Chiamata di FUNZIONI All interno della funzione P c è una chiamata ad un altra funzione Q (su input diverso).

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1 Chiamata di FUNZIONI All interno della funzione P c è una chiamata ad un altra funzione Q (su input diverso). Es. Int P(int n) { if(n<=1) return 1 else {m=n-1; return Q(m)} } Int Q(int m) { if(m>0) return m else return 2} }

2 FUNZIONI

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5 FUNZIONI

6 FUNZIONI

7 FUNZIONI Chiamata

8 Esempio

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10 Esempio

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12 Esempio

13 Esempio

14 Esempio

15 Esempio

16 Esempio

17 Esempio

18 FUNZIONI RICORSIVE All interno della funzione P c è una chiamata a P (su input diverso). Es. Calcolo n Int Somma(int n) { if(n<=1) return 1 else return n + Somma(n-1); }

19 FUNZIONI RICORSIVE All interno della funzione P c è una chiamata a P (su input diverso). Es. Calcolo n Int Somma(int n) { if(n<=1) return 1 \* CASO BASE else return n + Somma(n-1); } Nota: serve sempre CASO BASE: valore calcolato direttamente!

20 FUNZIONI RICORSIVE All interno della funzione P c è una chiamata a P (su input diverso). Es. Calcolo di n! = prodotto degli interi da 1 a n Int fact(int n) { if(n<=1) return 1 else return n * fact(n-1); } CASO BASE?

21 Numeri di Fibonacci Nel 1223 a Pisa, si tenne un torneo tra abachisti e algoritmisti, armati soltanto di carta, penna e pallottoliere. In quella gara infatti si dimostrò che col metodo posizionale indiano appreso dagli arabi si poteva calcolare più velocemente di qualsiasi abaco. Il test era il seguente: "Quante coppie di conigli si ottengono in un anno (salvo i casi di morte) supponendo che ogni coppia dia alla luce un'altra coppia ogni mese e che le coppie più giovani siano in grado di riprodursi già al secondo mese di vita?". Un pisano, Leonardo, conosciuto anche col nome paterno di "fillio Bonacci" o Fibonacci, vinse la gara. Leonardo diede al test una risposta così rapida da far persino sospettare che il torneo fosse truccato: Alla fine del primo mese si ha la prima coppia ed una coppia da questa generata; alla fine del secondo mese si aggiunge una terza coppia, ma vi sono due coppie in più, perché anche la seconda coppia ha cominciato a generare, portando il conto a 5 coppie, e così via.

22 Numeri di Fibonacci Alla fine del primo mese si ha la prima coppia ed una coppia da questa generata; alla fine del secondo mese si aggiunge una terza coppia, ma vi sono due coppie in più, perché anche la seconda coppia ha cominciato a generare, portando il conto a 5 coppie, e così via. Il ragionamento prosegue con la seguente progressione: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657, 46368, 75025, Con questo stratagemma fu facile per il Fibonacci trovare la risposta esatta.

23 Numeri di Fibonacci FUNZIONI RICORSIVE Una sequenza di numeri interi ciascun numero della quale è il risultato della somma dei due precedenti. La successione si definisce assegnando i valori dei due primi termini, f 0 = 1 ed f 1 = 1, e chiedendo che per ogni successivo sia f n = f n-1 + f n-2 con n>1.

24 Es. Numeri di Fibonacci FUNZIONI RICORSIVE e con n>1. f 0 = 0, f 1 = 1, f n = f n-1 + f n-2. Int fib(int n) { if(n<=0) return 0 if(n = 1) return 1 else return fib(n-1)+fib(n-2) }

25 SelectionSort RICORSIVO Idea alla base del SelectionSort: Array A diviso in due parti A[0..i-1] ordinato A[i..n-1] elementi più grandi da ordinare 1. Trova min A[i..n-1], sia A[small] Scambia A[i] ed A[small] 2. Ordina la parte non ordinata, cioè A[i+1..n-1]

26 SelectionSort RICORSIVO Idea alla base del SelectionSort: Array A diviso in due parti A[0..i-1] ordinato A[i..n-1] elementi più grandi da ordinare 1. Trova min A[i..n-1], sia A[small] Scambia A[i] ed A[small] 2. Ordina la parte non ordinata, cioè A[i+1..n-1] BASE. Se i=n-1, la parte da ordinare è A[n-1], ok. PASSO. Se i<n-1, trova min A[i..n-1], scambialo con A[i]; ordina (ricorsivamente) A[i+1..n-1]

