Algoritmi e strutture dati

Transcript

1 Algoritmi e Strutture Dati Minimo albero ricoprente Sia G = (V, E) un grafo connesso non orientato. Definizioni Un albero ricoprente di G è un sottografo T G tale che: T è un albero; T contiene tutti i vertici di G. Sia w(x,y) il costo (o peso) di un arco (x,y) E. Il costo di un albero è la somma dei costi dei suoi archi. Un minimo albero ricoprente di G è un albero ricoprente di costo minimo. 2 1

2 Esempi Il minimo albero ricoprente non è necessariamente unico 3 Proprietà di minimi alberi ricoprenti 4 2

3 Tagli e cicli Dato un grafo non orientato G = (V,E), un taglio in G è una partizione dei vertici V in due insiemi: X e V-X. Un arco e = (u,v) attraversa il taglio (X,X) se u X e v X Un ciclo è un cammino in cui il primo e l ultimo vertice coincidono 5 Un approccio goloso Costruiremo un minimo albero ricoprente un arco alla volta, effettuando scelte localmente golose. Ad esempio: includere nella soluzione archi di costo piccolo escludere dalla soluzione archi di costo elevato Formalizzeremo il processo come un processo di colorazione: archi blu: inclusi nella soluzione archi rossi: esclusi dalla soluzione 6 3

4 Regola del taglio (Regola blu) Scegli un taglio che non contiene archi blu. Tra tutti gli archi non colorati del taglio, scegline uno di costo minimo e coloralo blu. Ogni albero ricoprente deve infatti contenere almeno un arco del taglio E naturale includere quello di costo minimo 7 Regola del ciclo (Regola rossa) Scegli un ciclo che non contiene archi rossi. Tra tutti gli archi non colorati del ciclo, scegline uno di costo massimo e coloralo rosso. Ogni albero ricoprente deve infatti escludere almeno un arco del ciclo E naturale escludere quello di costo massimo 8 4

5 L approccio goloso L approccio goloso applica una delle due regole ad ogni passo, finché tutti gli archi sono colorati Si può dimostrare che esiste sempre un minimo albero ricoprente che contiene tutti gli archi blu e non contiene nessun arco rosso. Si può inoltre dimostrare che il metodo goloso colora tutti gli archi. 9 Tempi di esecuzione A seconda della scelta della regola da applicare e del taglio/ciclo usato ad ogni passo, si ottengono dal metodo goloso diversi algoritmi con diversi tempi di esecuzione 10 5

6 Algoritmo di Kruskal 11 Mantieni foresta di alberi blu, all inizio tutti disgiunti Strategia Per ogni arco, in ordine non decrescente di costo, applica il passo seguente : se l arco ha entrambi gli estremi nello stesso albero blu, applica regola del ciclo e coloralo rosso, altrimenti applica regola del taglio e coloralo blu I vertici nello stesso albero blu sono mantenuti tramite una struttura dati union/find 12 6

7 Pseudocodice 13 Esempio (1/2) 14 7

8 Esempio (2/2) 15 Analisi Il tempo di esecuzione dell algoritmo di Kruskal è O(m log n) nel caso peggiore (Utilizzando un algoritmo di ordinamento ottimo e la struttura dati union-find) 16 8

9 Algoritmo di Prim 17 Strategia Mantiene un unico albero blu T, che all inizio consiste di un vertice arbitrario Applica per (n-1) volte il seguente passo: scegli un arco di costo minimo incidente su T e coloralo blu (regola del taglio) Definiamo arco azzurro un arco (u,v) tale che u T, v T, e (u,v) ha il costo minimo tra tutti gli archi che connettono v ad un vertice in T: l algoritmo mantiene archi azzurri in una coda con priorità da cui viene estratto il minimo ad ogni passo 18 9

10 Pseudocodice 19 Esempio (1/2) 20 10

11 Esempio (2/2) 21 Analisi Il tempo di esecuzione dell algoritmo di Prim è O(m + n log n) nel caso peggiore (Realizzando la coda con priorità tramite heap di Fibonacci) 22 11

12 Algoritmo di Boruvka 23 Strategia Mantiene una foresta di alberi blu, all inizio tutti disgiunti Ad ogni passo, applica la regola seguente: per ogni albero blu T nella foresta, scegli un arco di costo minimo incidente su T e coloralo blu (regola del taglio) Per non rischiare di introdurre cicli, assumiamo che i costi degli archi siano tutti distinti Non è necessario usare strutture dati sofisticate 24 12

13 Esempio 25 Analisi Il tempo di esecuzione dell algoritmo di Boruvka è O(m log n) nel caso peggiore (Senza usare strutture dati sofisticate) 26 13

14 Riepilogo Paradigma generale per il calcolo di minimi alberi ricoprenti Applicazione della tecnica golosa Tre algoritmi specifici ottenuti dal paradigma generale: Prim, Kruskal e Boruvka L uso di strutture dati sofisticate ci ha permesso di implementare tali algoritmi in modo efficiente 27 14