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1 Ricerca Operativa 2 Ricerca Operativa 2 p. 1/6

2 Introduzione In questo corso ci occuperemo di problemi di ottimizzazione. Tali problemi sono tipicamente raggruppati in classi ognuna delle quali è formata da più istanze. Ricerca Operativa 2 p. 2/6

3 Classi di problemi Una classe di problemi di ottimizzazione è formata da un insieme I di istanze. Ogni istanza I I è rappresentata da una coppia (f I,S I ) dove f I : S I R è detta funzione obiettivo e S I è detta regione ammissibile. Ricerca Operativa 2 p. 3/6

4 Problemi di massimo Se il problema è di massimo, allora una sua istanza I si rappresenta nel modo seguente maxf I (x) x S I e risolvere l istanza vuol dire trovare un x S I tale che f I (x ) f I (x) x S I. Ricerca Operativa 2 p. 4/6

5 Problemi di minimo Se il problema è di minimo, allora una sua istanza I si rappresenta nel modo seguente min f I (x) x S I e risolvere l istanza vuol dire trovare un x S I tale che f I (x ) f I (x) x S I. Ricerca Operativa 2 p. 5/6

6 Ottimo e valore ottimo In entrambi i casi il punto x viene chiamato ottimo (globale) dell istanza I del problema, mentre f I (x ) viene detto valore ottimo dell istanza. Ricerca Operativa 2 p. 6/6

7 Classi già note Problemi di Programmazione Lineare (PL): ogni istanza I è definita dal vettore c I dei coefficienti delle variabili nell obiettivo, dal vettore b I dei termini noti e dalla matrice dei vincoli A I : In tal caso: max c I x A I x b I x 0 f I (x) = c I x, S I = {x R n : A I x b I, x 0}. Ricerca Operativa 2 p. 7/6

8 Esempio max 2x 1 + 3x 2 + 4x 3 x 1 x 2 + x 3 5 x 1 + 2x 2 + 3x 3 2 x 1,x 2,x 3 0 c I = (2 3 4) b I = (5 2) A I = [ ] Ricerca Operativa 2 p. 8/6

9 Classi già note: continua Problemi di Programmazione Lineare Intera (PLI): max c I x A I x b I x 0 x Z n In tal caso: f I (x) = c I x, S I = {x Z n : A I x b I, x 0}. Ricerca Operativa 2 p. 9/6

10 Classificazione All interno delle classi dei problemi di ottimizzazione possiamo riconoscere due grandi categorie. Ottimizzazione Combinatoria: in ogni istanza I la regione ammissibile S I contiene un numero finito o un infinità numerabile di punti. Ottimizzazione Continua: la regione ammissibile S I può contenere un infinità non numerabile di punti. Ricerca Operativa 2 p. 10/6

11 Esempi Alla categoria dei problemi di ottimizzazione combinatoria appartiene la classe dei problemi di PLI; alla categoria dei problemi di ottimizzazione continua appartiene la classe dei problemi di PL. In questo corso ci occuperemo prevalentemente di problemi di ottimizzazione combinatoria (con regione ammissibile di solito costituita da un numero finito di elementi) ma dedicheremo una parte anche all ottimizzazione continua. Ricerca Operativa 2 p. 11/6

12 Cenni di complessità Come primo passo vogliamo associare ad ogni problema di ottimizzazione un grado di difficoltà. Ci renderemo conto che esistono delle notevoli differenze nella difficoltà di risoluzione dei diversi problemi di ottimizzazione. Tali differenze vengono formalizzate nella teoria della complessità. Per cominciare introdurremo come esempi di diversi gradi di difficoltà tre problemi di ottimizzazione. Ricerca Operativa 2 p. 12/6

13 Alberi Definizione Sia dato un grafo G = (V,A) con V = n dove V denota la cardinalità (il numero di elementi) dell insieme V. Si dice che G è un albero se soddisfa le seguenti condizioni (equivalenti tra loro) 1. G è privo di cicli e connesso (ovvero esiste un cammino tra ogni coppia di nodi); 2. G è privo di cicli e A = n 1; 3. G è connesso e A = n 1; 4. esiste un unico cammino che congiunge ogni coppia di nodi. Ricerca Operativa 2 p. 13/6

