Valutazione di progressioni geometriche

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1 Universitá degli Studi di Salerno Corso di Introduzione agli Algoritmi e Strutture Dati Prof. Ugo Vaccaro Anno Acc. 2015/16 p. 1/22 Valutazione di progressioni geometriche Somme finite: Sia S n = n i=0 αi. Se α 1 allora S n (α 1) = α S n S n = n α i+1 i=0 n i=0 = α+α α n +α n+1 1 α α 2... α n = α n+1 1 da cui S n = (α n+1 1)/(α 1). Somme infinite: Supponiamo 0 < α < 1 e sia S = i=0 αi. Allora αs = i=1 αi, da cui α i S(1 α) = S αs = α i i=0 α i = α 0 = 1, ovvero S = 1/(1 α) i=1

2 Universitá degli Studi di Salerno Corso di Introduzione agli Algoritmi e Strutture Dati Prof. Ugo Vaccaro Anno Acc. 2015/16 p. 2/22 Esempio Calcoliamo log 3 n i=0 (1/3) i ovviamente vale che ) i < ( 1 i i=0 3) log3 n i=0 ( 1 3 Applicando quindi la formula S n = i=0 α i = 1 1 α alla espressione otteniamo log 3 n i=0 ( ) 1 i < 3 i=0 i=0 ( ) 1 i 3 ( ) 1 i = (1/3) = (3/2)

3 Universitá degli Studi di Salerno Corso di Introduzione agli Algoritmi e Strutture Dati Prof. Ugo Vaccaro Anno Acc. 2015/16 p. 3/22 Parliamo ora di Analisi di Algoritmi Ricorsivi: Come esprimere la complessità di algoritmi ricorsivi mediante relazioni di ricorrenza Come derivare le relazioni di ricorrenza Come risolvere le relazioni di ricorrenza

4 Universitá degli Studi di Salerno Corso di Introduzione agli Algoritmi e Strutture Dati Prof. Ugo Vaccaro Anno Acc. 2015/16 p. 4/22 Struttura tipica di algoritmi ricorsivi Algoritmo A(I). A(I 1 ). A(I a ) I è l input iniziale all algoritmo. i puntini ". sono istruzioni di qualche tipo A(I 1 ),...,A(I a ) sono le a chiamate ricorsive all algoritmo A, rispettivamente sugli input I 1,...,I a.

5 Universitá degli Studi di Salerno Corso di Introduzione agli Algoritmi e Strutture Dati Prof. Ugo Vaccaro Anno Acc. 2015/16 p. 5/22 Derivazione di relazioni di ricorrenza Per derivare le relazioni di ricorrenza che descrivono il tempo di esecuzione T(n) di un algoritmo occorre: Determinare la taglia dell input n Determinare quale valore n 0 di n è usato per la base della ricorsione (generalmente, ma non sempre, n 0 = 1). Determinare il valore T(n 0 ) del tempo di esecuzione sulla base della ricorsione (spesso basterà essere certi che T(n 0 ) = c, per qualche costante c) Il valore T(n) sarà generalmente uguale ad una somma del tipo T(m 1 )+...+T(m a ) (per le chiamate ricorsive), piú la somma di eventuale altro lavoro fatto. Spesso le a chiamate ricorsive saranno effettuate tutte su sottoproblemi di taglia uguale f(n), dando un termine at(f(n)) nella relazione di ricorrenza.

6 Universitá degli Studi di Salerno Corso di Introduzione agli Algoritmi e Strutture Dati Prof. Ugo Vaccaro Anno Acc. 2015/16 p. 6/22 Tipica relazione di ricorrenza T(n) = c sen = n 0 at(f(n))+g(n) altrimenti n 0 =base ricorsione, c =tempo di esecuzione per la base a =numero di volte che le chiamate ricorsive sono effettuate f(n) =taglia dei problemi risolti nelle chiamate ricorsive g(n) =tutto il tempo di calcolo non incluso nelle chiamate ricorsive

7 Universitá degli Studi di Salerno Corso di Introduzione agli Algoritmi e Strutture Dati Prof. Ugo Vaccaro Anno Acc. 2015/16 p. 7/22 Esempi procedure bugs(n) if n = 1 then do qualcosa else bugs(n 1); bugs(n 2); for i = 1 to n do qualcosa T(n) = c sen = 1 T(n 1)+T(n 2)+cn altrimenti

