ALGORITMI DI ORDINAMENTO E RICERCA BINARIA. Docente: Giorgio Giacinto AA 2008/2009. problema dell ordinamento in modi diversi

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1 Università degli Studi di Cagliari Corso di Laurea Specialistica in Ingegneria per l Ambiente ed il Territorio Corso di Laurea Specialistica in Ingegneria Civile - Strutture FONDAMENTI DI INFORMATICA 2 ALGORITMI DI ORDINAMENTO E RICERCA BINARIA Docente: Giorgio Giacinto AA 2008/2009 Introduzione! Gli algoritmi di ordinamento vengono utilizzati in moltissime applicazioni! Esistono diversi algoritmi che risolvono il problema dell ordinamento in modi diversi! Ciascun algoritmo è caratterizzato da una diversa efficienza! In questo modulo verranno presentati i principali algoritmi e una valutazione qualitativa dell efficienza Giorgio Giacinto 2008 Fondamenti di Informatica II 2

2 Il problema dell ordinamento! Si supponga di avere una lista di dati per i quali sia definita una relazione di ordinamento. Si vuole modificare la sequenza degli elementi della lista in modo che siano ordinati in senso crescente! Sugli elementi della lista deve essere definita una relazione di ordinamento.! Ad es. può essere una lista di numeri (interi o frazionari), una lista di parole, una lista di strutture che può essere ordinata rispetto a uno o più campi (elenco studenti può essere ordinato per cognome, per voto, ecc.) Giorgio Giacinto 2008 Fondamenti di Informatica II 3 Il problema dell ordinamento (cont.)! Per semplicità si farà riferimento al problema dell ordinamento in senso crescente di una lista di N interi rappresentata mediante un array. int A[N];! Con le opportune modifiche gli algoritmi possono essere utilizzati! per ordinare liste rappresentate in modo differente (ad es. con puntatori)! per ordinare elementi complessi (ad es. rappresentati con strutture, da ordinare rispetto a uno dei campi) Giorgio Giacinto 2008 Fondamenti di Informatica II 4

3 Algoritmi di ordinamento! SelectionSort! BubbleSort! MergeSort! QuickSort! Gli algoritmi sono in ordine di efficienza crescente e di intuitività decrescente. Giorgio Giacinto 2008 Fondamenti di Informatica II 5 Selection Sort! Idea l array è ordinato se A[i]! A[j] per ogni i, 0! i < N-1, e per ogni j, i+1! j <N Due fasi! Cerca ( seleziona ) l elemento più piccolo nell array e scambialo con il primo elemento dell array! Ripeti il passo (1) sull array ottenuto escludendo il primo elemento. Se l array è vuoto, hai finito Giorgio Giacinto 2008 Fondamenti di Informatica II 6

4 Selection Sort versione iterativa! Ad ogni iterazione i l array da 0 a i 1 è ordinato, mentre la parte di array da i a N-1 contiene elementi dell array maggiori di quelli contenuti da 0 a i 1, e deve essere ancora ordinato. ordinato! Due iterazioni annidate non ordinato 0 i -1 i N-1! Una più esterna che scandisce tutto l array! Una più interna che cerca l elemento più piccolo nella parte di array successiva all elemento individuato dalla iterazione esterna Giorgio Giacinto 2008 Fondamenti di Informatica II 7 Selection Sort versione iterativa void SelectionSort(int* A, int n) int i, j, small, temp; for (i = 0; i < n-1; i++) /*Cerca il minimo*/ small = i; for (j = i+1; j < n; j++) if (A[j] < A[small]) small = j; temp = A[small]; /*scambia l elemento di */ A[small] = A[i]; /*indice small con quello*/ A[i] = temp; /*di indice i */ Giorgio Giacinto 2008 Fondamenti di Informatica II 8

5 BubbleSort! Idea l array è ordinato se per ogni i, 0! i < N-1, A[i]! A[i+1]! Algoritmo: Per ogni 0! i < N-1 Scandisci l array partendo dal basso (j = N-1) fino a j = i+1. Se A[j] < A[j-1] scambia i due elementi! L elemento più piccolo sale nel vettore fino a trovare la sua posizione, come se fosse una bolla! Al termine della i-esima iterazione l array è ordinato dalla posizione 0 alla posizione di indice i.! Se alla i-esima iterazione non è stato fatto nessuno scambio, tutto l array è ordinato! Giorgio Giacinto 2008 Fondamenti di Informatica II 9 Esempio 1 iterazione: i = 0 2 iterazione: i = j j j j 63 (a) (b) (c) (d) (e) (a) Scambio con 41 (b) Scambio con 63 (c) Scambio con 38 (d) Scambio 41 con 63 (e) Ordinamento terminato Giorgio Giacinto 2008 Fondamenti di Informatica II 10