14 Alberi di supporto Definizione Sia dato un grafo generico G = (V,A). Si definisce albero di supporto di G un sottografo T = (V,A T ) di G (quindi con A T A) che è un albero. Si noti che un albero di supporto di G deve contenere tutti i nodi di G e che in virtù del punto 2. (o del punto 3.) della definizione di albero, si dovrà avere A T = V 1. Ad ogni arco e A del grafo associamo un peso w(e): w : A R Ricerca Operativa 2 p. 14/6

15 Esempio G = (V,A) V = {a,b,c,d} A = {(a,b); (a,c); (a,d); (b,c); (b,d); (c,d)} e w(e) (a, b) 3 (a, c) 6 (a, d) 2 (b, c) 5 (b, d) 4 (c, d) 8 Ricerca Operativa 2 p. 15/6

16 Albero di supporto a peso minimo Regione ammissibile S: è composta da tutti i possibili alberi di supporto del grafo G, che sono in numero finito. Funzione obiettivo f: per ogni albero di supporto T = (V,A T ) S è definita come somma dei pesi degli archi dell albero, cioè f(t) = e A T w(e). Il problema dell albero di supporto a peso minimo o Minimum Spanning Tree (abbreviato nel seguito con M ST ) consiste nel determinare un albero di supporto T = (V,A T ) tale che f(t ) f(t) T S Ricerca Operativa 2 p. 16/6

17 Esempio T 1 = (V,A T1 ) A T1 = {(a,b); (a,d); (c,d)} f(t 1 ) = = 13 T 2 = (V,A T2 ) A T2 = {(a,c); (b,d); (c,d)} f(t 2 ) = = 18 Ricerca Operativa 2 p. 17/6

18 Il problema dello zaino Sia dato un insieme {1,...,n} di oggetti. Ad ogni oggetto i è associato: un peso p i > 0; un valore v i > 0. Si ha inoltre a disposizione uno zaino con capacità (peso massimo trasportabile) pari a b > 0. Ricerca Operativa 2 p. 18/6

19 Regione ammissibile È formata da tutti i sottinsiemi di oggetti il cui peso complessivo non supera la capacità dello zaino e quindi S = {N {1,...,n} : p i b}. i N Si noti che S è un insieme finito. Infatti S 2 n. Ricerca Operativa 2 p. 19/6

20 Funzione obiettivo f La funzione obiettivo è definita dalla somma dei valori degli oggetti nel sottinsieme, ovvero f(n) = i N v i. Il problema dello zaino, indicato nel seguito come problema KNAPSACK, è un problema di massimo e consiste nel determinare un sottinsieme N S tale che f(n ) f(n) N S. Ricerca Operativa 2 p. 20/6

21 Esempio Si consideri l insieme {1, 2, 3, 4} di oggetti con i seguenti valori e pesi v 1 = 8 v 2 = 6 v 3 = 10 v 4 = 1 p 1 = 7 p 2 = 7 p 3 = 13 p 4 = 4 Si supponga inoltre che la capacità dello zaino sia b = 16. Si ha che N 1 = {1, 4} S con f(n 1 ) = 9, N 2 = {2, 4} S con f(n 2 ) = 7, N 3 = {1, 3} S. Ricerca Operativa 2 p. 21/6

22 Nota bene La classe di problemi KNAPSACK prende il nome da una sua particolare applicazione (mettere oggetti nello zaino) ma naturalmente questa non è l unica applicazione in cui ci si trova a risolvere problemi in tale classe. Ricerca Operativa 2 p. 22/6

23 Circuito hamiltoniano Definizione Dato un grafo orientato G = (V,A), un circuito hamiltoniano è un sottografo C = (V,A C ) i cui archi formano un cammino orientato all interno del grafo che partendo da un nodo dello stesso tocca tutti gli altri nodi una ed una sola volta e ritorna infine al nodo di partenza. NB: A C = V. Ricerca Operativa 2 p. 23/6

24 Regione ammissibile S È costituita da tutti i possibili circuiti hamiltoniani del grafo. Se il grafo è completo (cioè esiste un arco orientato tra ogni coppia ordinata di nodi) il numero di tali circuiti è pari a (n 1)! dove n = V è il numero di nodi. Ricerca Operativa 2 p. 24/6

