Algoritmi su Array. Moreno Marzolla Dipartimento di Informatica Scienza e Ingegneria (DISI) Università di Bologna

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1 Algoritmi su Array Moreno Marzolla Dipartimento di Informatica Scienza e Ingegneria (DISI) Università di Bologna

2 Algoritmi su Array 2

3 Ringraziamenti prof. Stefano Mizzaro, Università di Udine Algoritmi su Array 3

4 Passaggio di parametri di tipo array void f1( int a[5] ); /* OK, dimensione prefissata */ void f2( int a[] ); /* OK, ma devo sapere per altre vie la dimensione di a */ void f3( int a[], int n ); #define C 40 void f4( int v[][c], int r ); void f5( int v[4][3] ); /* OK, dimensioni prefissate */ Algoritmi su Array 4

5 Esempi classici con array Inversione Ricerca lineare Ricerca binaria Ordinamento Algoritmi su Array 5

6 Inversione Algoritmi su Array 6

7 Inversione di un array Scambiare di posto gli elementi di un array a[] di n elementi Il primo e l ultimo Il secondo e il penultimo... Prima Dopo Algoritmi su Array 7

8 Come (non) scambiare il valore di due variabili int a = 3, b = 5; /* modo SBAGLIATO di scambiare tra loro i valori di a e b */ a = b; b = a; Quale è il risultato del frammento di codice sopra? Algoritmi su Array 8

9 Come scambiare il valore di due variabili 3 bicchieri, a, b e tmp ("temporaneo") In a c è acqua, in b c è vino, tmp è vuoto Voglio scambiare a e b (mettere il vino in a e l acqua in b). Come faccio? /* modo CORRETTO di scambiare a e b */ a b int a = 3, b = 5, tmp; tmp Algoritmi su Array 9

10 Come scambiare il valore di due variabili 3 bicchieri, a, b e tmp ("temporaneo") In a c è acqua, in b c è vino, tmp è vuoto Voglio scambiare a e b (mettere il vino in a e l acqua in b). Come faccio? /* modo CORRETTO di scambiare a e b */ a b int a = 3, b = 5, tmp; tmp = a; /* copia a in tmp */ tmp Algoritmi su Array 10

11 Come scambiare il valore di due variabili 3 bicchieri, a, b e tmp ("temporaneo") In a c è acqua, in b c è vino, tmp è vuoto Voglio scambiare a e b (mettere il vino in a e l acqua in b). Come faccio? /* modo CORRETTO di scambiare a e b */ a b int a = 3, b = 5, tmp; tmp = a; /* copia a in tmp */ a = b; /* copia b in a */ tmp Algoritmi su Array 11

12 Come scambiare il valore di due variabili 3 bicchieri, a, b e tmp ("temporaneo") In a c è acqua, in b c è vino, tmp è vuoto Voglio scambiare a e b (mettere il vino in a e l acqua in b). Come faccio? /* modo CORRETTO di scambiare a e b */ a b int a = 3, b = 5, tmp; tmp = a; /* copia a in tmp */ a = b; /* copia b in a */ b = tmp; /* copia tmp in a */ tmp Algoritmi su Array 12

13 Inversione: primi tentativi int i, tmp; for (i=0; i<n; i++) { tmp = a[n-i]; a[n-i] = a[i]; a[i] = tmp; SBAGLIATO int i, tmp; for (i=0; i<n; i++) { tmp = a[n-1-i]; a[n-1-i] = a[i]; a[i] = tmp; SBAGLIATO Algoritmi su Array 13

14 Inversione di un array int i, tmp; for (i=0; i<n; i++) { tmp = a[n-1-i]; a[n-1-i] = a[i]; a[i] = tmp; SBAGLIATO i= Algoritmi su Array 14

19 Inversione di un array int i, tmp; for (i=0; i<n; i++) { tmp = a[n-1-i]; a[n-1-i] = a[i]; a[i] = tmp; SBAGLIATO Alla fine riotteniamo l'array di partenza! Algoritmi su Array 19

