Le applicazioni degli algoritmi di visita dei grafi. Gianpiero Cabodi e Paolo Camurati Dip. Automatica e Informatica Politecnico di Torino

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1 Le applicazioni degli algoritmi di visita dei grafi Gianpiero Cabodi e Paolo Camurati Dip. Automatica e Informatica Politecnico di Torino

2 di visita dei grafi 2 Rilevazione di cicli Un grafo è aciclico se e solo se in una visita in profondità non si incontrano archi etichettati B.

3 Componenti connesse In un grafo non orientato rappresentato come lista delle adiacenze: ogni albero della foresta della DFS è una componente connessa G->cc[v] è un array avente come indici i vertici che memorizza un intero che identifica ciascuna componente connessa. componenti connesse A.A. 2004/2005 di visita dei grafi 3

4 Connettività Dato un grafo non orientato e connesso, determinare se perde la proprietà di connessione a seguito della rimozione di: un arco un nodo. Ponte (bridge): arco la cui rimozione disconnette il grafo. Punto di articolazione: vertice la cui rimozione disconnette il grafo. A.A. 2004/2005 di visita dei grafi 4

5 di visita dei grafi 5 Esempio

6 di visita dei grafi 6 Bridge Un arco (v,w) Back non può essere un ponte (i vertici v e w sono anche connessi da un cammino nell albero della visita DFS). Un arco (v,w) Tree è un ponte se e solo se non esistono archi Back che connettono un discendente di w a un antenato di v nell albero della visita DFS.

7 Grafo trasposto Dato un grafo orientato G =(V, E), il suo grafo trasposto G T = (V, E T ) è tale per cui (u, v) E (v,u) E T. Implementazione con lista delle adiacenze: Graph GRAPHreverse(Graph G) { int v; link t; Graph R = GRAPHinit(G->V); for (v=0; v < G->V; v++) for (t= G->adj[v]; t!= NULL; t = t->next) GRAPHinsert(R, EDGE(t->v, v)); return R; } A.A. 2004/2005 di visita dei grafi 7

8 Directed Acyclic Graph (DAG) DAG: modelli impliciti per ordini parziali utilizzati nei problemi di scheduling. Scheduling: dati compiti (tasks) e vincoli di precedenza (constraints) come programmare i compiti in modo che siano tutti svolti rispettando le precedenze. A.A. 2004/2005 di visita dei grafi 8

9 Ordinamento topologico (inverso): riordino dei vertici secondo una linea orizzontale, per cui se esiste l arco (u, v) il vertice u compare a SX (DX) di v e gli archi vanno tutti da SX (DX) a DX (SX). I tempi di fine elaborazione post della visita DFS danno un ordinamento topologico inverso del DAG A.A. 2004/2005 reverse topological sort di visita dei grafi 9

10 Esempio 5 slip 8 calzini 6 pantaloni 7 scarpe 3 cintura 0 camicia 1 cravatta 4 orologio A.A. 2004/ giacca di visita dei grafi 10

11 di visita dei grafi 11 } 5 slip 8 calzini 6 pantaloni 3 cintura 7 scarpe 0 camicia 4 orologio 1 cravatta 2 giacca 2

12 di visita dei grafi 12 } 5 slip 8 calzini 6 pantaloni 3 cintura 7 scarpe 0 camicia 4 orologio 1 cravatta 2 giacca 2 1

13 di visita dei grafi 13 } 5 slip 8 calzini 6 pantaloni 3 cintura 7 scarpe 0 camicia 4 orologio 1 cravatta 2 giacca 2 1 3

14 di visita dei grafi 14 } 5 slip 8 calzini 6 pantaloni 3 cintura 7 scarpe 0 camicia 4 orologio 1 cravatta 2 giacca

15 di visita dei grafi 15 } 5 slip 8 calzini 6 pantaloni 3 cintura 7 scarpe 0 camicia 4 orologio 1 cravatta 2 giacca

16 di visita dei grafi 16 } 5 slip 8 calzini 6 pantaloni 3 cintura 7 scarpe 0 camicia 4 orologio 1 cravatta 2 giacca

17 di visita dei grafi 17 } 5 slip 8 calzini 6 pantaloni 3 cintura 7 scarpe 0 camicia 4 orologio 1 cravatta 2 giacca

18 di visita dei grafi 18 } 5 slip 8 calzini 6 pantaloni 3 cintura 7 scarpe 0 camicia 4 orologio 1 cravatta 2 giacca

19 di visita dei grafi 19 } 5 slip 8 calzini 6 pantaloni 3 cintura 7 scarpe 0 camicia 4 orologio 1 cravatta 2 giacca

20 di visita dei grafi 20 ordine topologico inverso ordine topologico

21 Componenti fortemente connesse Algoritmo di Kosaraju: trasponi il grafo esegui DFS sul grafo trasposto, calcolando i tempi di scoperta e di fine elaborazione esegui DFS sul grafo originale per tempi di fine elaborazione descrescenti gli alberi dell ultima DFS sono le componenti fortemente connesse. A.A. 2004/2005 scc di visita dei grafi 21

22 di visita dei grafi 22 Esempio G G T

23 di visita dei grafi 23 Visita DFS del grafo trasposto G T 0/5 2/3 6/9 7/ /4 14/15 10/13 11/12

24 Visita DFS del grafo secondo tempi decrescenti di fine elaborazione del grafo trasposto G T scc4 scc G A.A. 2004/2005 scc2 scc1 di visita dei grafi 24