25 Funzione obiettivo f Ad ogni arco (i,j) A è associato un valore d ij che rappresenta la "distanza" da percorrere lungo tale arco. Dato il circuito hamiltoniano C = (V,A C ), f associa a C la somma delle "distanze" degli n archi attraversati dal circuito, cioè f(c) = (i,j) A C d ij e rappresenta quindi la "distanza" complessiva percorsa lungo il circuito. Ricerca Operativa 2 p. 25/6

26 Esempio Grafo completo con insieme di nodi V = {a,b,c,d}. Distanze d ij : a b c d a b c d Ricerca Operativa 2 p. 26/6

27 Esempio - continua C 1 = (V,A C1 ) A C1 = {(a,b); (b,c); (c,d); (d,a)} Circuito hamiltoniano a b c d a. f(c 1 ) = = 18 C 2 = (V,A C2 ) A C2 = {(a,c); (c,d); (d,b); (b,a)} Circuito hamiltoniano a c d b a. f(c 2 ) = = 19 Ricerca Operativa 2 p. 27/6

28 Il problema del commesso viaggiatore o Travelling Salesman Problem (abbreviato con TSP nel seguito) è un problema di minimo in cui si cerca un circuito hamiltoniano C = (V,A C ) con "distanza" complessiva minima, cioè f(c ) f(c) C S. Ricerca Operativa 2 p. 28/6

29 Il problema TSP simmetrico Problema TSP in cui: (i,j) e (j,i) A : d ij = d ji. Si può rappresentare con un grafo non orientato con un solo arco non orientato tra ogni coppia di nodi e il numero totale di circuiti hamiltoniani è dimezzato rispetto al caso asimmettrico. Ricerca Operativa 2 p. 29/6

30 Nota bene Come per la classe di problemi KNAPSACK, anche la classe TSP prende il nome da una sua particolare applicazione ma anche in questo caso questa non è l unica applicazione in cui ci si trova a risolvere problemi in tale classe. Ricerca Operativa 2 p. 30/6

31 Enumerazione completa Valuta la funzione f per ogni elemento in S e restituisci l elemento con valore di f minimo (o massimo se il problema è di massimo). Tutte le istanze dei tre problemi descritti in precedenza sono risolvibili in modo esatto con questa procedura, detta di enumerazione completa, poiché le regioni ammissibili sono sempre costituite da un numero finito di elementi. Ricerca Operativa 2 p. 31/6

32 Ma una semplice osservazione metterà in luce i limiti di questo approccio. Problema TSP su un grafo completo con numero di nodi n = 22 numero di circuiti hamiltoniani pari a (n 1)! = 21! > Ipotesi: la valutazione della funzione obiettivo per un singolo circuito hamiltoniano richieda un nanosecondo (10 9 secondi). Quindi la valutazione di tutti i circuiti hamiltoniani richiede più di secondi > 200 anni! Ricerca Operativa 2 p. 32/6

33 Da un punto di vista pratico si parlerà di problema risolvibile con una data procedura solo nel caso in cui la procedura restituisca una soluzione in tempi ragionevoli. Ciò rende la procedura di enumerazione completa accettabile solo per istanze di problemi di dimensioni limitate (quindi per grafi con pochi nodi per i problemi MST e TSP e per istanze con pochi oggetti per il problema KNAPSACK). Ricerca Operativa 2 p. 33/6

34 Domanda Esistono altre procedure che consentono di risolvere in tempi ragionevoli istanze dei tre problemi visti con dimensioni molto più elevate? Risposta: dipende dal problema. È facile trovare procedure più efficienti dell enumerazione completa ma mentre per uno dei problemi (il problema MST ) si possono risolvere in tempi ragionevoli istanze di grandi dimensioni, per il problema KNAPSACK e, ancor più, per il problema T SP può essere difficile risolvere anche istanze di dimensioni non troppo elevate. Tutto ciò ha una formulazione ben precisa nella teoria della complessità, della quale si daranno brevi cenni di seguito. Ricerca Operativa 2 p. 34/6

35 Complessità Dimensione dim(i) = quantità di memoria necessaria per memorizzare (in codifica binaria) l istanza I. Procedura di risoluzione o algoritmo A per il problema. numop A (I)= numero di operazioni elementari eseguite da A per risolvere I. Ricerca Operativa 2 p. 35/6

36 Analisi worst case L analisi worst case definisce il tempo t A (k) necessario all algoritmo A per risolvere istanze di dimensione k come il massimo tra tutti i tempi di esecuzione di istanze di dimensione k, cioè t A (k) = max numop A(I). I: dim(i)=k Ricerca Operativa 2 p. 36/6

