Un esempio di applicazione della programmazione lineare intera: il Sudoku

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Lia Fantoni
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1 Un esempio di applicazione della programmazione lineare intera: il Sudoku Corso di Ricerca Operativa per il Corso di Laurea Magistrale in Ingegneria della Sicurezza: Trasporti e Sistemi Territoriali AA Prof. Marcello Sanguineti Autore: Giorgio Gnecco Università di Genova Via Opera Pia, Genova, Italy 1 / 14

2 Risoluzione del Sudoku attraverso la PLI Nel seguito, si descrive come formulare il noto gioco del Sudoku come problema di programmazione lineare intera, individuandone variabili decisionali, vincoli e funzione obiettivo. 2 / 14

3 Regole del Sudoku È data una tabella con 9 righe e 9 colonne. La tabella è suddivisa in 9 sottotabelle quadrate di dimensione 3 3. Si vuole riempire ogni sottotabella con i numeri {1,2,3,4,5,6,7,8,9}, rispettando le seguenti regole: ogni casella della tabella deve contenere uno ed un solo numero; ogni numero deve comparire una ed una sola volta in ogni riga della tabella; in ogni colonna della tabella; in ogni sottotabella; i numeri contenuti in alcune caselle della tabella sono specificati a priori. 3 / 14

4 Individuazione delle variabili decisionali Variabili decisionali: x ijk {0,1}. Gli indici i, j e k variano da 1 a 9. x ijk è uguale a 1 se e solo se il numero i compare nella tabella nell intersezione fra la j-esima riga e la k-esima colonna, altrimenti è uguale a 0. 4 / 14

5 Individuazione dei vincoli Vincoli: Ogni casella della tabella deve contenere uno ed un solo elemento: j,k {1,...,9}, 9 x ijk = 1. i=1 Ogni numero deve comparire una ed una sola volta in ogni riga della tabella: i,j {1,...,9}, 9 x ijk = 1. k=1 5 / 14

6 Ogni numero deve comparire una ed una sola volta in ogni colonna della tabella: i,k {1,...,9}, 9 x ijk = 1. j=1 Ogni numero deve comparire una ed una sola volta in ogni sottotabella: i {1,...,9}, m,n {1,2,3}, 3m 3n j=3m 2 k=3n 2 x ijk = 1. 6 / 14

7 Alcuni elementi della tabella sono specificati a priori. Nell esempio considerato, x 153 = x 166 = 1, x 216 = x 231 = x 299 = 1, x 311 = x 339 = x 342 = x 385 = x 398 = 1, x 471 = x 484 = 1, x 522 = x 588 = 1, x 619 = x 626 = x 655 = x 694 = 1, x 744 = x 779 = 1, x 825 = x 857 = x 891 = 1, x 912 = x 968 = 1. 7 / 14

8 Individuazione della funzione obiettivo Funzione obiettivo: Nell esempio considerato, si è interessati esclusivamente ad individuare una soluzione ammissibile del problema, cioè una scelta delle variabili decisionali che soddisfi tutti i vincoli illustrati in precedenza. Pertanto, si può formulare un problema di programmazione lineare intera (PLI) scegliendo una qualunque funzione obiettivo lineare. Nel seguito, si sceglierà come funzione obiettivo z = 0, che ha il vantaggio di non preferire alcuna soluzione ammissibile a qualunque altra soluzione ammissibile. 8 / 14

9 Formulazione come problema di PLI min z = 0 9 s.t. j,k {1,...,9}, x ijk = 1, i=1 9 i,j {1,...,9}, x ijk = 1, k=1 9 i,k {1,...,9}, x ijk = 1, j=1 i {1,...,9}, m,n {1,2,3}, (continua) 3m 3n j=3m 2 k=3n 2 x ijk = 1, 9 / 14

10 (segue dalla slide precedente) x 153 = x 166 = 1, x 216 = x 231 = x 299 = 1, x 311 = x 339 = x 342 = x 385 = x 398 = 1, x 471 = x 484 = 1, x 522 = x 588 = 1, x 619 = x 626 = x 655 = x 694 = 1, x 744 = x 779 = 1, x 825 = x 857 = x 891 = 1, x 912 = x 968 = 1, i,j,k {1,...,9},x ijk {0,1}. 10 / 14

11 Risoluzione del problema Risoluzione con un solver che impiega la PLI ( 11 / 14

12 Soluzione del problema ottenuta con il solver. 12 / 14

13 Unicità della soluzione? Metodo per verificare o meno l unicità della soluzione In questo problema specifico e con la scelta fatta della funzione obiettivo, l insieme delle soluzioni ammissibili coincide con l insieme delle soluzioni ottime. Siano y ijk := xijk le componenti di una soluzione ottima (quindi ammissibile), trovata risolvendo il problema precedente. Per verificare o meno che questa sia l unica soluzione ammissibile del Sudoku, si introduce un nuovo vincolo nel problema, che esclude dall insieme delle soluzioni ammissibili la sola soluzione appena trovata: y ijk x ijk = 80. i=1 j=1 k=1 Infatti, ricordando che x ijk {0,1}, la sommatoria tripla precedente è uguale a 81 se e solo se x ijk = y ijk per ogni i, j e k. 13 / 14

14 Bibliografia The Mathematics of Sudoku: P. Saengudomlert: Optimization for Communications and Networks, CRC Press, 2012, pp / 14

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