Ricerca. Per ricerca si intende il procedimento di localizzazione di una particolare informazione in un elenco di dati.

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1 Ricerca Per ricerca si intende il procedimento di localizzazione di una particolare informazione in un elenco di dati. Il problema della ricerca in termini generali : dato un insieme D = {a 1,a 2,...,a n } di n elementi distinti e un elemento x (elemento chiave), determinare se x appartiene all'insieme. Il metodo di ricerca dipende da come le informazioni sono organizzate, esistono due possibili approcci : Ricerca Sequenziale serve per ricercare i dati in un vettore NON ordinato Ricerca Binaria o Dicotomica serve nel caso in cui i dati nel vettore siano già ordinati

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3 Ricerca Binaria L algoritmo può essere descritto mediante i seguenti passi : 1. Si individua l elemento che sta a metà del vettore (mediano) 2. Si confronta la chiave x con tale elemento. Se l elemento individuato non è uguale a quello cercato si prosegue in due modi possibili : se x > elemento mediano la ricerca continua solo nel sottovettore destro se x < elemento mediano la ricerca continua solo nella sottovettore sinistro 3. Il procedimento continua iterativamente dimezzando ogni volta la taglia del vettore, e arrestandosi quando l'elemento mediano è uguale ad x (esito positivo) o quando non è più possibile suddividere (esito negativo)

4 Ricerca Binaria La ricerca termina con successo quando l elemento mediano V[i] considerato ad un certo passo è proprio uguale alla chiave x. La ricerca termina con insuccesso quando la parte di vettore considerata è costituita da un solo elemento diverso dalla chiave. Osservazione : Per il calcolo del valore mediano abbiamo bisogno di tre indici che individuino l'inizio, la fine e la metà del vettore considerato ad ogni passo

5 Ricerca Binaria function res = BinSearch(v, x, min, max) % INPUT % v : vettore degli elementi % x : chiave da cercare % OUTPUT % res : indice di v dove è presente l'elemento x. 0 se l'elemento non è presente med = floor((min + max)/2); if x == v(med) % 1 criterio di arresto res = med; else if min == max % 2 criterio di arresto res = 0; else if x < v (med) res = BinSearch (v, x, min, med-1); else res = BinSearch (v, x, med+1, max); end end end

6 Ricerca Binaria La ricerca binaria è un algoritmo divide et impera (divide and conquer), cioè è un algoritmo che divide il problema in due o più sotto-problemi dello stesso tipo (nel nostro caso ancora vettori ordinati), ma di taglia inferiore, quindi più facili da risolvere Struttura ricorsiva del problema: - ciascuno dei sotto-problemi è ancora un problema di ricerca binaria Fase di ricombinazione: le soluzioni dei sotto-problemi in generale devono essere ricombinate per ottenere una soluzione del problema iniziale Nel caso della ricerca binaria non è necessaria la ricombinazione

7 Teorema Master Permette di analizzare la complessità di algoritmi basati sulla tecnica del divide et impera: - dividi il problema (di dimensione n) in a 1 sottoproblemi di dimensione n/b, b>1 - risolvi i sotto-problemi, ricorsivamente ricombina le soluzioni Sia f(n) il tempo per dividere e ricombinare istanze di dimensione n. La relazione di ricorrenza è data da: T(n) = a T(n/b) + f(n) se n>1 1 se n=1

8 Teorema Master Ricerca binaria a=1, b=2, f(n) = Θ(1) MergeSort a=2, b=2, f(n) = Θ(n)

9 Teorema Master La relazione di ricorrenza: T(n) = a T(n/b) + f(n) se n>1 1 se n=1 ha soluzione: log 1. T(n) = (n b a log ) se f(n)=o(n b a - ) per qualche >0 log 2. T(n) = (n b a log log n) se f(n) = (n b a ) log b a + 3. T(n) = (f(n)) se f(n)= (n ) per qualche >0 (ma sotto l ulteriore ipotesi che f(n) soddisfi la condizione di regolarità : a*f(n/b) c*f(n) per qualche c<1 ed n sufficientemente grande)

10 Teorema Master Esempi: 1. T(n) = n + 2T(n/2) a=2, b=2, f(n) = n = (n log 2 2 ) -----> T(n)= (n log n) (caso 2 del teorema master) 2. T(n) = c + 3T(n/9) a=3, b=9, f(n) = c = O(n log 9 3 Ԑ ) Ԑ = 0.5, c = O(1) ---> T(n)= (n log 9 3 ) = ( n) (caso 1 del teorema master) 3. T(n) = n + 3T(n/9) a=3, b=9, f(n) = n = (n log Ԑ ) Ԑ = 0.5, f(n) = (n), 3(n/9) c.n per c=1/3 --> T(n) = (n) (regolarità) (caso 3 del teorema master)

11 Teorema Master Esempi: 1. T(n) = 2T(n/2) + nlogn a=2, b=2, f(n) = nlogn e n log 2 2 = n Apparentemente si può applicare il caso 3 perché f(n) = (n). Ma f(n) (n 1+Ԑ ); f(n)/n = logn che è asintoticamente inferiore di n Ԑ per qualunque costante positiva Ԑ. Quindi questa ricorrenza non può essere risolta con il teorema Master

12 Teorema Master Esercizi Risolvere le seguenti relazioni di ricorrenza: 1. T(n) = 9T(n/3) + n 2. T(n) = T(2n/3) T(n) = 3T(n/4) + nlogn

13 Teorema Master Esercizio 1 Nell ipotesi che Proc(m) = Θ( m ), determinare la complessità asintotica (caso peggiore) della seguente procedura Fun(A, n) al crescere di n N. Fun(A, n) if n < 1 then return 1 t Fun(A, n/2) if t > n 2 then t t (1/2) Fun(A, n/2) for j 1 to n do t t + A[j] + Proc(n) return t

14 Teorema Master Esercizio 2 Considerata la ricorrenza: si richiede di: T (n) = 10T(n/3) + 3n 2 + n 1. risolverla utilizzando il teorema principale; 2. dire se T (n) = O(n 2 ), giustificando la risposta.