37 Continua Tipicamente non si conosce l espressione analitica della funzione t A (k) ma se ne conosce l ordine di grandezza. Si dice che la funzione t A (k) = O(g(k)), ovvero che t A (k) è dell ordine di grandezza della funzione g(k), se esiste una costante u > 0 tale che t A (k) ug(k). Ricerca Operativa 2 p. 37/6

38 Diverse possibili funzioni g g(k) k = 10 k = 20 k = 30 k = 40 k = 50 log 2 (k) k k k k 1024 > 10 6 > 10 9 > > k! > > > > Ricerca Operativa 2 p. 38/6

39 Complessità degli algoritmi Un algoritmo per il quale t A (k) fosse dell ordine di grandezza di 2 k oppure k! si dice che ha complessità esponenziale. È evidente che un tale algoritmo consente di risolvere in tempi ragionevoli solo istanze di dimensioni limitate. Per questa ragione si cercano per i problemi algoritmi di risoluzione con complessità polinomiale, in cui cioè la funzione t A è dell ordine di grandezza di un polinomio k p per un qualche esponente p. Ricerca Operativa 2 p. 39/6

40 Continua Tanto maggiore è l esponente p del polinomio, quanto più rapidamente cresce il numero di operazioni dell algoritmo al crescere di k e quindi quanto più piccole sono le dimensioni dei problemi che l algoritmo è in grado di risolvere in tempi ragionevoli (già per p = 4 la crescita è piuttosto rapida). Tuttavia la crescita polinomiale è sempre preferibile ad una esponenziale. Ricerca Operativa 2 p. 40/6

41 Domanda Data una classe di problemi di ottimizzazione combinatoria, possiamo sempre trovare un algoritmo con complessità polinomiale che ne risolva le istanze? Risposta: forse, ma è molto improbabile. Ricerca Operativa 2 p. 41/6

42 La classe P Definizione Un problema di ottimizzazione appartiene alla classe P se esiste almeno un algoritmo di complessità polinomiale che lo risolve. I problemi di PL appartengono alla classe P ma l algoritmo del simplesso non ha complessità polinomiale! Esistono altri algoritmi che risolvono i problemi di PL e che hanno complessità polinomiale. Non è invece noto, ma è ritenuto improbabile, se i problemi di PLI appartengano alla classe P. Ricerca Operativa 2 p. 42/6

43 Algoritmo greedy per il problema MST Passo 1 Dato il grafo G = (V,A), si ordinino tutti gli m = A archi del grafo in ordine non decrescente rispetto al peso, cioè w(e 1 ) w(e 2 ) w(e m 1 ) w(e m ). Si parta con un insieme A T di archi vuoto, cioè A T =. Sia k = 1 Passo 2 Se A T = V 1 ci si arresta e si restituisce l albero T = (V,A T ) come soluzione. Altrimenti si vada al Passo 3. Passo 3 Se e k non forma cicli con gli archi in A T, lo si aggiunga ad A T, cioè si ponga A T = A T {e k }. Altrimenti si lasci A T invariato. Passo 4 Si ponga k = k + 1 e si ritorni al Passo 2. Ricerca Operativa 2 p. 43/6

44 Esempio e w(e) (a, b) 3 (a, c) 6 (a, d) 2 (b, c) 5 (b, d) 4 (c, d) 8 L algoritmo greedy, dopo l ordinamento degli archi, prende gli archi (a,d) e (a,b), scarta l arco (b,d) (forma un ciclo con i primi due) e infine prende l arco (b,c) arrestandosi a questo punto. Ricerca Operativa 2 p. 44/6

45 Complessità dell algoritmo Il numero di operazioni dell algoritmo è O( A log( A )), con A cardinalità dell insieme degli archi. Quindi: l algoritmo ha complessità polinomiale e ciò ci permette di dire che MST P. Ricerca Operativa 2 p. 45/6

46 Nota bene Nel risolvere un problema vorremmo sempre eseguire il minor numero possibile di operazioni. Quindi, dato un problema e un algoritmo che lo risolve, ci si può sempre chiedere se esista un algoritmo di complessità migliore che risolva il problema. Nel caso del MST tale algoritmo esiste e ha complessità pari a O( V 2 ) che, almeno per grafi densi, è migliore di O( A log( A )). Si può anche dimostrare che, in un senso che non specificheremo, questo algoritmo ha complessità ottima, ovvero non esiste un algoritmo che risolva il problema MST con complessità migliore di questa. Ricerca Operativa 2 p. 46/6

