2.3.5 Pianificazione di progetti

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1 ..5 Pianificazione di progetti Un progetto è costituito da un insieme di attività i, con i =,..., m, ciascuna di durata d i stima Tra alcune coppie di attività esistono relazioni di precedenza del tipo i j che indicano che j può iniziare solo dopo il completamento di i sempio ttività:,,,, Precedenze:,,,,. maldi Fondamenti di R.O. Politecnico di Milano

2 Modello Grafo G = (N, ) orientato : arco attività costo dell arco = durata dell attività Per tenere conto delle relazioni di precedenza, gli archi devono essere disposti in modo tale che: i j esiste un cammino orientato che contiene i due archi associati ad i e j in cui l arco associato a i precede quello associato a j i j. maldi Fondamenti di R.O. Politecnico di Milano

3 sempio ttività:,,,, Precedenze:,,,, attività fittizia ( durata = )! Semplificando il grafo non bisogna introdurre relazioni inesistenti mantenendo solo quest altra attività fittizia si impone anche!. maldi Fondamenti di R.O. Politecnico di Milano

4 Proprietà: Il grafo G è senza circuiti altrimenti esisterebbe un inconsistenza logica del tipo i,... jk ki (nodi numerati in ordine topologico : i < j (i, j) ). Nodo v evento che corrisponde al termine di tutte le attività (i, v) - (v) e quindi al possibile inizio di quelle (v, j) + (v) - (v) v + (v). maldi Fondamenti di R.O. Politecnico di Milano

5 Introducendo nodi e/o archi fittizi si ottiene un grafo G che contiene un unico nodo iniziale s che corrisponde all evento inizio del progetto, contiene un unico nodo finale t che corrisponde all evento fine del progetto, non contiene archi multipli (con gli stessi estremi). s t oppure s t. maldi Fondamenti di R.O. Politecnico di Milano 5

6 Pianificare un progetto equivale a sincronizzarne le attività in modo da minimizzare la durata complessiva ( istante di completamento dell ultima attività ). Poiché ogni cammino da s a t rappresenta una sequenza di attività da svolgere nell ordine specificato, il suo «costo» fornisce un limite inferiore alla durata minima complessiva del progetto. urata complessiva minima = lunghezza di un cammino massimo dal nodo iniziale s a quello finale t. maldi Fondamenti di R.O. Politecnico di Milano

7 lgoritmo PM ( ritical Path Method ) Per ogni nodo h N si determina: l istante al più presto Tmin[h] prima del quale l evento associato al nodo h non può accadere ( Tmin[n] corrisponde alla durata complessiva minima del progetto ) l istante al più tardi Tmax[h] in cui l evento associato ad h può accadere senza compromettere la durata complessiva minima efinizione: Per ogni attività (i, j), ij = Tmax[j] Tmin[i] d ij è lo slittamento di (i, j). maldi Fondamenti di R.O. Politecnico di Milano 7

8 sempio ato il seguente progetto ttività F G H I urata Predecessori -,, F relazioni di precedenza:,,,,, F, G, G, H, F I determinare la durata complessiva minima del progetto e lo slittamento di ogni attività. maldi Fondamenti di R.O. Politecnico di Milano

9 ttività:,,,,, F, G, H, I Relazioni di precedenza:,,,,, F, G, G, H, F I Modello: 5 F 7 attività fittizie H G I ( durata ). maldi Fondamenti di R.O. Politecnico di Milano 9

10 sempio 5 F 7 H G I attività fittizie ( durata ) [, ] 5 [, ] [ 5, ] 7 [, ] [, ] [, ] [ Tmin[i], Tmax[i] ] [, ] [, ]. maldi Fondamenti di R.O. Politecnico di Milano

11 [, ] [, ] [ 5, ] 5 7 [, 9 ] [[, ]] [[, ]] [ Tmin[i], Tmax[i] ] [, ] [, ]] [, ] 5 [, ] [ 5, ] [, 9 ] 7 [, ] [, ] [ Tmin[i], Tmax[i] ] [, ] [, ] cammino massimo. maldi Fondamenti di R.O. Politecnico di Milano

12 lgoritmo PM ( ritical Path Method ) input G = (N, ) con n = N, durata d ij per ogni (i, j) output Tmin[i] e Tmax[i] per i =,, n GIN Ordinare topologicamente i nodi; Tmin[] := ; FOR h:= TO n O Tmin[h] := MX{ Tmin[i] + d ih : (i,h) - (h) }; N-FOR Tmax[n] := Tmin[n]; // durata minima del progetto FOR h:=n OWNTO O Tmax[h] := MIN{ Tmax[j] d hj : (h,j) + (h) }; N-FOR N O(n+m) O(n+m) O(n+m) omplessità totale: O(m). maldi Fondamenti di R.O. Politecnico di Milano

13 ef. Un attività (i, j) con slittamento ij = è detta critica [, ] 5 [, ] [ 5, ] [, 9 ] 7 [, ] [, ] attività critiche [ Tmin[i], Tmax[i] ] [, ] [, ] (, ) non è critica perché = - - = 7 = = = - - = Osservazione: Tmin[i] = Tmax[i] e Tmin[j] = Tmax[j] non bastano affinché ij = Tmax[j] - Tmin[i] - d ij =!. maldi Fondamenti di R.O. Politecnico di Milano

14 Il cammino da a è critico perché tutti gli archi che lo compongono sono critici (ne esiste sempre almeno uno) [, ] 5 [, ] [ 5, ] [, 9 ] 7 [, ] [, ] [ Tmin[i], Tmax[i] ] [, ] [, ] cammino critico determina la durata minima del progetto =. maldi Fondamenti di R.O. Politecnico di Milano

15 iagrammi di Gantt Forniscono una rappresentazione temporale del progetto iagramma al più presto : ogni attività (i, j) inizia all istante Tmin[i] (i,j) d ij Tmin[i] Tmax[j] H F I G F G H I. maldi Fondamenti di R.O. Politecnico di Milano 5

16 iagramma al più tardi : ogni attività (i, j) termina all istante Tmax[j] (i,j) d ij Tmin[i] Tmax[j] H F I G F G H I. maldi Fondamenti di R.O. Politecnico di Milano