15 Array Multidimensionali Sono array con più di due indici Li creiamo con sintassi simile alle matrici bidimensionali >> zeros(3,4,5) crea un array 3x4x5 con elementi settati a zero Oppure si possono creare con l'operatore [ ] >> A = [5 7 8; 0 1 9; 4 3 6]; %crea una matrice 3x3 >> A(:,:,2) = [1 0 4; 3 5 6; 9 8 7] % aggiunge una dimensione ad A

16 Array Multidimensionali >> A = [5 7 8; 0 1 9; 4 3 6]; %crea una matrice 3x3 >> A(:,:,2) = [1 0 4; 3 5 6; 9 8 7] % aggiunge una dimensione ad A >> A(:,:,1) = >> A(:,:,2) =

17 Array Multidimensionali Possibile creare array multidimensione con il comando cat >> B = cat( 3, [2 8; 0 5], [1 3; 7 9], [2 3; 4 6]) % Concatena le matrici passate in input sulla terza dimensione >> B(:,:,1) = >> B(:,:,2) = >> B(:,:,3) =

18 Array di celle Un array di celle è un array in cui ogni elemento è a sua volta un array/matrice Ogni elemento può essere di tipo diverso (e.g. un elemento può essere un array di interi, un altro una stringa). Si può creare un array di celle in tre modi: 1. A(1,1) = { Walden } 2.A{1,1} = Walden 3.Con la funzione cell

19 Array di celle celldisp() e cellplot() sono comandi per stampare a video array di celle >> A = {[1:4], [0, 9, 2], [2:5], [6:8]} >> celldisp(a) >> cellplot(a) >> A{1,3} % vettore contenuto nella cella >> A(1,3) % ritorna la cella, non il contenuto >> A(1,2) >> A{1,2} >> A{1,2}(1,2) >> A(1,2)(1,3) % why it this an error? >> A{1,2}(1,3) % why does this work?

20 Array di stringhe Le stringhe sono array di caratteri >> a = 'string' >> size(a) ans = 1 6 a = [a 'string2'] % concatenazione di stringhe >> size(a) ans = 1 13 a=char('pipppo','it') % Cosa restituisce?

21 Array di stringhe a=char('string','1', 'sette') a = string 1 sette >> size(a) % a è un array multidimensione di caratteri ans = 3 6 >> a(1,5) >> a(2,1) >> a(2,5) %?

22 Array di stringhe Confronto tra stringhe - strcmp controlla solo l'uguaglianza - abbiamo la scorsa lezione una funzione per il confronto tra stringhe a=char('string','otto', 'sette') >> a(1) < a(2) ans = 0 >> a(1) > a(3) ans = 1

23 Strutture Le strutture sono array multidimensione con elementi a cui si accede mediante indici testuali Esempio:» T.nome = 'Mario Rossi';» T.matricola = ;»T T= nome: 'Mario Rossi' matricola:

24 Strutture Le strutture possono essere create dinamicamente mediante l'operatore di accesso ai membri. Sintassi : array_name.field_name = field_value E' possibile creare ed inserire tutti i valori dei diversi campi di una struttura con una singola istruzione T = struct( nome,'mario Rossi', matricola, ) Per i campi stringa occorre specificare gli apici

25 Array di Strutture Un array di strutture è una collezione di strutture Ogni struttura ha gli stessi campi, ognuno dei quali può però essere di tipo differente dagli altri T(index1).Field1 = [ vector ] T(index1).Field2 = string T(index1).Field3 = number T(index2).Field1 = [ vector2 ] T(index2).Field2 = string2 T(index2).Field3 = number2

26 Array di Strutture Inserire in maniera concisa un nuovo record nell'array: >> T(3) = struct('nome','carla','matricola', ) Nota che occorre conoscere a priori i campi della struttura

27 Array di Strutture disp(t) % visualizza i campi presenti in ogni elemento della struttura disp(t(index)) % visualizza i valori dei campi dell'elemento index Aggiungere un nuovo campo ad un array esistente >> T(2).eta = 15; >> disp(t) 1x2 struct array with fields: nome key eta >> disp(t(1)) nome: 'uno' key: '1' eta: []

28 Esercizi Esercizio 3. Scrivere una funzione MATLAB che fornisce all'utente la scelta di due possibili operazioni: 1. inserire da tastiera il nome ed il codice (intero) di un nuovo articolo 2. Ricerca tramite codice di un articolo e nel caso esso esista ne stampa il nome, altrimenti stampa a video il messaggio articolo inesistente. Il programma deve ciclare su queste due opzioni finché l'utente non digita esci