Gli algoritmi ricorsivi di ordinamento. Paolo Camurati Dip. Automatica e Informatica Politecnico di Torino

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1 ordinamento Paolo Camurati Dip. Automatica e Informatica Politecnico di Torino

2 Merge Sort Ricorsivo, divide et impera Stabile Divisione: due sottovettori SX e DX rispetto al centro del vettore. p r A.A. 2004/2005 p q q+1 ordinamento 2 r

3 Ricorsione merge sort su sottovettore DX merge sort su sottovettore SX condizione di terminazione: con 1 (p=r) o 0 (p>r) elementi è ordinato Ricombinazione: fondi i due sottovettori ordinati in un vettore ordinato. A.A. 2004/2005 ordinamento 3

4 A.A. 2004/2005 ordinamento 4 Esempio Divisione ricorsiva:

5 A.A. 2004/2005 ordinamento 5 Ricombinazione

6 A.A. 2004/2005 ordinamento 6 Implementazione C void MergeSort(int A[], int p, int r) { int q; if (p < r) { q = (p + r)/2; MergeSort(A, p, q); MergeSort(A, q+1, r); Merge(A, p, q, r); } return; }

7 A.A. 2004/2005 ordinamento 7 void Merge(int A[], int p, int q, int r) { int B[MAX], i, j, k; for (i=p, j=q+1, k=p; i<=q && j<=r; ) if ( A[i] < A[j] ) B[k++] = A[i++]; else B[k++] = A[j++]; for ( ; i<=q; ) B[k++] = A[i++]; for ( ; j<=r; ) B[k++] = A[j++]; for ( k=p; k<=r; k++ ) A[k] = B[k]; return; }

8 A.A. 2004/2005 ordinamento 8 Analisi Ipotesi: n = 2 k. Dividi: calcola la metà di un vettore D(n)=Θ(1) Risolvi: risolve 2 sottoproblemi di dimensione n/2 ciascuno 2T(n/2) Terminazione: semplice test Θ(1) Combina: basata su Merge C(n) = Θ(n)

9 Equazione alle ricorrenze T(n) = 2T(n/2) + n n 2 T(1) = 1 soluzione: T(n) = Θ(n lg n). A.A. 2004/2005 ordinamento 9

10 Intuitivamente: log 2 n Livelli di ricorsione: log 2 n Operazioni per livello: n A.A. 2004/2005 Operazioni totali: n log 2 n ordinamento 10

11 A.A. 2004/2005 ordinamento 11 Quicksort Ricorsivo, divide et impera In loco Non stabile Divisione: partiziona il vettore A[p..r] in due sottovettori SX e DX: dato un elemento pivot x SX A[p..q] contiene tutti elementi x DX A[q+1..r] contiene tutti elementi x la divisione non è necessariamente a metà

12 Ricorsione quicksort su sottovettore SX A[p..q] quicksort su sottovettore DX A[q+1..r] condizione di terminazione: se il vettore ha 1 elemento è ordinato Ricombinazione: nulla. A.A. 2004/2005 ordinamento 12

13 A.A. 2004/2005 ordinamento 13 Partition Pivot x = A[p] Individua A[i] e A[j] elementi fuori posto ciclo discendente j fino a trovare un elemento minore del pivot x ciclo discendente su i fino a trovare un elemento maggiore del pivot x Scambia A[i] e A[j] Ripeti fintanto che i < j T(n) = Θ(n).

14 Esempio di partition p r A x i j A A A i j i j A.A. 2004/2005 q j i ordinamento 14

15 A.A. 2004/2005 ordinamento 15 Esempio di quicksort A x x x x x x A x

16 A.A. 2004/2005 Implementazione C int partition ( int A[], int p, int r ) { int x, i, j, temp; x = A[p]; i=p-1; j=r+1 while (i < j) { while(a[--j] > x); while(a[++i] < x); if (i<j) { temp = A[i]; A[i] = A[j]; A[j] = temp; } } return(j); } ordinamento 16

17 A.A. 2004/2005 ordinamento 17 Void quicksort ( int A[], int p, int r ) { int q; if (p < r) { q = partition(a, p, r); quicksort(a, p, q); quicksort(a, q+1, r); } return; }

18 A.A. 2004/2005 ordinamento 18 Analisi Efficienza legata al bilanciamento delle partizioni A ogni passo partition ritorna: caso peggiore un vettore da n-1 elementi e l altro da 1 caso migliore due vettori da n/2 elementi caso medio due vettori di dimensioni diverse. Bilanciamento legato alla scelta del pivot.

19 Caso peggiore Caso peggiore: pivot = minimo o massimo (vettore già ordinato) Equazione alle ricorrenze: T(n) = T(n-1) + n T(1) = 1 T(n) = Θ(n 2 ) n>=2 A.A. 2004/2005 ordinamento 19

20 n n 1 n-1 n n 1 n-2 1 n n-1 n-2... A.A. 2004/ T(n) = Θ(n 2 ) ordinamento 20 2

21 Caso migliore Equazione alle ricorrenze: T(n) = 2T(n/2) + n T(1) = 1 T(n) = Θ(n lg n) n>=2 A.A. 2004/2005 ordinamento 21

22 n n n/2 n/2 n lg n n/4 n/4 n/4 n/4 n n A.A. 2004/2005 T(n) = Θ(n lg n) ordinamento 22

23 Caso medio Purché non si ricada nel caso peggiore, anche se il partizionamento è molto sbilanciato, caso medio = caso migliore Esempio: ad ogni passo si generano 2 partizioni, la prima con 9/10 n e la seconda con n/10 elementi. A.A. 2004/2005 ordinamento 23

24 A.A. 2004/2005 ordinamento 24 n n n/10 9n/10 n log 10 n n/100 9n/100 9n/100 81n/100 n log 10/9 n 1 T(n) = Θ(n lg n) 1 n

25 Scelta del pivot Elemento a caso: genera un numero casuale i con p i r, poi scambia A[1] e A[i], usando come pivot A[1] Elemento di mezzo: x A[(p+r)/2] Scegliere il valore medio tra min e max Scegliere la mediana tra 3 elementi presi a caso nel vettore A.A. 2004/2005 ordinamento 25