introducendo la variabile k st, vincolandola ad assumere valore c s x t quando x t cade nel range s-esimo, ossia quando z st =. Dobbiamo quindi modellizzare la seguente implicazione logica, per ogni s S,: Introduciamo quindi i vincoli z st = k st = c s x t. k st c s x t +M( z st ),s S, k st c s x t M( z st ),s S,. La nuova formulazione di programmazione lineare misto-intera è la seguente: Modello min c 4 y t + t T t T s.t.x t +y t d t, k st (x +y )0.33 y t, x t l +M( z t ), x t l z t, x t l +M( z t ), x t l z 3t, k st c s x t +M( z st ), s S, k st c s x t M( z st ), s S, z st =, x t,y t 0, z st {0,}, s S,,. Confronto tra formulazioni per il problema dell albero di supporto di costo minimo a) Scriviamo una formulazione coi vincoli (CUT) imponendo che esattamente n lati del grafo figurino nell albero di supporto e che vi sia, per ogni insieme S V, almeno un lato e = {i,j} in δ(s), tale da connettere S a V \S. Documento preparato da S. Coniglio 4

5 (P CUT ) min s.t. e E c ex e e E x e = n x e S V x e {0,} e E. (NUM) (CUT) b) Sostituendo i vincoli (SEC) ai (CUT), otteniamo: (P SEC ) min s.t. e E c ex e e E x e = n (NUM) e E(S) x e S S V (SEC) x e {0,} e E, La formulazione è corretta dato che, imponendo che ogni sottoinsieme (proprio) S V contenga al più S lati, garantiamo che il sottografo individuato sia aciclico. Ogni sottografo aciclico contenente esattamente n lati è un alberto di supporto del grafo. c) Mostriamo che PSEC 0 P0 CUT mostrando che una soluzione che soddisfa (NUM) e (SEC) soddisfa anche (CUT). Scegliamo un sottoinsieme S V e scomponiamo l insieme E in E(S) E(V \S) δ(s). Riscriviamo quindi il vincolo (NUM) come e E(S) x e + e E(V\S) x e + x e = n. Dalle (SEC) abbiamo e E(S) x e S e e E(V\S) x e V \S. Dato che S V, abbiamo V \S = V S, con V = n. Otteniamo dunque S +n S + x e x e + x e + x e = n e E(S) e E(V\S) da cui abbiamo x e. d) Per mostrare che PSEC 0 P0 CUT è sufficiente esibire una soluzione che soddisfi (NUM) e (CUT) ma non (SEC). Si consideri l istanza seguente, dove x e = per i lati in nero e x e = per quelli in grigio Documento preparato da S. Coniglio 5

6 Si osservi che tutti i tagli del grafo hanno valore maggiore o uguale a (si sfruttino le simmetrie del grafo per evitare di enumerarli tutti). L insieme di nodi S = {,,5} ha valore totale x +x 5 +x 5 =.5 S = 3 =. La soluzione è quindi ammissibile per P 0 CUT, ma non per P0 SEC..3 Confronto tra formulazioni direzionate e non direzionate per il problema dell albero Steiner di costo minimo a) Analogamente al caso dell albero di supporto, scriviamo una formulazione coi vincoli (CUT) imponendo che vi sia, per ogni insieme S V tale che un terminale sia contenuto sia in S che in V \ S, almeno un lato e = {i,j} in δ(s), tale da connettere S a V \S. min e E c ex e x e S V : S T > 0, (V \S) T > 0 (CUT) x e {0,} e E Si noti la differenza, rispetto al caso dell albero di supporto, della condizione di esistenza dell insieme S. b) Sia r T un nodo terminale arbitrario, usato come radice dell arborescenza Steiner. Abbiamo la formulazione min (i,j) A c ijy ij (i,j) δ + (S) y ij S V : S T > 0, (V \S) T > 0,r S (CUT) y ij {0,} (i,j) A È intuibile che, per ogni (i,j) A, in ogni soluzione ottima valga la relazione y ij +y ji. Volendo dubitare della correttezza dell intuizione, potremmo costruire un argomento più formale come segue. Si ricordi che un arborescenza di radice r è una collezione di cammini radicati in r. Per assurdo, supponiamo che (i,j) A : y ij + y ji > e supponiamo che esista un cammino da r a i che non contiene j. Questo implica che il cammino da r a j contenga (i, j) come ultimo arco. Mostriamo che tale soluzione non è ottima, mostrando che, imponendo y ji = 0, otteniamo una soluzione ammissibile di valore non maggiore. Dato che j è raggiungibile da i, tutti i cammini che contengono l arco (j,i) contengono anche l arco (i,j) e, in particolare, il sottocammino ((i,j),(j,i)). Supponendo che c ji 0, ognuno di questi cammini può essere ridotto rimuovendo il lato (j, i) senza farne crescere il costo, rimuovendo cioè il ciclo ((i,j),(j,i)). Possiamo allora imporre x e = y ij + y ji, deducendo una soluzione corrispondente per il problema non direzionato. Per convincersi che ad ogni soluzione non direzionata ne corrisponde una direzionata di costo equivalente e viceversa, si provi a costruire un piccolo esempio. Documento preparato da S. Coniglio 6

7 c) Le due formulazioni sono definite su spazi diversi (variabili di lato nel primo caso, di arco nel secondo). Modifichiamo la seconda formulazione (quella direzionata), reintroducendo le variabili di lato e i vincoli x e = y ij +y ji,(i,j) = e E. Mostriamo ora che a una soluzione nelle variabili y ij che soddisfi i vincoli (CUT) nella versione direzionata è associata una soluzione nelle variabili x e che soddisfi gli stessi vincoli nella versione non direzionata. Prendiamo dunque un vincolo (CUT) (i,j) δ + (S) y ij, perunqualches V : S T > 0, (V\S) T > 0,r S. Addizionandogliivincoliy ji 0 perogni(j,i) δ (S), abbiamo (i,j) δ + (S) y ij+ (j,i) δ (S) y ji = (i,j) δ + (S) (y ij+y ji ). Sfruttando x e = y ij +y ji, otteniamo x e. d) Cerchiamo una soluzione direzionata inammissibile a cui corrisponda una soluzione ammissibile non direzionata. Si consideri il grafo nelle figure seguenti, dove i nodi in grigio rappresentano i terminali. Poniamo r =. Gli archi (lati) in grigio corrispondono a x ij = (x e = ), quelli in nero a x ij = (x e = ) Nella figura a sinistra è riportata una soluzione inammissibile per la formulazione direzionata, in cui il taglio indotto dall insieme S = {,,4,5} (entrante nel nodo 3) ha valore <. Ad esso corrisponde quindi una disuguaglianza (CUT) violata (si osservi che è l unico caso). La soluzione non direzionata corrispondente, a destra, è però ammissibile, dato che in essa il taglio relativo allo stesso insieme ha peso. Documento preparato da S. Coniglio 7