27 SelectionSort RICORSIVO BASE. Se i=n-1, la parte da ordinare è A[n-1], ok. PASSO. Se i<n-1, trova min A[i..n-1], scambialo con A[i]; ordina (ricorsivamente) A[i+1..n-1] void Rec- SelectionSort(int A[], int i, int n) int j,small,temp; { if (i<n-1) /* Base: i=n-1, Esci*/ { /*Esegui Passo*/ small=i; for(j=i+1, j<n,j++) if (A[j]<A[small]) small=j; /*trova min*/ temp=a[small]; A[small]=A[i]; A[i]=temp; /*scambia*/ Rec-SelectionSort(A,i+1,n) } }

28 Sorting: MERGESORT Esempio di una tecnica generale: Divide and Conquer Sottoproblema 1 (simile, più semplice) Problema Sottoproblema 2 Sottoproblema n Ogni sottoproblema risolto con la stessa tecnica. Finchè non si raggiunge un sottopr. risolvibile direttamente.

29 Sorting: MERGESORT Esempio di una tecnica generale: Divide and Conquer Problema Sottoproblema 1 (simile, più semplice) Sottoproblema 2 Sottoproblema n Ogni sottoproblema risolto con la stessa tecnica. Finchè non si raggiunge un sottopr. risolvibile direttamente. soluzione Sottoproblema 1 soluzione Sottoproblema 2 soluzione Problema soluzione Sottoproblema n

30 Sorting: MERGESORT Vogliamo ordinare lista (a1,,an). 1. Dividi lista in 2 sottoliste aventi (quasi) la stessa dimensione: (a1,a3,a5, ) e (a2,a4, ) 2. Ordina le due liste separatamente 3. Fai merge delle due lista ottenute (ordinate) in una unica lista ordinata

31 MERGE (di due liste ordinate L1,L2 M) Es. L1=(1,2,7,7,9), L2=(2,4,7,8) M=(1,2,2,4,7,7,7,8,9) - Trova il minimo tra il primo elemento di L1 e di L2 Rimuovilo dalla lista di appartenenza ed aggiungilo ad M. - Ripeti Es. L1=(1,2,7,7,9), L2=(2,4,7,8), M=(), minimo=1 in L1

32 MERGE (di due liste ordinate L1,L2 M) Es. L1=(1,2,7,7,9), L2=(2,4,7,8) M=(1,2,2,4,7,7,7,8,9) - Trova il minimo tra il primo elemento di L1 e di L2 Rimuovilo dalla lista di appartenenza ed aggiungilo ad M. - Ripeti Es. L1=(1,2,7,7,9), L2=(2,4,7,8), M=(), minimo=1 in L1 L1=(2,7,7,9), L2=(2,4,7,8), M=(1), minimo=2 in L1

33 MERGE (di due liste ordinate L1,L2 M) Es. L1=(1,2,7,7,9), L2=(2,4,7,8) M=(1,2,2,4,7,7,7,8,9) - Trova il minimo tra il primo elemento di L1 e di L2 Rimuovilo dalla lista di appartenenza ed aggiungilo ad M. - Ripeti Es. L1=(1,2,7,7,9), L2=(2,4,7,8), M=(), minimo=1 in L1 L1=(2,7,7,9), L2=(2,4,7,8), M=(1), minimo=2 in L1 L1=(7,7,9), L2=(2,4,7,8), M=(1,2), minimo=2 in L2

34 MERGE (di due liste ordinate L1,L2 M) L1=(1,2,7,7,9), L2=(2,4,7,8), M=(), minimo=1 in L1 L1=(2,7,7,9), L2=(2,4,7,8), M=(1), minimo=2 in L1 L1=(7,7,9), L2=(2,4,7,8), M=(1,2), minimo=2 in L2 L1=(7,7,9), L2=(4,7,8), M=(1,2,2), minimo=4 in L2 L1=(7,7,9), L2=(7,8), M=(1,2,2,4), minimo=7 in L1 L1=(7,9), L2=(7,8), M=(1,2,2,4,7), minimo=7 in L1 L1=(9), L2=(7,8), M=(1,2,2,4,7,7), minimo=7 in L2 L1=(9), L2=(8), M=(1,2,2,4,7,7,7), minimo=8 in L1 L1=(9), L2=(), M=(1,2,2,4,7,7,7,8), L2 vuota Aggiungi L2 ad M. M= =(1,2,2,4,7,7,7,8,9).

35 MERGESORT BASE: Se la lista contiene 0 o 1 elemento, stop Ind.: Split di (a 1,a 2, ) in (a 1,a 3, ) e (a 2,a 4, ) Mergesort delle due liste separatamente Merge delle 2 liste ordinate

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