6 BubbleSort void BubbleSort(int *A,int n) int i,another,temp; for(i=0;i<n-1;i++) another=0; for (j=n-1;j>i;j--) if ((A[j] < A[j-1])) temp=a[j]; A[j]=A[j-1]; A[j-1]=temp; another=1; if(!another) break; Giorgio Giacinto 2008 Fondamenti di Informatica II 11 Confronto Selection Sort BubbleSort! Selection Sort esegue sempre lo stesso numero di operazioni! BubbleSort invece esegue un numero di operazioni variabili a seconda dell ordinamento già presente nel vettore! Caso migliore: l array è già ordinato ed è sufficiente effettuare solo un ciclo per verificare che tutti gli elementi sono ordinati! Caso peggiore: gli elementi nell array sono ordinati in senso decrescente Giorgio Giacinto 2008 Fondamenti di Informatica II 12

7 MergeSort! E formulato ricorsivamente (divide et impera) BASE Se l array ha due elementi, scambia gli elementi se non sono ordinati INDUZIONE Se l array ha più di due elementi lo si divide a metà e si ordinano i due array ottenuti usando lo stesso metodo. I due array vengono quindi fusi per formare l array completo Giorgio Giacinto 2008 Fondamenti di Informatica II 13 Esempio: fusione di due array ordinati A i C 2 h A i C 2 3 h A i C h B 3 k B 3 k B k ecc. Giorgio Giacinto 2008 Fondamenti di Informatica II 14

8 Fusione (merge) di due array ordinati! Dati due array A e B con m componenti ordinate in ordine crescente, si vuole ottenere un unico array C ordinato costituito dai 2m elementi di A e B. 1. Sia i l indice per scandire A, k l indice per scandire B e h l indice che usiamo per costruire l array C 2. Inizializziamo k=0, i=0, h=0 3. Se A[i]<B[k] allora C[h++]=A[i++]; altrimenti C[h++]=B[k++]; Ripetere il passo 3 finchè uno dei due array (o entrambi) non è esaurito. 4. Inserire gli elementi dell array non ancora esaurito nelle posizioni restanti di C Giorgio Giacinto 2008 Fondamenti di Informatica II 15 Funzione merge merge (int* A, int left, int mid, int right) int i=left, k=mid+1, h=0; int j; int temp[n_max]; while ((i <= mid) && (k <= right)) if(a[i] <= A[k]) temp[h++] = A[i++]; else temp[h++] = A[k++]; if (i == mid+1) for (j = k; j <= right; j++) temp[h++] = A[j]; else for (j = i; j <= mid; j++) temp[h++] = A[j]; for (j = 0; j <= right-left; j++) A[j+left] = temp[j]; Giorgio Giacinto 2008 Fondamenti di Informatica II 16

9 Funzione merge! Nel caso di MergeSort la funzione merge deve fondere due parti contigue di uno stesso array! Ad esempio la parte fra left e right viene divisa a metà, con mid il punto centrale. Le parti da left a mid e da mid+1 a right vengono ordinate separatamente e poi fuse insieme. Al termine la parte fra left e right conterrà gli elementi ordinati. left mid right! La funzione precedente effettua la fusione fra due metà ordinate delimitate da left e mid, e da mid+1 a right Giorgio Giacinto 2008 Fondamenti di Informatica II 17 Commenti sulla funzione merge! La funzione merge contiene anche il passo base della ricorsione: un vettore di due elementi corrisponde al caso in cui left = mid e right = mid+1, che vengono scambiate se non sono in ordine.! L algoritmo completo MergeSort:! divide ripetutamente il vettore a metà, finché si generano segmenti contenenti uno o due componenti.! Ciascun segmento viene ordinato e si effettua la fusione fra i segmenti in sequenza inversa rispetto alla fase di divisione Giorgio Giacinto 2008 Fondamenti di Informatica II 18