8 Universitá degli Studi di Salerno Corso di Introduzione agli Algoritmi e Strutture Dati Prof. Ugo Vaccaro Anno Acc. 2015/16 p. 8/22 Esempi procedure daffy(n) if n = 1 or n = 2 then do qualcosa else daffy(n 1); for i = 1 to n do qualcosa di nuovo daffy(n 1) T(n) = c sen 2 2T(n 1)+cn altrimenti

9 Universitá degli Studi di Salerno Corso di Introduzione agli Algoritmi e Strutture Dati Prof. Ugo Vaccaro Anno Acc. 2015/16 p. 9/22 Esempi procedure elmer(n) if n = 1 then do qualcosa else if n = 2 then do qualcos altro else for i = 1 to n do elmer(n 1) fa qualcosa di differente T(n) = c sen 2 nt(n 1)+cn altrimenti

10 Universitá degli Studi di Salerno Corso di Introduzione agli Algoritmi e Strutture Dati Prof. Ugo Vaccaro Anno Acc. 2015/16 p. 10/22 Esempi procedure bar(n) if n = 1 then do qualcosa else for i = 1 to n do bar(i) fa qualcosa di differente T(n) = c sen = 1 n i=1 T(i)+cn altrimenti

11 Universitá degli Studi di Salerno Corso di Introduzione agli Algoritmi e Strutture Dati Prof. Ugo Vaccaro Anno Acc. 2015/16 p. 11/22 Un teorema generale Teorema: Se n è potenza di c, la soluzione alla ricorrenza T(n) = d sen 1 at(n/c) + bn altrimenti è T(n) = O(n) sea < c O(nlogn) sea = c O(n log c a ) sea > c Esempi: Se T(n) = 2T(n/3)+dn, allora T(n) = O(n) Se T(n) = 2T(n/2)+dn, allora T(n) = O(nlogn) Se T(n) = 4T(n/2)+dn, allora T(n) = O(n 2 )

12 Universitá degli Studi di Salerno Corso di Introduzione agli Algoritmi e Strutture Dati Prof. Ugo Vaccaro Anno Acc. 2015/16 p. 12/22 Cenni di dimostrazione, quando n = c i T(n) = a T(n/c)+bn (per ipotesi) = a(a T(n/c 2 )+bn/c)+bn (in quanto T(n/c) = at(n/c 2 )+bn/c) = a 2 T(n/c 2 )+abn/c+bn = a 2 (a T(n/c 3 )+bn/c 2 )+abn/c+bn = a 3 T(n/c 3 )+a 2 bn/c 2 +abn/c+bn i 1 = a i T(n/c i )+bn (a/c) j = a log c n T(1)+bn log c n 1 (a/c) j (poichè i = log c n)

13 Universitá degli Studi di Salerno Corso di Introduzione agli Algoritmi e Strutture Dati Prof. Ugo Vaccaro Anno Acc. 2015/16 p. 13/22 continuando... T(n) = a log c n T(1)+bn = da log c n +bn log c n 1 log c n 1 (a/c) j (dalla slide precedente) (a/c) j (per ipotesi T(1) = d) Ricordando che x = y log y x, abbiamo a log c n = (c log c a ) log c n = (c log c n ) log c a = n log c a e quindi T(n) = d n log c a +bn log c n 1 (a/c) j

14 Universitá degli Studi di Salerno Corso di Introduzione agli Algoritmi e Strutture Dati Prof. Ugo Vaccaro Anno Acc. 2015/16 p. 14/22 Per calcolare log c n 1 (a/c) j occorre ricordare ció che abbiamo già visto sulle Progressioni Geometriche, ovvero: Somme finite: Se α 1 allora n i=0 α i = αn+1 1 α 1 (1) Somme infinite: Se 0 < α < 1. Allora i=0 α i = 1 1 α (2)

15 Universitá degli Studi di Salerno Corso di Introduzione agli Algoritmi e Strutture Dati Prof. Ugo Vaccaro Anno Acc. 2015/16 p. 15/22 ritornando alla dimostrazione... Caso 1: a < c (cioè (a/c) < 1) log c n 1 (a/c) j < (a/c) j = 1 1 a/c = c c a Pertanto (dalla formula (2) precedente) T(n) < d n log c a +bcn/(c a) = O(n) (Infatti, a < c log c a < 1 e quindi il termine d n log c a è O(n))

16 Universitá degli Studi di Salerno Corso di Introduzione agli Algoritmi e Strutture Dati Prof. Ugo Vaccaro Anno Acc. 2015/16 p. 16/22 altro caso... Caso 2: a = c Allora T(n) = d n log c a +bn = d n log c a +bn = O(nlogn) log c n 1 log c n 1 (a/c) j (1) j