20 L algoritmo Scambio il primo con l'ultimo......il secondo con il penultimo......fino a metà array! i = 0; while ("non sono arrivato a metà") { "scambia a[i] con a[n-1-i]" i = i + 1; Algoritmi su Array 20

21 L algoritmo (meglio) Scambio il primo con l'ultimo......il secondo con il penultimo......fino a metà array! i = 0; j = n-1; while ("non sono arrivato a metà") { "scambia a[i] con a[j]" i = i + 1; j = j 1; Algoritmi su Array 21

22 L'algoritmo Come decido se non sono ancora arrivato a metà? i j i j i = 0; j = n-1; while (i < j) { "scambia a[i] con a[j]" i = i + 1; j = j 1; Algoritmi su Array 22

23 Inversione di un array /* inversione.c : inverte il contenuto di un array */ #include <stdio.h> void inverti(int a[], int n) { int i = 0, j = n-1, tmp; while ( i < j ) { tmp = a[i]; a[i] = a[j]; a[j] = tmp; i++; j--; #define N 10 int main( void ) { int a[n], i; printf("digita %d valori\n", N); for (i = 0; i < N; i++) { /* Lettura dell'array */ scanf("%d", &a[i]); inverti(a, N); for (i = 0; i < N; i++) { /* Stampa l'array dopo l'inversione */ printf("%d\n", a[i]); return 0; Algoritmi su Array 23

24 Ricerca lineare Algoritmi su Array 24

25 Ricerca lineare Dati Un array a[] di int di lunghezza n Un intero k int ricerca(int a[], int n, int k) Restituisce la posizione di una occorrenza (la prima?) di k in a[] Se k non compare in a, restituisce -1 Procedimento Scorro l array partendo dall inizio Fermandomi se trovo un elemento il cui valore è uguale a k, oppure se arrivo in fondo all'array k 3 a[] Algoritmi su Array

26 Ricerca lineare Primo tentativo (sbagliato) int ricerca(int a[], int n, int k) { int i; for (i = 0; i < n; i++) { if (a[i] == k) { return i; /* trovato */ else { return -1; /* non trovato */ SBAGLIATO k 3 a[] Algoritmi su Array

27 Ricerca lineare Secondo tentativo (meglio) int ricerca(int a[], int n, int k) { int i; for (i = 0; i < n; i++) { if (a[i] == k) { return i; /* trovato */ return -1; /* non trovato */ OK k 3 a[] Algoritmi su Array

28 Ricerca lineare /* ricerca-lineare.c */ #include <stdio.h> int ricerca(int a[], int n, int k) { int i; for (i = 0; i < n; i++) { if (a[i] == k) { return i; return -1; #define N 10 Ricordare che l'istruzione return termina immediatamente l'esecuzione della funzione, restituendo il valore indicato int main( void ) { int a[n] = {7, 12, 3, -1, 8, 2, 1, 3, 2, 15; printf("ricerca 7 = %d\n", ricerca(a, N, 7)); printf("ricerca 15 = %d\n", ricerca(a, N, 15)); printf("ricerca 3 = %d\n", ricerca(a, N, 3)); printf("ricerca 17 = %d\n", ricerca(a, N, 17)); return 0; Algoritmi su Array 28

29 Una applicazione della ricerca lineare Il sindaco di Paperopoli ha deciso di tassare i residenti in base al reddito. Detto R il reddito lordo annuo, l'importo dovuto in tasse è (R x), dove x dipende da R secondo la seguente tabella Se 0 R < x = 0.05 Se R < x = 0.11 Se R x = 0.15 Scrivere un programma in C che chiede all'utente di inserire il reddito R (tipo double; se l'utente inserisce un valore negativo, richiederlo), e stampa l'importo dovuto in tasse Algoritmi su Array 29