47 La classe NP Definizione Una classe di problemi con insieme di istanze I si dice che appartiene alla classe NP se, per ogni istanza I del problema, essendo nota la soluzione ottima x dell istanza, il calcolo del valore ottimo f I (x ) dell istanza può essere effettuato in un tempo polinomiale rispetto alla dimensione dell istanza. Ricerca Operativa 2 p. 47/6

48 P NP Infatti, per tutti i problemi nella classe P il calcolo del valore ottimo di ogni istanza del problema può essere effettuato in tempo polinomiale persino a prescindere dalla conoscenza della soluzione ottima x. Abbiamo quindi, in particolare, che MST P MST NP. Ricerca Operativa 2 p. 48/6

49 KNAPSACK NP Data una soluzione ottima N di un istanza I del problema di KNAPSACK, si ha f I (N ) = i N v i e quindi il calcolo richiede N n somme e quindi un numero polinomiale di operazioni rispetto alla dimensione dell istanza. Ricerca Operativa 2 p. 49/6

50 TSP NP Data una soluzione ottima C = (V I,A C ), dove A C = V I, di un istanza I, relativa al grafo G I = (V I,A I ), del problema di TSP, si ha f I (C ) = (i,j) A C e quindi il calcolo richiede V I somme, ovvero un numero polinomiale (in tal caso lineare) di operazioni rispetto alla dimensione dell istanza. d ij Ricerca Operativa 2 p. 50/6

51 Ma......stabilito che P NP, ci si può chiedere se tutti i problemi in NP sono risolvibili in tempo polinomiale, cioè P = NP, oppure se esistono problemi in NP che non sono risolvibili in tempo polinomiale, cioè P NP. La risposta è... beh, se l avete siete pronti ad entrare nell olimpo dei grandi della matematica! Tra le due possibili risposte quella che, di gran lunga, si ritiene la più probabile è che P NP. Ricerca Operativa 2 p. 51/6

52 Problemi NP completi Definizione Un problema si dice NP completo se soddisfa le seguenti due proprietà: appartiene alla classe NP ; se esistesse un algoritmo di complessità polinomiale che lo risolve, allora P = NP. Ricerca Operativa 2 p. 52/6

53 Continua In base alla definizione e al fatto che non sia chiaro se P = NP o P NP, possiamo dire che non sono al momento noti algoritmi di complessità polinomiale in grado di risolvere problemi N P completi. Inoltre, se, come si ritiene, P NP, allora non esisterebbero algoritmi di complessità polinomiale per tali problemi. Ne risulta quindi che la classe dei problemi NP completi è una classe di problemi "difficili" nel senso che, a meno che non sia P = NP, non possiamo risolverli in tempo polinomiale. Per i problemi visti abbiamo che KNAPSACK,TSP NP completi. Ricerca Operativa 2 p. 53/6

54 Problemi di approssimazione Sia data una classe di problemi di ottimizzazione con insieme I di istanze e tale che I I x S I : f I (x) 0. Per ogni istanza I I sia x la soluzione ottima dell istanza e sia opt(i) = f I (x ) il valore ottimo dell istanza. Ricerca Operativa 2 p. 54/6

55 Continua Definizione Per i problemi di massimo il problema di ε-approssimazione, ε 0, consiste nel determinare un punto x S I tale che opt(i) f I (x) 1 + ε. Per i problemi di minimo il problema di ε-approssimazione consiste nel determinare un punto x S I tale che f I (x) opt(i) 1 + ε. In entrambi i casi il punto x viene definito soluzione ε-approssimata del problema. Ricerca Operativa 2 p. 55/6

56 Continua Per ε = 0 il problema coincide con quello di ottimizzazione. Ma per ε > 0 si richiede qualcosa di meno rispetto al problema di ottimizzazione: non si cerca la soluzione ottima ma una soluzione che non si discosti troppo da quella ottima. In particolare, si ricava che in una soluzione ε-approssimata il valore f I in corrispondenza di tale soluzione differisce, sia per i problemi di massimo che per quelli di minimo, per al più εopt(i) dal valore ottimo opt(i) dell istanza. Chiaramente, tanto maggiore è il valore di ε, quanto minore è la precisione garantita da una soluzione ε-approssimata. Ricerca Operativa 2 p. 56/6