10 Mergesort void mergesort(int* A, int n) msort(a,0,n-1); void msort(int* A, int left, int right) int mid; if (left < right) mid = (right + left)/2; msort(a, left, mid); msort(a, mid+1, right); merge(a, left, mid, right); Giorgio Giacinto 2008 Fondamenti di Informatica II 19 Esempio: MergeSort Ordinare con 8 elementi! Mergesort attiva msort(0,7) che attiva msort(0,3) che attiva msort(0,1).! msort(0,1) scambia i primi due elementi il controllo torna a msort(0,3) che chiama msort(2,3)! msort(2,3) non effettua modifiche: gli elementi sono già ordinati il controllo torna a msort (0,3) che effettua la fusione fra i due array: ) Il controllo torna alla chiamata a msort(0,7), che attiva msort(4,7), che attiva msort(4,5) e msort(6,7) fino a ottenere l array ordinato Giorgio Giacinto 2008 Fondamenti di Informatica II 20

11 Esempio: attivazioni di MergeSort msort(0,7) msort(0,3) msort(4,7) msort(0,1) msort(2,3) msort(4,5) msort(6,7) Giorgio Giacinto 2008 Fondamenti di Informatica II 21 Valutazione efficienza di MergeSort! Mergesort è teoricamente più efficiente dei primi due algoritmi, se si trascura il costo della ricorsione.! Tuttavia non sempre il costo della ricorsione è trascurabile, soprattutto se l array ha piccole dimensioni! L efficienza aumenta se si formula l algoritmo non ricorsivamente! In generale MergeSort può essere più efficiente degli altri algoritmi in caso di dimensioni elevate dell array Giorgio Giacinto 2008 Fondamenti di Informatica II 22

12 Ordinamento veloce (QuickSort)! E uno degli algoritmi più utilizzati perché risulta essere uno dei più efficienti sperimentalmente!non lo è invece dal punto di vista teorico!! Spesso viene fornito come funzione di libreria dai compilatori Giorgio Giacinto 2008 Fondamenti di Informatica II 23 QuickSort IDEA Scegliere un elemento dell array, chiamato pivot, e dividere l array in due:! uno contenente solo elementi minori dell elemento pivot! l altro contenente solo elementi maggiori o uguali all elemento pivot La procedura si applica ricorsivamente alle due parti fino a ottenere array di dimensione unitaria: a questo punto l array di partenza è ordinato! Giorgio Giacinto 2008 Fondamenti di Informatica II 24

13 QuickSort: partizionamento 1. Scegli a caso un elemento dell array come pivot (ad es. il primo elemento) 2. Due indici, i e j, scandiscono l array " j parte dalla fine e si ferma quando trova un elemento minore o uguale dell elemento pivot " i parte dall inizio e si ferma quando trova un elemento maggiore o uguale dell elemento pivot o finché non raggiunge l altro indice Se i < j, i due elementi individuati da i e j vengono scambiati e prosegue la scansione dell array da parte dei due indici. Quando i due indici si incontrano, l array è diviso in due parti tali che a sinistra si trovano solo elementi minori del pivot, mentre a destra solo elementi maggiori del pivot. Giorgio Giacinto 2008 Fondamenti di Informatica II QuickSort: esempio di partizionamento i Tutti gli elementi da 0 a j sono inferiori agli elementi della parte restante i j Uso la stessa tecnica su ciascuna delle due parti separatamente, e così via j j i Termino quando una successiva suddivisione genera parti che contengono un solo elemento: l array risulta ordinato! Giorgio Giacinto 2008 Fondamenti di Informatica II 26

14 QuickSort - partition int partition (int* A, int l, int r) int pivot = A[l], i=l-1, j=r+1; int temp; for (; ;) do j--; while (A[j]>pivot); do i++; while (A[i]<pivot); if (i<j) temp=a[i]; A[i]=A[j]; A[j]=temp; else return j; Giorgio Giacinto 2008 Fondamenti di Informatica II 27 QuickSort - qsort int qsort(int* A, int left, int right) int q; if (left < right) q = partition(a,left,right); qsort(a, left, q); qsort(a, q+1, right); void quicksort(int* A, int n) qsort(a,0,n-1); Giorgio Giacinto 2008 Fondamenti di Informatica II 28

15 Esempio: attivazioni di QuickSort qsort(0,7) qsort(0,4) qsort(5,7) qsort(0,1) qsort(2,4) qsort(5,6) qsort(2,3) Giorgio Giacinto 2008 Fondamenti di Informatica II 29 Ricerca di un elemento in un array ordinato int bin_search(int key, int* A, int n) int left=0, right=n-1; while (left<=right) int mid=(left+right)/2; if (A[mid]==key) return mid; if (A[mid]>key) right=mid-1; else left=mid+1; return -1; /* Elemento non trovato */ Giorgio Giacinto 2008 Fondamenti di Informatica II 30