30 Primo tentativo: funziona, ma... /* tasse-1.c */ #include <stdio.h> int main( void ) { double R, x; do { printf("inserire reddito R\n"); scanf("%lf", &R); while (R < 0); if ( R < ) { x = 0.05; else { if ( R < ) { x = 0.11; else { x = 0.15; printf("le tasse dovute ammontano a %f\n", R*x); return 0; Algoritmi su Array 30

31 Un bel giorno... Vista la situazione disastrata delle finanze di Paperopoli, il sindaco decide di introdurre nuovi scaglioni: Se 0 R < x = 0.05 Se R < x = 0.11 Se R < x = 0.15 Se R < x = 0.17 Se R < x = 0.20 Se R x = 0.25 Modificare il programma precedente per funzionare correttamente nella nuova situazione Algoritmi su Array 31

32 /* tasse-2.c */ #include <stdio.h> int main( void ) { double R, x; do { printf("inserire reddito R\n"); scanf("%lf", &R); while (R < 0); if ( R < ) { x = 0.05; else { if ( R < ) { x = 0.11; else { if ( R < ) { x = 0.15; else { if ( R < ) { x = 0.17; else { if ( R < ) { x = 0.20; else { x = 0.25; printf("le tasse dovute ammontano a %f\n", R*x); return 0; Algoritmi su Array 32

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34 Idea Memorizzo gli scaglioni e le relative percentuali in una tabella cioè in un array Dato il reddito R, cerco nell'array lo scaglione corrispondente e da questo ricava la percentuale Se gli estremi degli scaglioni e/o le percentuali cambiano, devo cambiare solo l'array e non il programma che fa la ricerca! Algoritmi su Array 34

35 Nuova soluzione: meglio /* tasse-4.c */ #include <stdio.h> #define N 6 int main( void ) { double scaglioni[n]={ 0.0, , , , , ; double imposta[n] ={0.05, 0.11, 0.15, 0.17, 0.20, 0.25; double R, x; int i; do { printf("inserire reddito R\n"); scanf("%lf", &R); while (R < 0); scaglioni[i] è il limite inferiore dello scaglione i-esimo (inizio a contare da i = 0). imposta[i] è la percentuale di tasse per i redditi appartenenti allo scaglione i-esimo for (i=n-1; R < scaglioni[i]; i--) ; x = imposta[i]; Corpo del ciclo "for" vuoto! printf("le tasse dovute ammontano a %f (imposta=%f%%)\n", R*x, x*100); return 0; Algoritmi su Array 36

36 Ricerca Binaria Algoritmi su Array 37

37 Ricerca binaria Dati: Un array di valori interi distinti v[0], v[1], v[n-1] ordinati in senso crescente (v[0] < v[1] < < v[n-1]) Un valore intero x (arbitrario) Determinare la posizione di x nell'array (se presente) Es: Cioè determinare l'indice i, se esiste, tale che v[i] == x Se x non compare nell'array, restituire -1 v[0] v[1] v[2] v[3] v[4] v[5] Cerchiamo x = 7 La funzione restituisce 2 Algoritmi su Array 38

38 Esempio Ricerca di x = Algoritmi su Array 39

43 Esempio Ricerca di x = Trovato! Algoritmi su Array 44

50 Esempio Ricerca di x = Non trovato! Algoritmi su Array 51

51 Domande Dato un array ordinato di n elementi (con n "grande"): Quanti elementi bisogna esaminare nel caso migliore? Quanti elementi bisogna esaminare nel caso peggiore? Algoritmi su Array 52

52 Funzionamento dell'algoritmo Usiamo due valori interi i (inizio) e f (fine) per rappresentare la posizione (indice) del primo e dell'ultimo elemento della porzione di array in cui potrebbe trovarsi il valore cercato Indichiamo con m (mezzo) l'indice dell'elemento che occupa la posizione centrale nel sottovettore v[i] v[f] i=0 m=3 f=6 v[0] v[1] v[2] v[3] v[4] v[5] v[6] Algoritmi su Array 53