17 Universitá degli Studi di Salerno Corso di Introduzione agli Algoritmi e Strutture Dati Prof. Ugo Vaccaro Anno Acc. 2015/16 p. 17/22 ed infine... Caso 3: a > c (il che implica (a/c) 1) Dalla precedente formula (1) otteniamo log c n 1 Pertanto, (a/c) j = (a/c)log c n 1 (a/c) 1 = nlog c a 1 1 (a/c) 1 (poichè a log c n = n log c a e (1/c) log c n = 1/n) = O(n log c a 1 ) T(n) = d n log c a +bn log c n 1 (a/c) j = O(n log c a )

18 Universitá degli Studi di Salerno Corso di Introduzione agli Algoritmi e Strutture Dati Prof. Ugo Vaccaro Anno Acc. 2015/16 p. 18/22 Qualche noioso dettaglio... Cosa accade se n NON è potenza di c? Osserviamo che per k = log c n vale che c k n < c k+1 e cn c k+1 (3) Immaginiamo quindi di "aumentare" l input di taglia n, fino a farlo diventare di taglia c k+1. É ovvio che T(n) < T(c k+1 ). Applicando ora il teorema a T(c k+1 ), otteniamo O(c k+1 ) = O(cn) = O(n) sea < c T(n) < T(c k+1 ) = O(c k+1 logc k+1 ) = O(cnlog(cn)) = O(nlogn) sea = c O((c k+1 ) log c a ) = O((cn) log c a ) = O(n log c a ) sea > c

19 Universitá degli Studi di Salerno Corso di Introduzione agli Algoritmi e Strutture Dati Prof. Ugo Vaccaro Anno Acc. 2015/16 p. 19/22 Esempi Sia T(1) = 1. Valutiamo T(n) = 2T(n/2)+6n T(n) = 3T(n/3)+6n 9 T(n) = 2T(n/3)+5n T(n) = O(nlogn) T(n) = O(nlogn) T(n) = O(n) T(n) = 2T(n/3)+12n+16 T(n) = O(n) T(n) = 4T(n/2)+n T(n) = O(n log 2 4 ) = O(n 2 ) T(n) = 3T(n/2)+9n T(n) = O(n log 2 3 ) = O(n )

20 Universitá degli Studi di Salerno Corso di Introduzione agli Algoritmi e Strutture Dati Prof. Ugo Vaccaro Anno Acc. 2015/16 p. 20/22 Concludendo Con esattamente la stessa tecnica è possibile dimostrare una forma un pó piú generale del Teorema, ad esempio la seguente: Teorema: La soluzione alla ricorrenza d sen 1 T(n) = at(n/c)+bn k altrimenti per a,c,b,k costanti, è T(n) = O(n k ) sea < c k O(n k logn) sea = c k O(n log c a ) sea > c k

21 Universitá degli Studi di Salerno Corso di Introduzione agli Algoritmi e Strutture Dati Prof. Ugo Vaccaro Anno Acc. 2015/16 p. 21/22 Altri esempi Sia T(1) = 1. Valutate T(n) = 2T(n/2)+n 3 T(n) = O(n 3 ) T(n) = T(9n/10)+n T(n) = 16T(n/4)+n 2 T(n) = O(n) T(n) = O(n 2 logn) T(n) = 7T(n/3)+n 2 T(n) = O(n 2 ) T(n) = 7T(n/2)+n 2 T(n) = O(n log 2 7 ) T(n) = 2T(n/3)+ n T(n) = O(n log 3 2 ) T(n) = T(n 1)+n T(n) = T( n)+1 T(n) = O(?) T(n) = O(?)

22 Universitá degli Studi di Salerno Corso di Introduzione agli Algoritmi e Strutture Dati Prof. Ugo Vaccaro Anno Acc. 2015/16 p. 22/22 Infine Esistono forme ancora piú generali del Teorema, che permettono la risoluzione di equazioni di ricorrenza del tipo generale T(n) = at(n/b)+f(n) Sussiste il seguente risultato 1.Se f(n) = O(n log b a ǫ ), per qualche ǫ > 0, allora T(n) = Θ(n log b a ) 2. Se f(n) = Θ(n log b a ), allora T(n) = Θ(n log b a logn) 3. Se f(n) = Ω(n log b a+ǫ ), per qualche ǫ > 0, e se af(n/b) cf(n) per qualche costante c > 1 ed n sufficientemente grande, allora T(n) = Θ(f(n))