57 Algoritmi di approssimazione Un algoritmo A si definisce algoritmo di ε-approssimazione per una classe di problemi di ottimizzazione, se risolve il problema di ε-approssimazione associato ad ogni istanza I I del problema di ottimizzazione. Ricerca Operativa 2 p. 57/6

58 Ma allora dato un problema NP completo, qual è la complessità dei corrispondenti problemi di ε-approssimazione per diversi possibili valori di ε? Possiamo riconoscere quattro diversi possibili casi in ordine crescente di difficoltà. Ricerca Operativa 2 p. 58/6

59 I quattro gradi di difficoltà Caso 1 Per ogni ε > 0 esiste un algoritmo di ε-approssimazione che richiede tempi polinomiali sia rispetto alla dimensione delle istanze, sia rispetto all inverso 1 ε della precisione richiesta. In tal caso si dice che il problema ammette uno schema di approssimazione completamente polinomiale. Caso 2 Per ogni ε > 0 esiste un algoritmo di ε-approssimazione che richiede tempo polinomiale rispetto alla dimensione delle istanze ma esponenziale rispetto all inverso 1 ε della precisione richiesta. In tal caso si dice che il problema ammette uno schema di approssimazione polinomiale. Ricerca Operativa 2 p. 59/6

60 Caso 3 Per valori piccoli di ε, anche il problema di ε-approssimazione è N P completo, mentre per valori di ε più elevati è risolvibile in tempo polinomiale. Caso 4 Per ogni valore di ε il problema di ε-approssimazione è N P completo. Ricerca Operativa 2 p. 60/6

61 Tra i problemi visti KNAPSACK rientra nel Caso 1: esiste un algoritmo di approssimazione per tale problema, denominato algoritmo scaling-rounding, di complessità O ( n ε 2). T SP rientra nel Caso 4 (anche nel sottocaso simmetrico): per esso non è possibile risolvere in tempi polinomiali, a meno che non sia P = NP, neppure il problema di ε-approssimazione per ogni valore di ε. Più avanti introdurremo un caso particolare di problema TSP, chiamato problema TSP metrico, che, come vedremo, rientra nel Caso 3. Ricerca Operativa 2 p. 61/6

62 Tecniche euristiche Quando affrontiamo un problema vorremmo avere risposte in "tempi ragionevoli". Questo è tanto più difficile, quanto più difficile è il problema che cerchiamo di risolvere in base alla teoria della complessità. Quindi possiamo aspettarci che per problemi nella classe P si possano risolvere in modo esatto in "tempi ragionevoli" anche istanze molto grandi, mentre per problemi NP completi questo è più complicato, in taluni casi persino se ci si accontenta di una soluzione approssimata. Ricerca Operativa 2 p. 62/6

63 Tuttavia questa non è una regola sempre valida. Il tutto, infatti, è strettamente legato all applicazione a cui siamo interessati e a cosa si intende per "tempi ragionevoli" per essa. In alcune applicazioni si devono risolvere problemi appartenenti alla classe P ma si desiderano risposte in tempo reale (frazioni di secondo), che neppure un algoritmo di complessità polinomiale è in grado di fornire. In altre applicazioni si devono risolvere problemi difficili ma i tempi richiesti per la risposta sono molto larghi (giorni o persino mesi) ed in tal caso si può anche sperare di risolvere tali problemi in modo esatto nei limiti di tempo richiesti. Ricerca Operativa 2 p. 63/6

64 In ogni caso ci si pone la seguente domanda: cosa possiamo fare se i "tempi ragionevoli" entro cui si desidera una risposta sono troppo brevi per poter sperare di ottenere una soluzione esatta o approssimata del problema che stiamo affrontando? Possiamo utilizzare tecniche euristiche. Ricerca Operativa 2 p. 64/6

65 Tecniche euristiche Un euristica si può definire come un compromesso tra tempi di esecuzione e qualità della soluzione trovata e deve quindi soddisfare i seguenti due requisiti in conflitto tra loro: 1. essere eseguibile in tempi ragionevoli (in particolare deve avere complessità polinomiale); 2. deve restituire su molte istanze del problema una soluzione ottima o vicina a quella ottima. Ricerca Operativa 2 p. 65/6