53 Schema di soluzione int ricbinaria(int v[], int n, int x) { int i = 0, f = n-1, m; while ( sottovettore non vuoto ) { m = posizione centrale nel sottovettore v[i..f] ; if (v[m] == x) { return m; /* trovato in posizione m */ else { aggiorna gli estremi i e f return -1; /* non trovato */ Algoritmi su Array 54

54 Raffinamento Come facciamo a "calcolare la posizione centrale nel sottovettore v[i..f]"? (f i + 1) elementi... i Circa (f i)/2 elementi m Circa (f i)/2 elementi f... m = i + (f i) / 2 = (i + f) / 2 Algoritmi su Array 55

55 Attenzione... Controlliamo se funziona anche in casi particolari i = 1 f = 2 m = (1 + 2) / 2 = 1 i = 4 f = 4 m = (4 + 4) / 2 = 4 Algoritmi su Array 56

56 Raffinamento int ricbinaria(int v[], int n, int x) { int i = 0, f = n-1, m; while ( sottovettore non vuoto ) { m = (i + f)/2; if (v[m] == x) { return m; /* trovato in posizione m */ else { aggiorna gli estremi i e f return -1; /* non trovato */ Algoritmi su Array 57

57 Secondo raffinamento Se il valore centrale non è quello cercato, come aggiornare il valore di i ed f? Caso 1: il valore centrale è troppo grande (es., cerchiamo 3, valore centrale è 12) i m f i f Algoritmi su Array 58

58 Secondo raffinamento Se il valore centrale non è quello cercato, come aggiornare il valore di i ed f? Caso 2: il valore centrale è troppo piccolo (es., cerchiamo 21, valore centrale è 12) i m f i f Algoritmi su Array 59

59 Secondo raffinamento int ricbinaria(int v[], int n, int x) { int i = 0, f = n-1, m; while ( sottovettore non vuoto ) { m = (i + f)/2; if (v[m] == x) { return m; /* trovato in posizione m */ else { if (x < v[m]) { f = m - 1; else { i = m + 1; return -1; /* non trovato */ Algoritmi su Array 60

60 Raffinamento finale L'algoritmo termina quando non ci sono più elementi da esaminare Es: cerchiamo x = 13 int ricbinaria(int v[], int n, int x) { int i = 0, f = n-1, m; while (i <= f) { m = (i + f)/2; if (v[m] == x) { return m; else { if (x < v[m]) { f = m - 1; else { i = m + 1; return -1; i = 0 m = 1 f = i = 2 m = 2 f = f = 1 i = Algoritmi su Array 61

61 /* ricerca-binaria.c */ #include <stdio.h> int ricbinaria(int v[], int n, int x) { int i = 0, f = n-1, m; while (i <= f) { m = (i + f) / 2; if (v[m] == x) { return m; /* trovato in posizione m */ else { if (x < v[m]) { f = m - 1; else { i = m + 1; return -1; /* non trovato */ #define N 10 int main( void ) { int a[n] = {-1, 1, 2, 3, 7, 15, 16, 18, 20, 21; printf("ricerca 7 = %d\n", ricbinaria(a, N, 7)); printf("ricerca -1 = %d\n", ricbinaria(a, N, -1)); printf("ricerca 17 = %d\n", ricbinaria(a, N, 17)); printf("ricerca -2 = %d\n", ricbinaria(a, N, -2)); return 0; Algoritmi su Array 62

62 /* ricerca-binaria.c */ #include <stdio.h> int ricbinaria(int v[], int n, int x) { int i = 0, f = n-1, m; while (i <= f) { m = (i + f) / 2; if (v[m] == x) { return m; /* trovato in posizione m */ else { if (x < v[m]) { f = m - 1; else { i = m + 1; return -1; /* non trovato */ valori duplicati? #define N 10 int main( void ) { int a[n] = {-1, 1, 2, 3, 7, 15, 16, 18, 20, 21; printf("ricerca 7 = %d\n", ricbinaria(a, N, 7)); printf("ricerca -1 = %d\n", ricbinaria(a, N, -1)); printf("ricerca 17 = %d\n", ricbinaria(a, N, 17)); printf("ricerca -2 = %d\n", ricbinaria(a, N, -2)); return 0; Algoritmi su Array 63 Cosa succede se la funzione ricbinaria() viene invocata su un array vuoto (n = 0)? Cosa succede se l'array contiene

63 Ordinamento Algoritmi su Array 64

64 Ordinamento Ordinare un array, ad es., in ordine crescente Problema classico Capita spesso in moltissime applicazioni Vari algoritmi Ne vediamo uno (Selection Sort) Semplice da capire Non molto efficiente Algoritmi su Array 65

65 Selection Sort Cerco il minimo in a[0]...a[n-1] e lo scambio con a[0] Cerco il minimo in a[1]...a[n-1] e lo scambio con a[1] Cerco il minimo in a[i]...a[n-1] e lo scambio con a[i] Algoritmi su Array

66 Schema di soluzione void selectionsort(int a[], int n) { int i, j; for (i=0; i<n-1; i++) { /* per ogni i=0, n-2 */ for (j=i+1; j<n; j++) { /* per ogni j=i+1, n-1 */ if (a[i] > a[j]) { "scambia a[i] con a[j]" Algoritmi su Array 67

67 Esempio Algoritmi su Array 68

75 Costo computazionale Quante volte viene eseguito il blocco di codice evidenziato? void selectionsort(int a[], int n) { int i, j; for (i=0; i<n-1; i++) { /* per ogni i=0, n-2 */ for (j=i+1; j<n; j++) { /* per ogni j=i+1, n-1 */ if (a[i] > a[j]) { "scambia a[i] con a[j]" Algoritmi su Array 77

76 = una iterazione del ciclo "for" interno (quello con indice j) n - 1 i n-2 Algoritmi su Array 78

77 = una iterazione del ciclo "for" interno (quello con indice j) n - 1 i n-2 Algoritmi su Array 80

78 1+2+ +(n 2)=parte grigia= n(n 1) 2 n - 1 = una iterazione del ciclo "for" interno (quello con indice j) n - 1 n i n-2 Algoritmi su Array 81

79 Il codice /* selection-sort.c */ #include <stdio.h> void selectionsort(int a[], int n) { int i, j, tmp; for (i = 0; i < n - 1; i++) { for (j = i + 1; j < n; j++) { if (a[i] > a[j]) { tmp = a[i]; /* scambio a[i] con a[j] */ a[i] = a[j]; a[j] = tmp; /* qui si ha che a[0..i] contiene i primi (i+1) elementi ordinati di a[] /* #define N 10 int main( void ) { int a[n], i; for (i = 0; i < N; i++) { scanf( %d, &a[i]); selectionsort(a, N); for (i = 0; i < N; i++) { printf( %d\n, a[i]); return 0; Algoritmi su Array 82

80 Versione alternativa /* selection-sort2.c */ #include <stdio.h> void selectionsort(int a[], int n) { int i, j, tmp; for (i = 0; i < n - 1; i++) { /* cerca la posizione del minimo in a[i..n-1] */ int imin = i; for (j = i + 1; j < n; j++) { if (a[j] < a[imin]) { imin = j; tmp = a[i]; /* scambio a[i] con a[imin] */ a[i] = a[imin]; a[imin] = tmp; /* qui si ha che a[0..i] contiene i primi (i+1) elementi ordinati di a[] /* #define N 10 int main( void ) { int a[n], i; for (i = 0; i < N; i++) { scanf( %d, &a[i]); selectionsort(a, N); for (i = 0; i < N; i++) { printf( %d\n, a[i]); return 0; Algoritmi su Array 83

81 Esempio i imin Algoritmi su Array 84

88 Esempio i Algoritmi su Array 91